第16讲 万有引力定律（专项训练）（福建专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“考情-知识-题型”三维架构系统整合万有引力定律，通过模型分类（星球表面/环绕卫星）、公式速记（黄金代换）及比例法提炼，构建从概念理解到解题应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |开普勒定律|7题|轨道参数比例法、面积定律应用|从行星运动规律到万有引力定律推导| |重力加速度|8题|黄金代换（GM=gR²）、自转影响分析|万有引力与重力关系的模型建构| |质量密度估算|7题|表面/环绕模型公式推导、近地卫星简化|引力提供向心力与重力加速度的综合应用| |追及相遇问题|7题|周期差计算、角速度关系分析|开普勒定律与圆周运动规律的融合应用|

第16讲 万有引力定律（专项训练） 目 录 研判·考情前瞻 2 巩固·知识解构 2 知识点1 开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用 2 知识点2 星体表面的重力加速度 3 知识点3 天体质量和密度的估算 3 模拟·基础演练 5 题型01 开普勒三大定律 5 题型02 星体表面的重力加速度 11 题型03 天体质量和密度的估算 16 题型04 开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题 22 重难·创新演练 29 真题·实战演练 35 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 开普勒三大定律、万有引力定律基础概念辨析 单选 T6（4 分） 星球表面重力加速度、黄金代换式应用 单选 T4（4 分） 天体质量、密度估算，近地 / 卫星模型计算 多选 T9（6 分） 考情分析 题型以单选、多选为主，分值 4～6 分，一般不设置计算题。命题依托行星、卫星、探测卫星等情境，重点围绕黄金代换、轨道运行规律设问。常结合开普勒定律比较轨道参数，交替考查重力加速度求解、天体密度估算，模型基础，计算难度适中，侧重公式选用与比例推导，较少复杂数学运算。 复习目标 1. 熟记开普勒三大定律，熟练运用黄金代换建立万有引力与重力的联系，区分星球表面与轨道上重力的差异。 2.掌握中心天体质量、密度两类推导模板，分清近地卫星与普通卫星模型，熟练使用比例法比较线速度、周期等物理量。 3.厘清易混概念，规范公式书写，能够快速识别题干条件，规避轨道半径、球体半径混淆等典型失分陷阱。 巩固·知识解构 知识点1 开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用 1．开普勒行星运动定律 (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理． (2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动． (3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同． 2．万有引力定律 公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线． ✨得分速记： (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 (2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 (3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。 知识点2 星体表面的重力加速度 1．地球表面的重力与万有引力 地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力． (1)在两极，向心力等于零，mg＝； (2)除两极外，物体的重力都比万有引力小； (3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω. 2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力 地球自转，物体所受的重力近似等于地球表面处的万有引力，即mg＝，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，故GM＝gR2. 3．距地面一定高度处的重力与万有引力 物体在距地面一定高度h处时，mg′＝，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度，故GM＝g′(R＋h)2. ✨得分速记 解核心依托黄金代换 (GM=gR2) 解题，分清适用条件：星球表面忽略自转影响时，万有引力近似等于重力。审题务必区分星球半径 R与卫星轨道半径 r，二者极易混淆。 已知同一星球不同高度，利用 比例快速运算；不同星球对比，结合(g=GM/R2) 分析。 自转不可忽略题型，要明确万有引力分为重力与向心力。答题优先书写黄金代换原始公式，再变形推导，分步列式拿步骤分。警惕题干陷阱，不要直接将卫星轨道处的向心加速度等同于星球表面重力加速度。 知识点3 天体质量和密度的估算 中心天体质量和密度常用的估算方法 质 量 的 计 算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 利用运 行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得 到中心 天体的 质量 r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 密 度 的计 算 利用天体表面 重力加速度 g、R mg＝ M＝ － 利用运 行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用近 地卫星 只需测 出其运 行周期 利用天体 表面重力 加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ — ⚠特别提醒 估算天体质量和密度的“四点”注意 (1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。 (3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。 (4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。 ✨得分速记 “天体质量与密度估算主要分为两大模型：星球表面模型与环绕卫星模型。解题优先找准已知条件，灵活运用黄金代换或万有引力提供向心力列式。书写时先写出原始公式，再逐步推导，争取步骤分。区分星球半径与卫星轨道半径，这是高频易错点。近地卫星可近似轨道半径等于天体半径，方便直接计算密度。利用环绕周期求解密度时，牢记对应的推导结论。遇到多个天体对比，多用比例法简化计算，避免复杂常量运算。答题看清设问，区分求解中心天体质量还是密度，不要遗漏球体体积公式。 模拟·基础演练 考查重点：福建高考万有引力与航天多以选择形式考查，分值 4 至 6 分，极少出现计算题。核心考查开普勒定律的轨道参数比较、黄金代换求解星球表面重力加速度、天体质量与密度估算。命题常以卫星、深空探测为情境，侧重比例运算，计算难度适中。高频陷阱为混淆天体半径与轨道半径，重视模型辨析，注重区分星球表面重力与轨道处向心加速度，强化公式选用与规范书写。 ⏳题型01 开普勒三大定律 1．（2026·福建厦门·模拟预测）（多选）卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，若仅考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知，下列说法正确的是（     ） A．P、Q绕行星公转的周期之比为 B．过程中P、Q与行星的连线扫过的面积相等 C．P、Q轨道的长轴比为 D．P的近地点与远地点离行星的距离比为 【答案】CD 【详解】A．根据万有引力公式 可得离行星最近时引力最大，离行星最远时引力最小，从最近点到最远点的时间为 由图可得， P、Q绕行星公转的周期之比为，故A错误； B．根据开普勒第二定律，同一个天体在相同时间内与中心天体的连线扫过的面积相等，而不是不同的天体在相同时间内与中心天体的连线扫过的面积相等，故B错误； C．根据开普勒第三定律得 解得P、Q轨道的长轴比为，故C正确； D．P离行星最近时引力 P离行星最远时引力 P的近地点与远地点离行星的距离比为，故D正确。 故选CD。 2．（2026·福建三明·二模）（多选）如图，绕地心O运动的倾斜圆轨道卫星a、b，其运动可视为匀速圆周运动，a、b的周期分别为地球自转周期的和。t0时刻，a、b恰好均经过地球赤道上P点的正上方，则（　　） A．a、b的轨道半径之比为 B．a、b的向心加速度大小之比为 C．从t0时刻到下一次a卫星经过P点正上方时，a恰好绕地心转5圈 D．从t0时刻到下一次b卫星经过P点正上方时，b恰好绕地心转5圈 【答案】BC 【详解】A．设地球自转周期为，由题意得， 根据开普勒第三定律 解得，A错误； B．万有引力提供向心力 可得 因此 ，B正确； C．设下一次a卫星经过P点正上方时，a卫星绕整圈，P点绕整圈。因为卫星运行轨道与地球赤道不公面，所以下一次a卫星经过P点正上方有两种情况。第一种是各自运行整数圈，可知 解得， 第二种是各自运行整数圈加半圈，则有 则m、n无解，综上可知从t0时刻到下一次a卫星经过P点正上方时，a恰好绕地心转5圈，C正确； D．同理，下一次b卫星经过P点正上方有两种情况。第一种是各自运行整数圈，可知 解得， 第二种是各自运行整数圈加半圈，则有 则， 综上可知从t0时刻到下一次b卫星经过P点正上方时，b恰好绕地心转2.5圈，D错误。 故选BC。 3．（2026·福建·三模）星下点是卫星和地心的连线与地球表面的交点，极地卫星的星下点轨迹会扫过南北两极。如图所示，某颗极地卫星绕地球做圆周运动，轨道半径是同步卫星轨道半径的，同步卫星的周期为T，则该极地卫星的星下点相邻两次经过赤道的时间间隔为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据开普勒第三定律，绕地球做圆周运动的卫星满足 。 设同步卫星轨道半径为 ，周期为 ；该极地卫星轨道半径 ，周期为 根据开普勒第三定律 整理得 极地卫星轨道过地心，与赤道平面交于两点，卫星一个周期内会两次经过赤道平面（对应两次星下点落在赤道上），因此相邻两次星下点经过赤道的时间间隔为半个周期 故选D。 4．（2026·福建·三模）在真空无重力环境中，一带负电的粒子仅在库仑力作用下，绕固定的场源电荷做椭圆运动，场源电荷在椭圆的一个焦点上，、分别为椭圆半长轴和半短轴的顶点，下列说法正确的是（　　） A．椭圆轨道上点的电势高于在点的电势 B．粒子在点的电势能大于在点的电势能 C．粒子在点的速率大于在点的速率 D．粒子从点运动至点的时间为椭圆运动周期的 【答案】B 【详解】A．正点电荷的电场中，越靠近正电荷电势越高，因此，点电势低于点，故A错误； B．电势能满足 由于粒子带负电，因此电势越低，负电荷电势能越大。由可知 即粒子在点的电势能大于在点的电势能，故B正确； C．粒子仅受库仑力，动能和电势能之和守恒，由可知 由动能的表达式 可知粒子在点的速率小于在点的速率，故C错误； D．因库仑力与万有引力规律相似，由开普勒第二定律可知，粒子与场源电荷的连线在相同时间内扫过的面积相等；粒子离越远速率越小，点离最远，粒子在点速率最小，因此粒子从点运动至点的平均速率偏小，而粒子运动的路程为椭圆周长的，因此粒子从点运动至点的时间大于椭圆运动周期的，故D错误。 故选B。 5．（2026·福建南平·二模）如图，神舟21号载人飞船在椭圆轨道上无动力飞行，在远地点Q对地球观测的最大张角为2θ，在近地点P对地球观测的最大张角为2α。地球可视为质量为M的均匀球体，半径为R。规定距地球无穷远处引力势能为零，飞船与地球中心距离为r时的引力势能为，忽略空气阻力，引力常量为G。则神舟21号在P点的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】飞船在椭圆轨道上无动力飞行，只有引力做功，机械能守恒，则有 根据开普勒第二定律，有 联立解得 故选A。 6．（2026·福建厦门·二模）2025年10月6日，国家航天局和国家原子能机构联合发布了“嫦娥六号”探测器在月球背面采集样品的研究最新成果。如图所示为“嫦娥六号”登月的部分过程，探测器首先在周期为的椭圆轨道1运行，经过P点时点火________（选填“加速”或“减速”）变轨进入周期为的椭圆轨道2，可得椭圆轨道1、2的半长轴之比________。 【答案】 减速 【详解】【小题1】[1]从大椭圆轨道1变轨到更小的椭圆轨道2，探测器做近心运动，需要在点点火减速，实现向内侧轨道变轨； [2]根据开普勒第三定律有 可得 其中， 可得 7．（2026·湖北荆州·二模）（多选）2025年5月29日发射的“天问二号”探测器在完成对小行星2016H03的采样返回任务后，将转而对主带彗星311P开展伴飞探测。可认为：探测器无动力绕311P做匀速圆周运动，半径为，周期为；地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为，周期为；绕太阳做椭圆轨道运动，半长轴为，周期为。下列选项正确的是（　　） A． B．311P在远日点的线速度小于地球运行的线速度 C．311P在近日点的加速度大于地球运行的加速度 D．地球与太阳的连线和311P与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等 【答案】BD 【详解】A．开普勒第三定律，常数仅与中心天体有关。探测器绕311P运动，中心天体是311P，地球和311P绕太阳运动，中心天体是太阳。中心天体不同，不同，因此，故A错误； B．由轨道图可知，311P椭圆半长轴，远日点到太阳的距离 对绕太阳做匀速圆周运动的天体，由万有引力提供向心力，有 解得线速度​​​ 因此处的圆轨道线速度 而311P在远日点需要向近日点做近心运动，线速度小于同距离圆轨道的线速度，则311P在远日点的线速度小于地球运行的线速度，故B正确； C．万有引力提供加速度，由牛顿第二定律，得 解得加速度 由轨道图可知，地球轨道完全在311P椭圆轨道内部，因此311P近日点到太阳的距离​，可得，即近日点加速度小于地球加速度，故C错误； D．根据开普勒第二定律可知，对同一绕中心天体运动的天体，与中心天体的连线在相等时间内扫过相等面积，该结论不适用于不同天体，因此地球和311P与太阳的连线，相同时间内扫过的面积不相等，故D正确。 故选BD。 ⏳题型02 星体表面的重力加速度 8．（2026·福建厦门·模拟预测）（多选）2025年6月，天文学家发现在距地球2472光年之外，有一颗适合人类居住的超级行星，该行星被命名为“开普勒725C”，其质量约为地球质量的9倍。若该行星地表的重力加速度大小与地球相同，则该行星（　　） A．半径约为地球半径的3倍 B．半径约为地球半径的9倍 C．第一宇宙速度约为地球的倍 D．第一宇宙速度约为地球的3倍 【答案】AC 【详解】AB．行星表面，万有引力约等于重力得 由题意得， 联立得 可得，故A正确，B错误； CD．第一宇宙速度为物体贴着行星表面绕行的速度，重力充当向心力得 可得 即，故C正确，D错误。 故选AC。 9．（2026·福建漳州·三模）我国计划于2026年下半年发射嫦娥七号探测器，对月球地形地貌、物质成分、空间环境进行综合探测。已知月球质量为，月球半径为，引力常量为，忽略月球自转。 (1)求月球表面的重力加速度大小； (2)求月球的第一宇宙速度； (3)若在月球表面上方高处，以初速度竖直向上抛出一小球，求小球从最高点落回月球表面所用的时间（重力加速度不变）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在月球表面，万有引力近似等于重力，即                  解得 （2）由万有引力提供向心力得                  解得 （3）小球竖直上抛，设小球上升的最大高度为H，由运动学公式得 小球自由下落，由运动学公式得 解得 10．（2026·福建·模拟预测）（多选）如图甲所示，在星球A表面，一质量的物块从倾角为的斜面顶端由静止释放、下滑至斜面底端的过程中物块动能随下降高度h变化的图像如图乙所示。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为0.5，星球A的平均密度与地球相同，地球表面的重力加速度大小g取，忽略星球自转，则星球A（　　） A．表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为 B．表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为 C．第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为 D．第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为 【答案】AC 【详解】AB．滑块由顶端到底端过程中，设星球A表面的重力加速度为，由动能定理有 代入数据得 即星球A表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为，故A正确，B错误； CD．根据万有引力提供向心力，有 解得第一宇宙速度为 对于天体，忽略自转时，根据万有引力等于重力，有 即 由于星球A平均密度与地球相等，故 可得第一宇宙速度之比，故C正确，D错误。 故选AC。 11．（2026·福建莆田·二模）“鹊桥号”中继星与“玉兔二号”月球车实现月空-月面精准协同探测，中继星通过轨道摄动测算月球天体参数，为月球车开展地表实验提供数据支撑。中继星测算的月球半径为R、表面重力加速度为g，已知万有引力常量为G。 (1)月球车在月球表面开展平抛运动实验，从高度h水平发射一小球，中继星通过星载相机测得小球的水平位移为x，求发射的初速度大小； (2)中继星在半径为的轨道上绕月球做匀速圆周运动，求中继星的绕行速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设小球发射的初速度为，运动时间为t，由平抛运动规律得，联立解得 （2）设月球的质量为M，中继星的质量为m，绕行速度为v，由牛顿第二定律得 设月球表面某物体质量为，由万有引力和重力关系得 联立解得 12．（2025·福建泉州·一模）月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在地球极地处，万有引力等于重力 地球对月球的万有引力提供向心力 在月球极地处 在月球赤道处 联立，解得 故选A。 13．（2025·福建宁德·模拟预测）（多选）2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场发射升空，鹊桥二号踏上奔月征途，它将为地球和月球架起通信的天桥。其运动轨迹如图所示，已知远月点B与月球中心的距离约为近月点C与月球中心距离的9倍，地球半径约是月球半径的k倍，地球质量约是月球质量的p倍。下列说法正确的是（　　） A．鹊桥二号在B点由地月转移轨道进入环月轨道时必须加速 B．鹊桥二号在C、B两点受到的月球引力大小之比约为81∶1 C．地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值约为 D．地球表面的重力加速度与月球表面重力加速度的比值约为 【答案】BC 【详解】A．卫星从高轨道变轨到低轨道需要在变轨处点火减速，所以鹊桥二号在B点由地月转移轨道进入环月轨道时必须减速，故A错误； B．根据牛顿第二定律可得 可得鹊桥二号在C、B两点受到的月球引力大小之比为，故B正确； C．在星球表面有 解得星球第一宇宙速度为 则地球的第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值为，故C正确； D．在星球表面有 解得 则地球表面的重力加速度与月球表面重力加速度的比值为，故D错误。 故选BC。 14．（2025·福建福州·模拟预测）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为RA、RB，距A、B行星中心r处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为bA、bB。已知两图像数据均采用国际单位，，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A．图乙中两条直线的斜率均为 B．行星A、B的质量之比为1∶3 C．行星A、B的密度之比为1∶9 D．行星A、B表面的重力加速度大小之比为3∶1 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 整理得 两边取对数得 图乙中两条直线的斜率均为，故A错误； B．根据已知条件有 解得 故B错误； C．根据万有引力提供向心力有 得 由题图甲可知，图线最左侧表示卫星绕两行星贴地飞行，纵坐标相同即两行星的第一宇宙速度相等，有 解得 两行星的密度满足 解得 故C正确； D．根据重力由万有引力提供，有 在星球表面 解得 故D错误。 故选C。 ⏳题型03 天体质量和密度的估算 15．（2025·福建·模拟预测）（多选）在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度竖直上抛一小球，小球在空中运动时的图像分别如图所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，下列说法正确的是（　　） A．星球P和星球Q的质量之比为 B．星球P和星球Q的质量之比为 C．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为 D．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为 【答案】AC 【详解】AB．根据图像可知星球P和星球Q的重力加速度之比 由黄金代换式有 又因为星球P的半径是星球Q半径的3倍，即 联立解得，故A正确，B错误； CD．对于近地卫星有 解得近地卫星周期 联立以上可得，故C正确，D错误。 故选AC。 16．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）设想在将来的某一天，一位航天员乘坐中国航天集团的飞行器，成功地降落在火星上。他在离火星地面表面高h（h远小于火星的半径）处无初速释放一小球，认为小球在火星表面做初速度为零的匀加速直线运动，即火星上的自由落体运动，并测得小球落地时速度为v（不计阻力），已知引力常量为G，火星半径为R，下列正确的是（　　） A．小球下落所用的时间 B．火星表面的重力加速度 C．火星的质量 D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度 【答案】BC 【详解】AB．根据动力学公式 解得火星表面的重力加速度为 小球下落所用的时间，故A错误，B正确； C．根据万有引力与重力的关系 解得火星的质量为，故C正确； D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度为，故D错误。 故选BC。 17．（2025·福建·模拟预测）如图，两颗地球卫星A、B的轨道处于同一平面，P为A卫星椭圆轨道的远地点，两卫星轨道相切于A的近地点Q；B为近地卫星，周期为T；A卫星的远地点P到地球中心的距离为，地球半径为R，引力常量为G，求： (1)地球表面的重力加速度g和地球质量M； (2)A卫星的周期。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）对于近地卫星B，由万有引力提供磁场力可得 解得地球质量为 在地球表面有 解得地球表面的重力加速度为 （2）A卫星轨道半长轴为 根据开普勒第三定律可得 解得A卫星的周期为 18．（2025·福建漳州·模拟预测）我们通常以地球上看到的角度（即“角直径”，如图中θ）来描述遥远星球的大小。已知地球绕太阳的公转周期T、角直径θ和引力常量G，则能求出的物理量有（　　） A．太阳的质量 B．太阳的平均密度 C．地球的平均密度 D．地球绕太阳公转的轨道半径 【答案】B 【详解】AD．设太阳的半径为R，根据几何关系可得地球绕太阳运动的轨道半径 根据万有引力提供向心力 可得太阳的质量 由于太阳半径未知，所以无法求出太阳的质量和地球绕太阳公转的轨道半径，故AD错误； B．根据 又 可得太阳的平均密度，故B正确； C．地球是环绕天体，地球的半径未知，质量未知，无法求出地球的平均密度，故C错误。 故选B。 19．（2025·江西萍乡·二模）2024年11月04日凌晨，神舟十八号载人飞船成功返回地面，神舟飞船返回过程简化如图所示。神舟十八号载人飞船与空间站分离后沿椭圆轨道1运行，圆形轨道2为空间站运行轨道，P为两轨道切点，Q为轨道1近地点，Q点离地高度不计。已知轨道2的半径为r，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，轨道1的周期为T，引力常量为G，下列分析或结论正确的是（　　） A．载人飞船在轨道1上经过P点时速度等于 B．载人飞船在轨道1上经过P点时速度大于 C．空间站在轨道2运行的速率等于 D．地球质量 【答案】C 【详解】ABC．根据 载人飞船在轨道2上运动时 解得 飞船从轨道1上的P点加速才能进入轨道2，可知飞船在轨道1上经过P点时速度小于，选项AB错误，C正确； D．飞船在轨道2上运行时 可得地球质量 选项D错误。 故选C。 20．（2024·福建·一模）三位科学家因在银河系中心发现一个超大质量的黑洞而获得了诺贝尔物理学奖，他们对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出（    ） A．黑洞质量约为 B．黑洞质量约为 C．恒星S2质量约为 D．恒星S2质量约为 【答案】B 【详解】设地球的质量为m，地球到太阳的距离为r=1AU，地球的公转周期为T=1年； 由万有引力提供向心力可得 解得 对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R=1000AU，根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期为（2002-1994）年=8年，则周期为T′=16年 根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出 其中R为S2的轨迹半长轴，因此有 代入数据解得M黑≈4×106M 根据题中条件无法求解恒星S2的质量。 故选B。 21．（2024·福建漳州·一模）“嫦娥七号”探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器绕月球做周期为的匀速圆周运动，轨道半径可认为等于月球半径。月球绕地球做周期为的匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的倍。引力常量为，则（　　） A．根据题中所给信息可求出地球的质量 B．根据题中所给信息可求出月球的质量 C．周期和满足 D．地球质量与月球质量之比 【答案】D 【详解】A．月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，则有 解得 由于不知道月球的半径，故不能求出地球的质量，故A错误； B．嫦娥七号绕月球表面做匀速圆周运动的周期为，则有 解得 由于不知道月球的半径，故不能求出月球的质量，故B错误； C．开普勒第三定律是相对于同一个中心天体的，不同的中心天体该表达式不正确，故C错误； D．地球的质量与月球的质量之比等于 故D正确。 故选D。 ⏳题型04 开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题 22．（2026·福建福州·三模）（多选）如图所示，中国“天眼”球面射电望远镜发现了一对脉冲双星，该双星质量分布均匀，由一颗脉冲星和一颗白矮星组成，双星、围绕中心点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为，双星间距为。为白矮星的卫星，围绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为，且。与之间的引力远大于与之间的引力，不考虑对的影响。已知白矮星的质量为，引力常量为，则（　　） A．双星的质量和为 B．卫星围绕做匀速圆周运动的半径为 C．卫星围绕的向心加速度大小为 D．、、三星相邻两次共线时间间隔为 【答案】BD 【详解】A．对脉冲星a进行受力分析，有 对白矮星b进行受力分析，有 其中 解得，故A错误； B．对卫星c进行受力分析，有 解得，故B正确； C．对卫星c进行受力分析有 解得，故C错误； D．设a、b、c三星相邻两次共线时间间隔为，则有 解得，故D正确。 故选BD。 23．（2025·湖南·二模）（多选）我国发射的“风云三号05”气象卫星始终沿晨昏线运行，故被命名为“黎明星”。已知地球半径为6400km，地球极地表面的重力加速度取10 m/s²。“黎明星”做圆周运动时离地面的高度为800km，地球自转周期为24h。某天黎明时分“黎明星”正好经过北京市正上方，取3.2，取8.5，不考虑地球的公转，则“黎明星”（　　） A．绕地球转动的轨道圆心可能不在地心上 B．周期约为1.7h C．下次在黎明时分经过北京正上方约需要17天 D．下次在黎明时分经过北京正上方约需要24天 【答案】BC 【详解】A．做圆周运动的卫星，轨道圆心一定在地心上，因为万有引力提供向心力，故A错误； B．根据万有引力提供向心力有 又根据黄金代换有 联立解得，故B正确； CD．该时刻后“黎明星”经过恰好运动一个周期回到“原地”，而北京转回“原地”，需要，与的最小公倍数为17天，故C正确，D错误。 故选BC。 24．（2025·福建泉州·一模）（多选）高轨道卫星c利用激光对低轨道卫星a进行跟踪监测。如图，两卫星均沿顺时针方向在同一平面内做匀速圆周运动，图示时刻两卫星与圆心O恰好在同一直线上，当a、c分别转过135°和45°时，a恰好还能被c监测到。已知a的绕行周期为T，地球的半径为R，取，则（   ） A．c的绕行周期为3T B．每次c对a连续监测的时间为 C．a的轨道半径大小为 D．c所在轨道上增加两颗卫星，才可以对a进行全程跟踪 【答案】AC 【详解】A．当a、c分别转过135°和45°，相同时间内a转过的角度是c的3倍，所以a的角速度是c的3倍，根据可知c的绕行周期为a的3倍，是3T，故A正确； B．当a、c分别转过135°和45°时，a恰好还能被c监测到，根据对称性可知，两者反向转时，结论相同，所以c对a连续监测对应圆心角为90°，所以每次c对a连续监测的时间为 故B错误； C．如下图所示，从图示位置转到a′c′位置，此时连线和地面相切，根据开普勒第三定律可知 解得 根据几何关系可知 解得 故C正确； D．根据对称性，c对a连续监测对应圆心角为180°，所以对a进行全程跟踪，需在c所在轨道上增加一颗卫星，故D错误。 故选AC。 【点睛】 25．（2025·福建南平·模拟预测）2024年11月15日，天舟八号货运飞船A成功发射至预定圆轨道。如图所示，空间站天和核心舱B在更高圆轨道上运行，A、B均沿顺时针方向运行，某时刻A、B与地心O的连线夹角为。从图示位置开始计时，经过时间，O、A、B第一次共线。若A、B的运行周期分别为、，则（　　） A．A、B与地心O的连线在相等时间内扫过的面积相等 B． C．A、B在时间内通过弧长之比为 D．从初始位置经时间，A、B第一次相距最远 【答案】B 【详解】A．开普勒第二定律是指同一卫星与中心天体的连线在相等时间内扫过的面积相等，故A错误； B．根据 得 解出，故B正确； C．弧长，又因为， 得正比于，最终得弧长之比为，故C错误； D．从初始位置开始，到第一次相距最远时有 得，故D错误。 故选B。 26．（2025·辽宁·三模）（多选）一颗侦察卫星所在轨道平面与赤道平面重合，通过无线电传输方式与位于赤道上的地面接收站之间传送信息，已知人造地球卫星的最小运行周期为T，地球半径为R，地球自转周期为，该侦察卫星在距离地面R高度处沿圆形轨道运行，运行方向与地球自转方向相同，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．可以估测出地球的密度为 B．该侦察卫星的周期约为 C．该侦察卫星的运行速度大于第一宇宙速度 D．该侦察卫星连续2次通过接收站正上方的时间间隔为 【答案】AD 【详解】A．对近地卫星进行分析有 且密度 联立解得地球的密度 故A正确； B．由开普勒第三定律有 可知 故B错误； C．第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，故该侦察卫星的运行速度小于第一宇宙速度，故C错误； D．该侦察卫星连续2次通过接收站正上方有 联立解得时间间隔为 故D正确。 故选AD。 27．（2025·福建·二模）2024年12月19日，我国将天启星座04组卫星送入近地轨道，有效解决了地面网络覆盖盲区的问题。如图所示为天启星座04组卫星中的卫星A与北斗导航卫星B绕地球的运动轨迹，两卫星轨道均视为圆轨道，且两轨道平面不共面。某时刻，卫星A恰好位于卫星B的正下方，一段时间后，A在另一位置从B的正下方经过，已知卫星A的轨道半径为，则卫星B的轨道半径可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设“卫星A”卫星周期为，则它运动到地球另一侧经过的时间，， 设导航卫星B周期为，经过的时间， 由于“卫星A”卫星轨道更低，周期更短，则 它再从导航卫星B正下方经过，满足 即， 设导航卫星B的半径为，根据开普勒第三定律，则卫星B的轨道半径 其中、取整数且，D符合题意。 故选D。 28．（2024·福建漳州·三模）（多选）司马迁最早把岁星命名为木星，如图甲所示，两卫星a、b环绕木星在同一平面内做匀速圆周运动，绕行方向相同，卫星c绕木星做椭圆运动，与卫星a、b的轨道分别相切于M、N两点，某时刻开始计时，卫星a、b间距x随时间t变化的关系图像如图乙所示，其中T为已知量，则（　　） A．卫星c在N点的线速度大于卫星b的线速度 B．卫星c在N点的加速度等于卫星b的加速度 C．卫星a、b的运动半径之比为3：5 D．卫星b的运动周期为14T 【答案】BD 【详解】A．卫星c在N点需点火加速才会变轨到卫星b所在的轨道，故卫星c在N点的线速度小于卫星b的线速度，A错误； B．由 可知，只要卫星到中心天体距离相等，加速度就相等，故卫星c在N点的加速度等于卫星b的加速度，B正确； C．由图乙可知, 解得, 故卫星a、b的运动半径之比为1：4，C错误； D．由乙图可知，每隔2T两卫星距离最近，有 由开普勒第三定律 联立可得D正确。 故选BD。 重难·创新演练 设题创新:命题创新常借助深空探测、不同轨道卫星组网等真实航天情境包装模型；结合自转效应考查重力与万有引力的差异；融合双星、多星拓展模型；设置高度 h 与轨道半径易混陷阱，弱化直接套公式，侧重逻辑推导与比例分析，检验学生对模型条件的辨别能力。 1．（2026·福建厦门·模拟预测）地球有周期性的潮汐现象，研究表明潮汐力会耗散地球自转能量，缓慢降低地球自转速度，若仅考虑这一影响因素，则多年以后与现在相比，下列说法正确的是（     ） A．地球表面赤道处的重力加速度减小 B．地球表面两极处的重力加速度增大 C．地球同步卫星的轨道高度降低 D．地球的第一宇宙速度大小不变 【答案】D 【详解】A．赤道处物体的万有引力分为重力和自转向心力，满足 推导得 地球自转速度减慢则减小，增大，故A错误； B．两极处物体无自转向心力，万有引力全部等于重力，即 得 与自转速度无关，因此两极处重力加速度不变，故B错误； C．同步卫星周期等于地球自转周期，地球自转速度减慢则周期增大，根据万有引力提供向心力 整理得 增大则轨道半径增大，轨道高度增大，故C错误； D．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据万有引力提供向心力 得 、地球质量、地球半径均与地球自转速度无关，因此第一宇宙速度大小不变，故D正确。 故选D。 2．（2026·福建福州·二模）（多选）如图所示，质量相同的人造地球卫星M、N（可看作质点）绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星N为地球静止同步轨道卫星。C是纬度为的地球表面上一点，若某时刻地心O与C、M、N在同一平面内，其中O、C、M在一条直线上，且，，，则（    ） A．卫星M受到的万有引力比卫星N大 B．卫星M的机械能比卫星N大 C．两卫星周期之比为 D．两卫星线速度大小之比 【答案】AD 【详解】A．根据万有引力定律，两卫星质量相同，由题意知，所以卫星M受到的万有引力比卫星N大，故A正确； B．如果将卫星M轨道增加到与卫星N的轨道半径一样大，需要对卫星M点火加速，所以卫星M的机械能比卫星N小，故B错误； C．根据开普勒第三定律得 ，故C错误； D．万有引力提供向心力，即 解得 因此  D正确； 故选AD 。 3．（2026·福建南平·一模）中星9C卫星的成功发射标志着我国广播电视卫星传输网络全面实现国产化，发射过程的简化示意图如图所示。卫星先进入椭圆轨道Ⅰ，轨道Ⅰ的近地点到地心的距离可视为与地球半径相等，卫星运动到远地点时，变轨进入地球同步静止轨道Ⅱ，轨道Ⅱ的半径是地球半径的倍。忽略卫星质量变化，卫星在、两点时，地球对其万有引力大小之比________，卫星在轨道Ⅱ上的机械能________（填“大于”“小于”或“等于”）在轨道Ⅰ上的机械能，轨道Ⅱ的半径________（填“大于”“小于”或“等于”）地月距离。 【答案】 大于 小于 【详解】[1]根据万有引力定律 ，由题意：A点到地心距离等于地球半径，B点到地心距离（轨道Ⅱ半径）为，因此 [2]卫星从椭圆轨道Ⅰ变轨到圆轨道Ⅱ时，需要在B点点火加速，才能从做向心运动的椭圆轨道进入圆周运动的圆轨道，该过程发动机对卫星做正功，机械能增加，因此轨道Ⅱ的机械能大于轨道Ⅰ的机械能。 [3]地球同步轨道半径约为6.6倍地球半径，而地月距离约为60倍地球半径，因此同步轨道Ⅱ的半径小于地月距离。 4．（2026·福建泉州·二模）（多选）2025年2月，我国成功为濒临退役的北斗G7卫星注入142kg推进剂，使其寿命延长8年，完成了人类航天史上首次“太空加油”。已知北斗G7卫星处于地球同步静止轨道，绕地球做匀速圆周运动，则G7卫星的（   ） A．角速度小于地球自转的角速度 B．运行速度小于地球的第一宇宙速度 C．向心加速度小于地球表面附近的重力加速度 D．运行速度小于地球赤道上物体随地球自转的线速度 【答案】BC 【详解】A．北斗G7卫星处于地球同步静止轨道，其相对地面静止，周期与地球自转周期相同，则角速度等于地球自转的角速度，故A错误； B．万有引力提供卫星运动所需的向心力，所以 由此解出 地球的第一宇宙速度为时的线速度，因为北斗G7卫星轨道半径更大，则运行速度小于地球的第一宇宙速度，故B正确； C．在地球表面附近有，则 北斗G7卫星向心加速度 因为北斗G7卫星轨道半径,则向心加速度小于地球表面附近的重力加速度，故C正确； D．因角速度等于地球自转的角速度，则由可得运行速度大于地球赤道上物体随地球自转的线速度，故D错误。 故选BC。 5．（2025·浙江台州·一模）（多选）在一次演习中，从赤道上的C点发射导弹，精确击中北极点N。取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在距离地心r处具有的引力势能为；物体在地球引力作用下作椭圆运动（椭圆的光学性质：经过焦点的光线经表面反射后会通过另一焦点）时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为，式中G为引力常量；已知地球质量为M，半径，要求发射所用的能量最少，则（　　） A．不考虑地球自转，当时，发射的能量最小 B．不考虑地球自转，物体发射的能量最小时速度为 C．不考虑地球自转，物体发射的能量最小时速度方向与夹角 D．考虑自转时，物体发射的最小速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到点，则此椭圆一定位于过地心、北极点和赤道上的发射点组成的平面内，因此导弹的发射速度(初速度)必须也在此平面内，地心是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的、两点到焦点的距离相等，故椭圆的长轴是过点垂直的直线，即图上的直线，椭圆的另一焦点必在上。已知质量为的物体在质量为的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量 (无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴的关系为……① 要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为，现点到一个焦点的距离是定值，等于地球的半径，只要位于长轴上的另一焦点到的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于到的垂线的垂足处时，到该焦点的距离必最小。由几何关系可知……② 设发射时导弹的速度为，则有……③ 联立①②③，解得……④ 由②可知时，发射能量最少，A错误，B正确。 C．速度的方向在点与椭圆轨道相切，根据椭圆知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角，从图中可以看出，速度方向与的夹角，C正确。 D．由地球附近的物体受到的万有引力近似等于物体受到的重力，有……⑤ 联立④⑤两式，代入数据解得……⑥ 由于地球绕通过的轴自转，在赤道上点相对地心的速度为……⑦ 所以在地球自转的情况下，导弹发射的最小速度为，D错误。 故选BC。 6．（2025·福建泉州·模拟预测）下列关于物理学史或物理认识说法正确的是（　　） A．牛顿的理想实验将实验事实和逻辑推理相结合得出了力不是维持物体运动的原因 B．通过第谷观测，开普勒发现所有行星围绕太阳运动轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 C．牛顿对引力常量进行了准确测定，并于1687年发表在《自然哲学的数学原理》中 D．根据平均速度的定义式，当，就可以表示物体在时刻的瞬时速度，则平均速度定义采用了比值定义法，瞬时速度在此基础上运用了微元法 【答案】B 【详解】A．伽利略通过理想实验结合实验事实和逻辑推理，得出力不是维持物体运动的原因，而非牛顿，A错误； B．开普勒通过分析第谷的观测数据，总结出行星运动第一定律，即行星轨道为椭圆，太阳位于焦点，B正确； C．牛顿提出万有引力定律，但引力常量G的准确测定由卡文迪许完成，C错误； D．平均速度的定义是比值定义法，而瞬时速度通过取的极限得到，运用的是极限法，而非微元法，D错误。 故选B。 7．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选）如图甲，某行星外围有一圈厚度为d的发光带，R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r的倒数之间的关系图像如图乙所示图线中为已知量。已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．该行量的第一宇宙速度为 B．该行星的质量 C．该行星的平均密度 D．该行星表面的重力加速度 【答案】AC 【详解】B．该发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，由万有引力提供向心力，有 化简可得 又由题图乙可知图像的斜率 故 联立可得该行星的质量，故B错误； D．当时，有 得行星表面的重力加速度，故D错误； A．行星的第一宇宙速度，故A正确； C．该行星的平均密度，故C正确。 故选AC。 真题·实战演练 高频考点：高考万有引力高频考点包含开普勒三大定律、黄金代换式的应用，星球表面重力加速度求解，天体质量、密度估算以及卫星轨道参量比较。试题多为选择题，侧重比例法运算。常设置陷阱区分天体半径与轨道半径，偶尔融入星球自转模型，依托航天热点命题，注重物理模型辨析，一般不设置繁杂计算。 1．（2021·福建·高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求： （1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； （2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为，末速度大小为，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有   ① 代入题给数据得   ② 设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有   ③ 联立②③式并代入题给数据得   ④ （2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有 ⑤ ⑥ 式中G为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为，由力的平衡条件有 ⑦ 联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得   ⑧ 在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为。 2．（2011·福建·高考真题）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常数G，半径为R的球体体积公式，则可估算月球的（　　） A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期 【答案】A 【详解】A．研究“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式G=mR M= 由于嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行，所以R可以认为是月球半径．根据密度公式 ρ===故A正确； B．根据A选项分析，由于不知道月球半径R，所以不能求出月球质量．故B错误； C．根据A选项分析，不能求出月球半径，故C错误； D．根据题意不能求出月球自传周期，故D错误。 故选A。 3．（2012·福建·高考真题）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据G=mg，所以 ，根据万有引力提供向心力得： 解得：  ，故选B. 4．（2013·福建·高考真题）设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作为r的圆，已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设行星的质量为m，根据万有引力提供行星绕太阳运动的向心力有 根据牛顿第二定律有 联立以上两式解得 故选A。 5．（2021·福建·高考真题）（多选）两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星的位置变化进行了持续观测，记录到的的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为（太阳到地球的距离为），的运行周期约为16年。假设的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出（　　） A．与银河系中心致密天体的质量之比 B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比 C．在P点与Q点的速度大小之比 D．在P点与Q点的加速度大小之比 【答案】BCD 【详解】A．设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率 且由题知，Q与O的距离约为，即 由此可得出a与c，由于是围绕致密天体运动，根据万有定律，可知无法求出两者的质量之比，故A错误； B．根据开普勒第三定律有 式中k是与中心天体的质量M有关，且与M成正比；所以，对是围绕致密天体运动有 对地球围绕太阳运动有 两式相比，可得 因的半长轴a、周期，日地之间的距离，地球围绕太阳运动的周期都已知，故由上式，可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确； C．根据开普勒第二定律有 解得 因a、c已求出，故可以求出在P点与Q点的速度大小之比，故C正确； D．不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有 解得 因P点到O点的距离为a+c,，Q点到O点的距离为a-c，解得 因a、c已求出，故在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。 故选BCD。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 万有引力定律（专项训练） ⏳题型01 开普勒三大定律 1．CD 【详解】A．根据万有引力公式 可得离行星最近时引力最大，离行星最远时引力最小，从最近点到最远点的时间为 由图可得， P、Q绕行星公转的周期之比为，故A错误； B．根据开普勒第二定律，同一个天体在相同时间内与中心天体的连线扫过的面积相等，而不是不同的天体在相同时间内与中心天体的连线扫过的面积相等，故B错误； C．根据开普勒第三定律得 解得P、Q轨道的长轴比为，故C正确； D．P离行星最近时引力 P离行星最远时引力 P的近地点与远地点离行星的距离比为，故D正确。 故选CD。 2．BC 【详解】A．设地球自转周期为，由题意得， 根据开普勒第三定律 解得，A错误； B．万有引力提供向心力 可得 因此 ，B正确； C．设下一次a卫星经过P点正上方时，a卫星绕整圈，P点绕整圈。因为卫星运行轨道与地球赤道不公面，所以下一次a卫星经过P点正上方有两种情况。第一种是各自运行整数圈，可知 解得， 第二种是各自运行整数圈加半圈，则有 则m、n无解，综上可知从t0时刻到下一次a卫星经过P点正上方时，a恰好绕地心转5圈，C正确； D．同理，下一次b卫星经过P点正上方有两种情况。第一种是各自运行整数圈，可知 解得， 第二种是各自运行整数圈加半圈，则有 则， 综上可知从t0时刻到下一次b卫星经过P点正上方时，b恰好绕地心转2.5圈，D错误。 故选BC。 3．D 【详解】根据开普勒第三定律，绕地球做圆周运动的卫星满足 。 设同步卫星轨道半径为 ，周期为 ；该极地卫星轨道半径 ，周期为 根据开普勒第三定律 整理得 极地卫星轨道过地心，与赤道平面交于两点，卫星一个周期内会两次经过赤道平面（对应两次星下点落在赤道上），因此相邻两次星下点经过赤道的时间间隔为半个周期 故选D。 4．B 【详解】A．正点电荷的电场中，越靠近正电荷电势越高，因此，点电势低于点，故A错误； B．电势能满足 由于粒子带负电，因此电势越低，负电荷电势能越大。由可知 即粒子在点的电势能大于在点的电势能，故B正确； C．粒子仅受库仑力，动能和电势能之和守恒，由可知 由动能的表达式 可知粒子在点的速率小于在点的速率，故C错误； D．因库仑力与万有引力规律相似，由开普勒第二定律可知，粒子与场源电荷的连线在相同时间内扫过的面积相等；粒子离越远速率越小，点离最远，粒子在点速率最小，因此粒子从点运动至点的平均速率偏小，而粒子运动的路程为椭圆周长的，因此粒子从点运动至点的时间大于椭圆运动周期的，故D错误。 故选B。 5．A 【详解】飞船在椭圆轨道上无动力飞行，只有引力做功，机械能守恒，则有 根据开普勒第二定律，有 联立解得 故选A。 6．【答案】 减速 【详解】【小题1】[1]从大椭圆轨道1变轨到更小的椭圆轨道2，探测器做近心运动，需要在点点火减速，实现向内侧轨道变轨； [2]根据开普勒第三定律有 可得 其中， 可得 7．BD 【详解】A．开普勒第三定律，常数仅与中心天体有关。探测器绕311P运动，中心天体是311P，地球和311P绕太阳运动，中心天体是太阳。中心天体不同，不同，因此，故A错误； B．由轨道图可知，311P椭圆半长轴，远日点到太阳的距离 对绕太阳做匀速圆周运动的天体，由万有引力提供向心力，有 解得线速度​​​ 因此处的圆轨道线速度 而311P在远日点需要向近日点做近心运动，线速度小于同距离圆轨道的线速度，则311P在远日点的线速度小于地球运行的线速度，故B正确； C．万有引力提供加速度，由牛顿第二定律，得 解得加速度 由轨道图可知，地球轨道完全在311P椭圆轨道内部，因此311P近日点到太阳的距离​，可得，即近日点加速度小于地球加速度，故C错误； D．根据开普勒第二定律可知，对同一绕中心天体运动的天体，与中心天体的连线在相等时间内扫过相等面积，该结论不适用于不同天体，因此地球和311P与太阳的连线，相同时间内扫过的面积不相等，故D正确。 故选BD。 ⏳题型02 星体表面的重力加速度 8．AC 【详解】AB．行星表面，万有引力约等于重力得 由题意得， 联立得 可得，故A正确，B错误； CD．第一宇宙速度为物体贴着行星表面绕行的速度，重力充当向心力得 可得 即，故C正确，D错误。 故选AC。 9．【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）在月球表面，万有引力近似等于重力，即                  解得 （2）由万有引力提供向心力得                  解得 （3）小球竖直上抛，设小球上升的最大高度为H，由运动学公式得 小球自由下落，由运动学公式得 解得 10．AC 【详解】AB．滑块由顶端到底端过程中，设星球A表面的重力加速度为，由动能定理有 代入数据得 即星球A表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为，故A正确，B错误； CD．根据万有引力提供向心力，有 解得第一宇宙速度为 对于天体，忽略自转时，根据万有引力等于重力，有 即 由于星球A平均密度与地球相等，故 可得第一宇宙速度之比，故C正确，D错误。 故选AC。 11．【答案】(1)(2) 【详解】（1）设小球发射的初速度为，运动时间为t，由平抛运动规律得，联立解得 （2）设月球的质量为M，中继星的质量为m，绕行速度为v，由牛顿第二定律得 设月球表面某物体质量为，由万有引力和重力关系得 联立解得 12．A 【详解】在地球极地处，万有引力等于重力 地球对月球的万有引力提供向心力 在月球极地处 在月球赤道处 联立，解得 故选A。 13．BC 【详解】A．卫星从高轨道变轨到低轨道需要在变轨处点火减速，所以鹊桥二号在B点由地月转移轨道进入环月轨道时必须减速，故A错误； B．根据牛顿第二定律可得 可得鹊桥二号在C、B两点受到的月球引力大小之比为，故B正确； C．在星球表面有 解得星球第一宇宙速度为 则地球的第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值为，故C正确； D．在星球表面有 解得 则地球表面的重力加速度与月球表面重力加速度的比值为，故D错误。 故选BC。 14．C 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 整理得 两边取对数得 图乙中两条直线的斜率均为，故A错误； B．根据已知条件有 解得 故B错误； C．根据万有引力提供向心力有 得 由题图甲可知，图线最左侧表示卫星绕两行星贴地飞行，纵坐标相同即两行星的第一宇宙速度相等，有 解得 两行星的密度满足 解得 故C正确； D．根据重力由万有引力提供，有 在星球表面 解得 故D错误。 故选C。 ⏳题型03 天体质量和密度的估算 15．AC 【详解】AB．根据图像可知星球P和星球Q的重力加速度之比 由黄金代换式有 又因为星球P的半径是星球Q半径的3倍，即 联立解得，故A正确，B错误； CD．对于近地卫星有 解得近地卫星周期 联立以上可得，故C正确，D错误。 故选AC。 16．BC 【详解】AB．根据动力学公式 解得火星表面的重力加速度为 小球下落所用的时间，故A错误，B正确； C．根据万有引力与重力的关系 解得火星的质量为，故C正确； D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度为，故D错误。 故选BC。 17．(1)，(2) 【详解】（1）对于近地卫星B，由万有引力提供磁场力可得 解得地球质量为 在地球表面有 解得地球表面的重力加速度为 （2）A卫星轨道半长轴为 根据开普勒第三定律可得 解得A卫星的周期为 18．B 【详解】AD．设太阳的半径为R，根据几何关系可得地球绕太阳运动的轨道半径 根据万有引力提供向心力 可得太阳的质量 由于太阳半径未知，所以无法求出太阳的质量和地球绕太阳公转的轨道半径，故AD错误； B．根据 又 可得太阳的平均密度，故B正确； C．地球是环绕天体，地球的半径未知，质量未知，无法求出地球的平均密度，故C错误。 故选B。 19．【答案】C 【详解】ABC．根据 载人飞船在轨道2上运动时 解得 飞船从轨道1上的P点加速才能进入轨道2，可知飞船在轨道1上经过P点时速度小于，选项AB错误，C正确； D．飞船在轨道2上运行时 可得地球质量 选项D错误。 故选C。 20．B 【详解】设地球的质量为m，地球到太阳的距离为r=1AU，地球的公转周期为T=1年； 由万有引力提供向心力可得 解得 对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R=1000AU，根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期为（2002-1994）年=8年，则周期为T′=16年 根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出 其中R为S2的轨迹半长轴，因此有 代入数据解得M黑≈4×106M 根据题中条件无法求解恒星S2的质量。 故选B。 21．D 【详解】A．月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，则有 解得 由于不知道月球的半径，故不能求出地球的质量，故A错误； B．嫦娥七号绕月球表面做匀速圆周运动的周期为，则有 解得 由于不知道月球的半径，故不能求出月球的质量，故B错误； C．开普勒第三定律是相对于同一个中心天体的，不同的中心天体该表达式不正确，故C错误； D．地球的质量与月球的质量之比等于 故D正确。 故选D。 ⏳题型04 开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题 22．BD 【详解】A．对脉冲星a进行受力分析，有 对白矮星b进行受力分析，有 其中 解得，故A错误； B．对卫星c进行受力分析，有 解得，故B正确； C．对卫星c进行受力分析有 解得，故C错误； D．设a、b、c三星相邻两次共线时间间隔为，则有 解得，故D正确。 故选BD。 23．BC 【详解】A．做圆周运动的卫星，轨道圆心一定在地心上，因为万有引力提供向心力，故A错误； B．根据万有引力提供向心力有 又根据黄金代换有 联立解得，故B正确； CD．该时刻后“黎明星”经过恰好运动一个周期回到“原地”，而北京转回“原地”，需要，与的最小公倍数为17天，故C正确，D错误。 故选BC。 24．AC 【详解】A．当a、c分别转过135°和45°，相同时间内a转过的角度是c的3倍，所以a的角速度是c的3倍，根据可知c的绕行周期为a的3倍，是3T，故A正确； B．当a、c分别转过135°和45°时，a恰好还能被c监测到，根据对称性可知，两者反向转时，结论相同，所以c对a连续监测对应圆心角为90°，所以每次c对a连续监测的时间为 故B错误； C．如下图所示，从图示位置转到a′c′位置，此时连线和地面相切，根据开普勒第三定律可知 解得 根据几何关系可知 解得 故C正确； D．根据对称性，c对a连续监测对应圆心角为180°，所以对a进行全程跟踪，需在c所在轨道上增加一颗卫星，故D错误。 故选AC。 25．B 【详解】A．开普勒第二定律是指同一卫星与中心天体的连线在相等时间内扫过的面积相等，故A错误； B．根据 得 解出，故B正确； C．弧长，又因为， 得正比于，最终得弧长之比为，故C错误； D．从初始位置开始，到第一次相距最远时有 得，故D错误。 故选B。 26．AD 【详解】A．对近地卫星进行分析有 且密度 联立解得地球的密度 故A正确； B．由开普勒第三定律有 可知 故B错误； C．第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，故该侦察卫星的运行速度小于第一宇宙速度，故C错误； D．该侦察卫星连续2次通过接收站正上方有 联立解得时间间隔为 故D正确。 故选AD。 27．D 【详解】设“卫星A”卫星周期为，则它运动到地球另一侧经过的时间，， 设导航卫星B周期为，经过的时间， 由于“卫星A”卫星轨道更低，周期更短，则 它再从导航卫星B正下方经过，满足 即， 设导航卫星B的半径为，根据开普勒第三定律，则卫星B的轨道半径 其中、取整数且，D符合题意。 故选D。 28．BD 【详解】A．卫星c在N点需点火加速才会变轨到卫星b所在的轨道，故卫星c在N点的线速度小于卫星b的线速度，A错误； B．由 可知，只要卫星到中心天体距离相等，加速度就相等，故卫星c在N点的加速度等于卫星b的加速度，B正确； C．由图乙可知, 解得, 故卫星a、b的运动半径之比为1：4，C错误； D．由乙图可知，每隔2T两卫星距离最近，有 由开普勒第三定律 联立可得D正确。 故选BD。 重难·创新演练 设题创新:命题创新常借助深空探测、不同轨道卫星组网等真实航天情境包装模型；结合自转效应考查重力与万有引力的差异；融合双星、多星拓展模型；设置高度 h 与轨道半径易混陷阱，弱化直接套公式，侧重逻辑推导与比例分析，检验学生对模型条件的辨别能力。 1．D 【详解】A．赤道处物体的万有引力分为重力和自转向心力，满足 推导得 地球自转速度减慢则减小，增大，故A错误； B．两极处物体无自转向心力，万有引力全部等于重力，即 得 与自转速度无关，因此两极处重力加速度不变，故B错误； C．同步卫星周期等于地球自转周期，地球自转速度减慢则周期增大，根据万有引力提供向心力 整理得 增大则轨道半径增大，轨道高度增大，故C错误； D．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据万有引力提供向心力 得 、地球质量、地球半径均与地球自转速度无关，因此第一宇宙速度大小不变，故D正确。 故选D。 2．AD 【详解】A．根据万有引力定律，两卫星质量相同，由题意知，所以卫星M受到的万有引力比卫星N大，故A正确； B．如果将卫星M轨道增加到与卫星N的轨道半径一样大，需要对卫星M点火加速，所以卫星M的机械能比卫星N小，故B错误； C．根据开普勒第三定律得 ，故C错误； D．万有引力提供向心力，即 解得 因此  D正确； 故选AD 。 3．【答案】 大于 小于 【详解】[1]根据万有引力定律 ，由题意：A点到地心距离等于地球半径，B点到地心距离（轨道Ⅱ半径）为，因此 [2]卫星从椭圆轨道Ⅰ变轨到圆轨道Ⅱ时，需要在B点点火加速，才能从做向心运动的椭圆轨道进入圆周运动的圆轨道，该过程发动机对卫星做正功，机械能增加，因此轨道Ⅱ的机械能大于轨道Ⅰ的机械能。 [3]地球同步轨道半径约为6.6倍地球半径，而地月距离约为60倍地球半径，因此同步轨道Ⅱ的半径小于地月距离。 4．BC 【详解】A．北斗G7卫星处于地球同步静止轨道，其相对地面静止，周期与地球自转周期相同，则角速度等于地球自转的角速度，故A错误； B．万有引力提供卫星运动所需的向心力，所以 由此解出 地球的第一宇宙速度为时的线速度，因为北斗G7卫星轨道半径更大，则运行速度小于地球的第一宇宙速度，故B正确； C．在地球表面附近有，则 北斗G7卫星向心加速度 因为北斗G7卫星轨道半径,则向心加速度小于地球表面附近的重力加速度，故C正确； D．因角速度等于地球自转的角速度，则由可得运行速度大于地球赤道上物体随地球自转的线速度，故D错误。 故选BC。 5．BC 【详解】AB．导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到点，则此椭圆一定位于过地心、北极点和赤道上的发射点组成的平面内，因此导弹的发射速度(初速度)必须也在此平面内，地心是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的、两点到焦点的距离相等，故椭圆的长轴是过点垂直的直线，即图上的直线，椭圆的另一焦点必在上。已知质量为的物体在质量为的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量 (无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴的关系为……① 要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为，现点到一个焦点的距离是定值，等于地球的半径，只要位于长轴上的另一焦点到的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于到的垂线的垂足处时，到该焦点的距离必最小。由几何关系可知……② 设发射时导弹的速度为，则有……③ 联立①②③，解得……④ 由②可知时，发射能量最少，A错误，B正确。 C．速度的方向在点与椭圆轨道相切，根据椭圆知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角，从图中可以看出，速度方向与的夹角，C正确。 D．由地球附近的物体受到的万有引力近似等于物体受到的重力，有……⑤ 联立④⑤两式，代入数据解得……⑥ 由于地球绕通过的轴自转，在赤道上点相对地心的速度为……⑦ 所以在地球自转的情况下，导弹发射的最小速度为，D错误。 故选BC。 6．B 【详解】A．伽利略通过理想实验结合实验事实和逻辑推理，得出力不是维持物体运动的原因，而非牛顿，A错误； B．开普勒通过分析第谷的观测数据，总结出行星运动第一定律，即行星轨道为椭圆，太阳位于焦点，B正确； C．牛顿提出万有引力定律，但引力常量G的准确测定由卡文迪许完成，C错误； D．平均速度的定义是比值定义法，而瞬时速度通过取的极限得到，运用的是极限法，而非微元法，D错误。 故选B。 7．AC 【详解】B．该发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，由万有引力提供向心力，有 化简可得 又由题图乙可知图像的斜率 故 联立可得该行星的质量，故B错误； D．当时，有 得行星表面的重力加速度，故D错误； A．行星的第一宇宙速度，故A正确； C．该行星的平均密度，故C正确。 故选AC。 真题·实战演练 高频考点：高考万有引力高频考点包含开普勒三大定律、黄金代换式的应用，星球表面重力加速度求解，天体质量、密度估算以及卫星轨道参量比较。试题多为选择题，侧重比例法运算。常设置陷阱区分天体半径与轨道半径，偶尔融入星球自转模型，依托航天热点命题，注重物理模型辨析，一般不设置繁杂计算。 1．（1），；（2） 【详解】（1）设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为，末速度大小为，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有   ① 代入题给数据得   ② 设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有   ③ 联立②③式并代入题给数据得   ④ （2）设火星的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和，地球的质量、半径和表面重力加速度大小分别为、和由牛顿运动定律和万有引力定律，对质量为m的物体有 ⑤ ⑥ 式中G为引力常量。设变推力发动机的最大推力为F，能够悬停的火星探测器最大质量为，由力的平衡条件有 ⑦ 联立⑤⑥⑦式并代入题给数据得   ⑧ 在悬停避障阶段，该变推力发动机能实现悬停的探测器的最大质量约为。 2．A 【详解】A．研究“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式G=mR M= 由于嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行，所以R可以认为是月球半径．根据密度公式 ρ===故A正确； B．根据A选项分析，由于不知道月球半径R，所以不能求出月球质量．故B错误； C．根据A选项分析，不能求出月球半径，故C错误； D．根据题意不能求出月球自传周期，故D错误。 故选A。 3．B 【详解】根据G=mg，所以 ，根据万有引力提供向心力得： 解得：  ，故选B. 4．A 【详解】设行星的质量为m，根据万有引力提供行星绕太阳运动的向心力有 根据牛顿第二定律有 联立以上两式解得 故选A。 5．BCD 【详解】A．设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率 且由题知，Q与O的距离约为，即 由此可得出a与c，由于是围绕致密天体运动，根据万有定律，可知无法求出两者的质量之比，故A错误； B．根据开普勒第三定律有 式中k是与中心天体的质量M有关，且与M成正比；所以，对是围绕致密天体运动有 对地球围绕太阳运动有 两式相比，可得 因的半长轴a、周期，日地之间的距离，地球围绕太阳运动的周期都已知，故由上式，可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确； C．根据开普勒第二定律有 解得 因a、c已求出，故可以求出在P点与Q点的速度大小之比，故C正确； D．不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有 解得 因P点到O点的距离为a+c,，Q点到O点的距离为a-c，解得 因a、c已求出，故在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。 故选BCD。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 万有引力定律（专项训练） 目 录 研判·考情前瞻 2 巩固·知识解构 2 知识点1 开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用 2 知识点2 星体表面的重力加速度 3 知识点3 天体质量和密度的估算 3 模拟·基础演练 5 题型01 开普勒三大定律 5 题型02 星体表面的重力加速度 8 题型03 天体质量和密度的估算 10 题型04 开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题 12 重难·创新演练 15 真题·实战演练 18 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 开普勒三大定律、万有引力定律基础概念辨析 单选 T6（4 分） 星球表面重力加速度、黄金代换式应用 单选 T4（4 分） 天体质量、密度估算，近地 / 卫星模型计算 多选 T9（6 分） 考情分析 题型以单选、多选为主，分值 4～6 分，一般不设置计算题。命题依托行星、卫星、探测卫星等情境，重点围绕黄金代换、轨道运行规律设问。常结合开普勒定律比较轨道参数，交替考查重力加速度求解、天体密度估算，模型基础，计算难度适中，侧重公式选用与比例推导，较少复杂数学运算。 复习目标 1. 熟记开普勒三大定律，熟练运用黄金代换建立万有引力与重力的联系，区分星球表面与轨道上重力的差异。 2.掌握中心天体质量、密度两类推导模板，分清近地卫星与普通卫星模型，熟练使用比例法比较线速度、周期等物理量。 3.厘清易混概念，规范公式书写，能够快速识别题干条件，规避轨道半径、球体半径混淆等典型失分陷阱。 巩固·知识解构 知识点1 开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解与应用 1．开普勒行星运动定律 (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理． (2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动． (3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体_______不同． 2．万有引力定律 公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线． ✨得分速记： (1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 (2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 (3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。 知识点2 星体表面的重力加速度 1．地球表面的重力与万有引力 地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力． (1)在两极，向心力等于零，mg＝； (2)除两极外，物体的重力都比万有引力小； (3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω. 2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力 地球自转，物体所受的重力_______地球表面处的万有引力，即mg＝，R为地球半径，g为地球表面附近的重力加速度，故GM＝gR2. 3．距地面一定高度处的重力与万有引力 物体在距地面一定高度h处时，mg′＝，R为地球半径，g′为该高度处的重力加速度，故GM＝g′(R＋h)2. ✨得分速记 解核心依托黄金代换 (GM=gR2) 解题，分清适用条件：星球表面忽略自转影响时，万有引力近似等于重力。审题务必区分星球半径 R与卫星轨道半径 r，二者极易混淆。 已知同一星球不同高度，利用 比例快速运算；不同星球对比，结合(g=GM/R2) 分析。 自转不可忽略题型，要明确万有引力分为重力与向心力。答题优先书写黄金代换原始公式，再变形推导，分步列式拿步骤分。警惕题干陷阱，不要直接将卫星轨道处的向心加速度等同于星球表面重力加速度。 知识点3 天体质量和密度的估算 中心天体质量和密度常用的估算方法 质 量 的 计 算 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注 利用运 行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得 到中心 天体的 质量 r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 密 度 的计 算 利用天体表面 重力加速度 g、R mg＝ M＝ － 利用运 行天体 r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用近 地卫星 只需测 出其运 行周期 利用天体 表面重力 加速度 g、R mg＝ M＝ρ·πR3 ρ＝ — ⚠特别提醒 估算天体质量和密度的“四点”注意 (1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。 (3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。 (4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用。 ✨得分速记 “天体质量与密度估算主要分为两大模型：星球表面模型与环绕卫星模型。解题优先找准已知条件，灵活运用黄金代换或万有引力提供向心力列式。书写时先写出原始公式，再逐步推导，争取步骤分。区分星球半径与卫星轨道半径，这是高频易错点。近地卫星可近似轨道半径等于天体半径，方便直接计算密度。利用环绕周期求解密度时，牢记对应的推导结论。遇到多个天体对比，多用比例法简化计算，避免复杂常量运算。答题看清设问，区分求解中心天体质量还是密度，不要遗漏球体体积公式。 模拟·基础演练 考查重点：福建高考万有引力与航天多以选择形式考查，分值 4 至 6 分，极少出现计算题。核心考查开普勒定律的轨道参数比较、黄金代换求解星球表面重力加速度、天体质量与密度估算。命题常以卫星、深空探测为情境，侧重比例运算，计算难度适中。高频陷阱为混淆天体半径与轨道半径，重视模型辨析，注重区分星球表面重力与轨道处向心加速度，强化公式选用与规范书写。 ⏳题型01 开普勒三大定律 1．（2026·福建厦门·模拟预测）（多选）卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，若仅考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知，下列说法正确的是（     ） A．P、Q绕行星公转的周期之比为 B．过程中P、Q与行星的连线扫过的面积相等 C．P、Q轨道的长轴比为 D．P的近地点与远地点离行星的距离比为 2．（2026·福建三明·二模）（多选）如图，绕地心O运动的倾斜圆轨道卫星a、b，其运动可视为匀速圆周运动，a、b的周期分别为地球自转周期的和。t0时刻，a、b恰好均经过地球赤道上P点的正上方，则（　　） A．a、b的轨道半径之比为 B．a、b的向心加速度大小之比为 C．从t0时刻到下一次a卫星经过P点正上方时，a恰好绕地心转5圈 D．从t0时刻到下一次b卫星经过P点正上方时，b恰好绕地心转5圈 3．（2026·福建·三模）星下点是卫星和地心的连线与地球表面的交点，极地卫星的星下点轨迹会扫过南北两极。如图所示，某颗极地卫星绕地球做圆周运动，轨道半径是同步卫星轨道半径的，同步卫星的周期为T，则该极地卫星的星下点相邻两次经过赤道的时间间隔为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·福建·三模）在真空无重力环境中，一带负电的粒子仅在库仑力作用下，绕固定的场源电荷做椭圆运动，场源电荷在椭圆的一个焦点上，、分别为椭圆半长轴和半短轴的顶点，下列说法正确的是（　　） A．椭圆轨道上点的电势高于在点的电势 B．粒子在点的电势能大于在点的电势能 C．粒子在点的速率大于在点的速率 D．粒子从点运动至点的时间为椭圆运动周期的 5．（2026·福建南平·二模）如图，神舟21号载人飞船在椭圆轨道上无动力飞行，在远地点Q对地球观测的最大张角为2θ，在近地点P对地球观测的最大张角为2α。地球可视为质量为M的均匀球体，半径为R。规定距地球无穷远处引力势能为零，飞船与地球中心距离为r时的引力势能为，忽略空气阻力，引力常量为G。则神舟21号在P点的速度大小为（　　） A． B． C． D． 6．（2026·福建厦门·二模）2025年10月6日，国家航天局和国家原子能机构联合发布了“嫦娥六号”探测器在月球背面采集样品的研究最新成果。如图所示为“嫦娥六号”登月的部分过程，探测器首先在周期为的椭圆轨道1运行，经过P点时点火________（选填“加速”或“减速”）变轨进入周期为的椭圆轨道2，可得椭圆轨道1、2的半长轴之比________。 7．（2026·湖北荆州·二模）（多选）2025年5月29日发射的“天问二号”探测器在完成对小行星2016H03的采样返回任务后，将转而对主带彗星311P开展伴飞探测。可认为：探测器无动力绕311P做匀速圆周运动，半径为，周期为；地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为，周期为；绕太阳做椭圆轨道运动，半长轴为，周期为。下列选项正确的是（　　） A． B．311P在远日点的线速度小于地球运行的线速度 C．311P在近日点的加速度大于地球运行的加速度 D．地球与太阳的连线和311P与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等 ⏳题型02 星体表面的重力加速度 8．（2026·福建厦门·模拟预测）（多选）2025年6月，天文学家发现在距地球2472光年之外，有一颗适合人类居住的超级行星，该行星被命名为“开普勒725C”，其质量约为地球质量的9倍。若该行星地表的重力加速度大小与地球相同，则该行星（　　） A．半径约为地球半径的3倍 B．半径约为地球半径的9倍 C．第一宇宙速度约为地球的倍 D．第一宇宙速度约为地球的3倍 9．（2026·福建漳州·三模）我国计划于2026年下半年发射嫦娥七号探测器，对月球地形地貌、物质成分、空间环境进行综合探测。已知月球质量为，月球半径为，引力常量为，忽略月球自转。 (1)求月球表面的重力加速度大小； (2)求月球的第一宇宙速度； (3)若在月球表面上方高处，以初速度竖直向上抛出一小球，求小球从最高点落回月球表面所用的时间（重力加速度不变）。 10．（2026·福建·模拟预测）（多选）如图甲所示，在星球A表面，一质量的物块从倾角为的斜面顶端由静止释放、下滑至斜面底端的过程中物块动能随下降高度h变化的图像如图乙所示。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为0.5，星球A的平均密度与地球相同，地球表面的重力加速度大小g取，忽略星球自转，则星球A（　　） A．表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为 B．表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为 C．第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为 D．第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为 11．（2026·福建莆田·二模）“鹊桥号”中继星与“玉兔二号”月球车实现月空-月面精准协同探测，中继星通过轨道摄动测算月球天体参数，为月球车开展地表实验提供数据支撑。中继星测算的月球半径为R、表面重力加速度为g，已知万有引力常量为G。 (1)月球车在月球表面开展平抛运动实验，从高度h水平发射一小球，中继星通过星载相机测得小球的水平位移为x，求发射的初速度大小； (2)中继星在半径为的轨道上绕月球做匀速圆周运动，求中继星的绕行速度。 12．（2025·福建泉州·一模）月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（　　） A． B． C． D． 13．（2025·福建宁德·模拟预测）（多选）2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场发射升空，鹊桥二号踏上奔月征途，它将为地球和月球架起通信的天桥。其运动轨迹如图所示，已知远月点B与月球中心的距离约为近月点C与月球中心距离的9倍，地球半径约是月球半径的k倍，地球质量约是月球质量的p倍。下列说法正确的是（　　） A．鹊桥二号在B点由地月转移轨道进入环月轨道时必须加速 B．鹊桥二号在C、B两点受到的月球引力大小之比约为81∶1 C．地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值约为 D．地球表面的重力加速度与月球表面重力加速度的比值约为 14．（2025·福建福州·模拟预测）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为RA、RB，距A、B行星中心r处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为bA、bB。已知两图像数据均采用国际单位，，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A．图乙中两条直线的斜率均为 B．行星A、B的质量之比为1∶3 C．行星A、B的密度之比为1∶9 D．行星A、B表面的重力加速度大小之比为3∶1 ⏳题型03 天体质量和密度的估算 15．（2025·福建·模拟预测）（多选）在星球P和星球Q的表面，以相同的初速度竖直上抛一小球，小球在空中运动时的图像分别如图所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q半径的3倍，下列说法正确的是（　　） A．星球P和星球Q的质量之比为 B．星球P和星球Q的质量之比为 C．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为 D．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为 16．（2025·福建福州·模拟预测）（多选）设想在将来的某一天，一位航天员乘坐中国航天集团的飞行器，成功地降落在火星上。他在离火星地面表面高h（h远小于火星的半径）处无初速释放一小球，认为小球在火星表面做初速度为零的匀加速直线运动，即火星上的自由落体运动，并测得小球落地时速度为v（不计阻力），已知引力常量为G，火星半径为R，下列正确的是（　　） A．小球下落所用的时间 B．火星表面的重力加速度 C．火星的质量 D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度 17．（2025·福建·模拟预测）如图，两颗地球卫星A、B的轨道处于同一平面，P为A卫星椭圆轨道的远地点，两卫星轨道相切于A的近地点Q；B为近地卫星，周期为T；A卫星的远地点P到地球中心的距离为，地球半径为R，引力常量为G，求： (1)地球表面的重力加速度g和地球质量M； (2)A卫星的周期。 18．（2025·福建漳州·模拟预测）我们通常以地球上看到的角度（即“角直径”，如图中θ）来描述遥远星球的大小。已知地球绕太阳的公转周期T、角直径θ和引力常量G，则能求出的物理量有（　　） A．太阳的质量 B．太阳的平均密度 C．地球的平均密度 D．地球绕太阳公转的轨道半径 19．（2025·江西萍乡·二模）2024年11月04日凌晨，神舟十八号载人飞船成功返回地面，神舟飞船返回过程简化如图所示。神舟十八号载人飞船与空间站分离后沿椭圆轨道1运行，圆形轨道2为空间站运行轨道，P为两轨道切点，Q为轨道1近地点，Q点离地高度不计。已知轨道2的半径为r，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，轨道1的周期为T，引力常量为G，下列分析或结论正确的是（　　） A．载人飞船在轨道1上经过P点时速度等于 B．载人飞船在轨道1上经过P点时速度大于 C．空间站在轨道2运行的速率等于 D．地球质量 20．（2024·福建·一模）三位科学家因在银河系中心发现一个超大质量的黑洞而获得了诺贝尔物理学奖，他们对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出（    ） A．黑洞质量约为 B．黑洞质量约为 C．恒星S2质量约为 D．恒星S2质量约为 21．（2024·福建漳州·一模）“嫦娥七号”探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器绕月球做周期为的匀速圆周运动，轨道半径可认为等于月球半径。月球绕地球做周期为的匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的倍。引力常量为，则（　　） A．根据题中所给信息可求出地球的质量 B．根据题中所给信息可求出月球的质量 C．周期和满足 D．地球质量与月球质量之比 ⏳题型04 开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题 22．（2026·福建福州·三模）（多选）如图所示，中国“天眼”球面射电望远镜发现了一对脉冲双星，该双星质量分布均匀，由一颗脉冲星和一颗白矮星组成，双星、围绕中心点沿逆时针方向做匀速圆周运动，运动周期为，双星间距为。为白矮星的卫星，围绕沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为，且。与之间的引力远大于与之间的引力，不考虑对的影响。已知白矮星的质量为，引力常量为，则（　　） A．双星的质量和为 B．卫星围绕做匀速圆周运动的半径为 C．卫星围绕的向心加速度大小为 D．、、三星相邻两次共线时间间隔为 23．（2025·湖南·二模）（多选）我国发射的“风云三号05”气象卫星始终沿晨昏线运行，故被命名为“黎明星”。已知地球半径为6400km，地球极地表面的重力加速度取10 m/s²。“黎明星”做圆周运动时离地面的高度为800km，地球自转周期为24h。某天黎明时分“黎明星”正好经过北京市正上方，取3.2，取8.5，不考虑地球的公转，则“黎明星”（　　） A．绕地球转动的轨道圆心可能不在地心上 B．周期约为1.7h C．下次在黎明时分经过北京正上方约需要17天 D．下次在黎明时分经过北京正上方约需要24天 24．（2025·福建泉州·一模）（多选）高轨道卫星c利用激光对低轨道卫星a进行跟踪监测。如图，两卫星均沿顺时针方向在同一平面内做匀速圆周运动，图示时刻两卫星与圆心O恰好在同一直线上，当a、c分别转过135°和45°时，a恰好还能被c监测到。已知a的绕行周期为T，地球的半径为R，取，则（   ） A．c的绕行周期为3T B．每次c对a连续监测的时间为 C．a的轨道半径大小为 D．c所在轨道上增加两颗卫星，才可以对a进行全程跟踪 25．（2025·福建南平·模拟预测）2024年11月15日，天舟八号货运飞船A成功发射至预定圆轨道。如图所示，空间站天和核心舱B在更高圆轨道上运行，A、B均沿顺时针方向运行，某时刻A、B与地心O的连线夹角为。从图示位置开始计时，经过时间，O、A、B第一次共线。若A、B的运行周期分别为、，则（　　） A．A、B与地心O的连线在相等时间内扫过的面积相等 B． C．A、B在时间内通过弧长之比为 D．从初始位置经时间，A、B第一次相距最远 26．（2025·辽宁·三模）（多选）一颗侦察卫星所在轨道平面与赤道平面重合，通过无线电传输方式与位于赤道上的地面接收站之间传送信息，已知人造地球卫星的最小运行周期为T，地球半径为R，地球自转周期为，该侦察卫星在距离地面R高度处沿圆形轨道运行，运行方向与地球自转方向相同，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．可以估测出地球的密度为 B．该侦察卫星的周期约为 C．该侦察卫星的运行速度大于第一宇宙速度 D．该侦察卫星连续2次通过接收站正上方的时间间隔为 27．（2025·福建·二模）2024年12月19日，我国将天启星座04组卫星送入近地轨道，有效解决了地面网络覆盖盲区的问题。如图所示为天启星座04组卫星中的卫星A与北斗导航卫星B绕地球的运动轨迹，两卫星轨道均视为圆轨道，且两轨道平面不共面。某时刻，卫星A恰好位于卫星B的正下方，一段时间后，A在另一位置从B的正下方经过，已知卫星A的轨道半径为，则卫星B的轨道半径可能为（　　） A． B． C． D． 28．（2024·福建漳州·三模）（多选）司马迁最早把岁星命名为木星，如图甲所示，两卫星a、b环绕木星在同一平面内做匀速圆周运动，绕行方向相同，卫星c绕木星做椭圆运动，与卫星a、b的轨道分别相切于M、N两点，某时刻开始计时，卫星a、b间距x随时间t变化的关系图像如图乙所示，其中T为已知量，则（　　） A．卫星c在N点的线速度大于卫星b的线速度 B．卫星c在N点的加速度等于卫星b的加速度 C．卫星a、b的运动半径之比为3：5 D．卫星b的运动周期为14T 重难·创新演练 设题创新:命题创新常借助深空探测、不同轨道卫星组网等真实航天情境包装模型；结合自转效应考查重力与万有引力的差异；融合双星、多星拓展模型；设置高度 h 与轨道半径易混陷阱，弱化直接套公式，侧重逻辑推导与比例分析，检验学生对模型条件的辨别能力。 1．（2026·福建厦门·模拟预测）地球有周期性的潮汐现象，研究表明潮汐力会耗散地球自转能量，缓慢降低地球自转速度，若仅考虑这一影响因素，则多年以后与现在相比，下列说法正确的是（     ） A．地球表面赤道处的重力加速度减小 B．地球表面两极处的重力加速度增大 C．地球同步卫星的轨道高度降低 D．地球的第一宇宙速度大小不变 2．（2026·福建福州·二模）（多选）如图所示，质量相同的人造地球卫星M、N（可看作质点）绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星N为地球静止同步轨道卫星。C是纬度为的地球表面上一点，若某时刻地心O与C、M、N在同一平面内，其中O、C、M在一条直线上，且，，，则（    ） A．卫星M受到的万有引力比卫星N大 B．卫星M的机械能比卫星N大 C．两卫星周期之比为 D．两卫星线速度大小之比 3．（2026·福建南平·一模）中星9C卫星的成功发射标志着我国广播电视卫星传输网络全面实现国产化，发射过程的简化示意图如图所示。卫星先进入椭圆轨道Ⅰ，轨道Ⅰ的近地点到地心的距离可视为与地球半径相等，卫星运动到远地点时，变轨进入地球同步静止轨道Ⅱ，轨道Ⅱ的半径是地球半径的倍。忽略卫星质量变化，卫星在、两点时，地球对其万有引力大小之比________，卫星在轨道Ⅱ上的机械能________（填“大于”“小于”或“等于”）在轨道Ⅰ上的机械能，轨道Ⅱ的半径________（填“大于”“小于”或“等于”）地月距离。 4．（2026·福建泉州·二模）（多选）2025年2月，我国成功为濒临退役的北斗G7卫星注入142kg推进剂，使其寿命延长8年，完成了人类航天史上首次“太空加油”。已知北斗G7卫星处于地球同步静止轨道，绕地球做匀速圆周运动，则G7卫星的（   ） A．角速度小于地球自转的角速度 B．运行速度小于地球的第一宇宙速度 C．向心加速度小于地球表面附近的重力加速度 D．运行速度小于地球赤道上物体随地球自转的线速度 5．（2025·浙江台州·一模）（多选）在一次演习中，从赤道上的C点发射导弹，精确击中北极点N。取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在距离地心r处具有的引力势能为；物体在地球引力作用下作椭圆运动（椭圆的光学性质：经过焦点的光线经表面反射后会通过另一焦点）时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为，式中G为引力常量；已知地球质量为M，半径，要求发射所用的能量最少，则（　　） A．不考虑地球自转，当时，发射的能量最小 B．不考虑地球自转，物体发射的能量最小时速度为 C．不考虑地球自转，物体发射的能量最小时速度方向与夹角 D．考虑自转时，物体发射的最小速度大小为 6．（2025·福建泉州·模拟预测）下列关于物理学史或物理认识说法正确的是（　　） A．牛顿的理想实验将实验事实和逻辑推理相结合得出了力不是维持物体运动的原因 B．通过第谷观测，开普勒发现所有行星围绕太阳运动轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 C．牛顿对引力常量进行了准确测定，并于1687年发表在《自然哲学的数学原理》中 D．根据平均速度的定义式，当，就可以表示物体在时刻的瞬时速度，则平均速度定义采用了比值定义法，瞬时速度在此基础上运用了微元法 7．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选）如图甲，某行星外围有一圈厚度为d的发光带，R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r的倒数之间的关系图像如图乙所示图线中为已知量。已知引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．该行量的第一宇宙速度为 B．该行星的质量 C．该行星的平均密度 D．该行星表面的重力加速度 真题·实战演练 高频考点：高考万有引力高频考点包含开普勒三大定律、黄金代换式的应用，星球表面重力加速度求解，天体质量、密度估算以及卫星轨道参量比较。试题多为选择题，侧重比例法运算。常设置陷阱区分天体半径与轨道半径，偶尔融入星球自转模型，依托航天热点命题，注重物理模型辨析，一般不设置繁杂计算。 1．（2021·福建·高考真题）一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由减小到0，历时。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的，地球表面重力加速度大小取，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求： （1）在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离； （2）在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。 2．（2011·福建·高考真题）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常数G，半径为R的球体体积公式，则可估算月球的（　　） A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期 3．（2012·福建·高考真题）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 A． B． C． D． 4．（2013·福建·高考真题）设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作为r的圆，已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足（ ） A． B． C． D． 5．（2021·福建·高考真题）（多选）两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星的位置变化进行了持续观测，记录到的的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为（太阳到地球的距离为），的运行周期约为16年。假设的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出（　　） A．与银河系中心致密天体的质量之比 B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比 C．在P点与Q点的速度大小之比 D．在P点与Q点的加速度大小之比 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $