2.2.1 直线的点斜式方程 （教学课件）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过平面直线定点旋转几何情境和校园跑道测绘实操导入，关联初中图形旋转平移知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于以情境化问题驱动探究，如校园跑道方向与位置确定，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过“点是否满足方程”等问题链推理发展数学思维，结合分层题型训练与真题感知，提升学生用数学语言表达方程关系的能力。对学生可增强探究兴趣，对教师提供系统教学资源，便于高效教学。

第二章 直线与圆的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 ·选择性必修第一册· 学习目标 掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程 了解直线的斜截式方程与一次函数的关系. 会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题 目录 CATALOG 01.直线的点斜式方程 03.应用新知 02.直线的斜截式方程 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 2.2.1 直线的点斜式方程 01 直线的点斜式 方程 导入新知1：平面直线定点旋转几何情境 平面直角坐标系中，固定一点 P0(x0,y0)，拿直尺绕点旋转，能画出无数条不同直线；固定倾斜角度（斜率不变），平移直尺，能画出一组互相平行、永不重合的直线。 提问1：只给出定点 P0，不限制倾斜方向，能确定唯一一条直线吗？只固定倾斜方向、无定点，能否锁定一条确定直线？ 提问2：不同直线倾斜程度有大有小，初中只能肉眼直观判断陡缓，高中如何用数字定量描述直线倾斜方向？ 追问：有了定量刻画倾斜程度的工具（斜率），怎样把“定点+倾斜程度”这一几何条件，转化为x、y满足的代数等式？本节课探究直线的点斜式方程。 导入新知2：校园跑道测绘实操情境 校园规划修建直跑道，测绘图纸为平面直角坐标系，已知跑道起点坐标，若不规定跑道倾斜坡度，可画出无数条经过起点的跑道；只规定坡度、不标注起点，跑道会整体平移，位置无法固定。 提问1：若跑道起点为 A(2,3)，坡度对应倾斜角 45∘，这两个条件合起来，跑道的位置是否唯一确定？缺少其中任意一个条件会出现什么问题？ 提问2：跑道上每一个点的坐标都和起点、坡度存在固定等量关系，我们该如何列出这个关系式？ 追问：当跑道完全水平、完全竖直时，坡度会出现特殊情况，对应的关系式又该如何书写？今天学习点斜式方程统一解决这类问题。 探究新知 在“倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，即： 在平面直角坐标系中，给定一个点 P0（x0 , y0）和斜率 k (或倾斜角)，就能唯一确定一条直线，也就是说：直线上任意一点的坐标（x , y）与点 P0 的坐标（x0 , y0）和斜率 k 之间的关系是完全确定的，那么： 如何用这个点坐标和表示直线方向的斜率来表示这条直线呢？ 思考 探究新知 如图示, 直线 l 经过点P0(x0, y0), P(x, y)是直线 l 上不同于点 P0 的任意一点, 设直线 l 的斜率为k，求k. 由题意可得，x0 ≠ x，所以由斜率公式可得： 思考：将①式去分母，得到一个什么式子？ 关于 x,y 的方程 练习 不同于点 P0 的任意一点P(x, y)都满足方程 小结① 探究新知 将x0，y0代入关系式 y0 - y0= k (x0 - x0) = 0 ，关系式恒成立。 思考 结论① 点 也满足方程 小结② 探究新知 追问1： 探究 追问2： 探究新知 结论② 探究新知 点斜式方程 理解 1、方程中表示已知的横坐标和纵坐标； 3、方程中表示任意一点的横坐标和纵坐标，求直线方程时，会保留下来 2、方程中表示直线l的斜率； 探究新知 辨析 探究新知 思考 探究新知 思考 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线的点斜式方程及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线的点斜式方程及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线的点斜式方程及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线的点斜式方程及辨析 02 直线的斜截式方程 2.2.1 直线的点斜式方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线的点斜式方程及辨析 应用新知 例题1： 解 析 应用新知 总结 1、如何利用直线上一定点和斜率k 求直线点斜式方程？ 第 1 步 求斜率：利用已知条件求出直线斜率； 第 2 步 写方程： ① 若斜率为0，直线方程为： ② 若斜率不存在，直线方程为： ③ 若斜率为其他值，直线方程为： 注意 若题中要求求直线的点斜式，因此不用去括号移项等操作. 2、如何在坐标系上画直线的图象？ 第 1 步 描点：描直线上两个点，优先选择与坐标轴的交点； 第 2 步 连线得图象. 探究新知 思考 截距不是距离，可以为正，为负，也可以为0，本质是一个实数 探究新知 思考：截距是距离吗？ 截距的定义 探究新知 斜截式方程 x y O l b 辨析 探究新知 例如: 对于直线斜截式方程y=kx+b, 当k≠0时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，y=b就不能称一次函数了，是常函数了. 一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0. 一次函数y=2x-1图象是斜率为2, 在y轴上的截距为-1的直线. 一次函数y=3x图象是斜率为3, 在y轴上的截距为0的直线. 一次函数y=-x+3图象是斜率为-1, 在y轴上的截距为3的直线. 思考 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知直线平行求参数、直线的点斜式方程及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线的点斜式方程及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线截距式方程及辨析、直线的点斜式方程及辨析 03 应用新知 2.2.1 直线的点斜式方程 应用新知 例题2： 分析 解 析 利用直线的斜截式判断两条直线平行或垂直 平行 垂直 应用新知 结论 04 题型强化训练 2.2.1 直线的点斜式方程 重要题型专练 例题 题型一 求直线的点斜式方程 解 析 方法 先求直线上某点的坐标和直线的斜率， 然后代入直线的点斜式方程即可得解. 重要题型专练 例题 题型二 求直线的斜截式方程 解 析 方法 法①：先求直线直线的斜率和在y轴上的截距， 然后代入斜截式即可. 法②：先求点斜式式，然后去括号移项变形得斜截式. 重要题型专练 例题 题型三 求直线的截距 解 析 方法 ①：令,解方程的的值，则是直线在轴上的截距； ②：令,解方程的的值，则是直线在轴上的截距. 重要题型专练 例题 题型四 利用点斜式（斜截式）求直线斜率和倾斜角. 解 析 方法 ①：将直线化为点斜式或斜截式，然后即可直接写出斜率； ②：利用及倾斜角的取值范围，求出倾斜角大小. 重要题型专练 例题 题型五 直线图象的辨析. 解 析 方法 画出直线图象草图，再结合k，b的几何意义，进行分类讨论分析，即可得出结果. 重要题型专练 例题 题型六 借助直线斜截式，利用平行与垂直关系求参数值. 解 析 重要题型专练 例题 题型六 借助直线斜截式，利用平行与垂直关系求参数值. 解 析 (2) 设两直线的斜率分别为k3，k4，则k3＝a，k4＝a＋2. ∵两直线互相垂直，∴k3k4＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1. 方法 借助斜率和纵截距，利用与平行或垂直关系等价的斜率或纵截距关系，建立方程，求出参数值，注意平行时防止重合的情况. 05 真题感知 2.2.1 直线的点斜式方程 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 2.2.1 直线的点斜式方程 课堂小结 作业 作业1：完成教材：第61页 练习 作业2：配套辅导资料对应的《直线的点斜式方程》 2.2.1 直线的点斜式方程 课后作业答案（练习第61页） 课后作业答案（练习第61页） 课后作业答案（练习第61页） 1 课后作业答案（练习第61页） 课后作业答案（练习第61页） 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（25-26高二上·广东汕头·期中）若直线 经过点 ，且斜率为3，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【详解】 依题意，直线的方程为，即， 对于A，当时，，A不是； 对于B，当时，，B不是； 对于C，当时，，C是； 对于D，当时，，D不是. 故选：C 2.（25-26高二上·北京·阶段检测）经过点 ，且倾斜角为 的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【详解】 因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 3.（25-26高二上·广东·期中）过点 的直线 的倾斜角为 ，则 在 轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【详解】 由题知的斜率为，所以的方程为， 令，得. 故选：B. 4.（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线 过点 ，倾斜角等于60°，则 在 轴上的截距是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为直线过点，倾斜角等于 所以直线方程为，即， 令，可得，所以在轴上的截距是， 故选：A 5.（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）直线 的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【详解】 设直线的倾斜角，则， 因为直线的斜率为1，所以，因为， 所以倾斜角为， 故选：C． 6.（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）经过点 ，且倾斜角是 的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为直线的倾斜角是，所以斜率， 又经过点，所以直线的方程是. 故选：B. 7.（25-26高二下·广东河源·期末）经过点 ，且与直线 平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】直线可化为，斜率为.所求直线与已知直线平行，故斜率也为.又所求直线经过点，由点斜式得， 整理得，即.故选A. 8.（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线 过点 和 ，且在 轴上的截距是 ，则实数 （    ） A． B． C． D． 【详解】 因为直线在轴上的截距是，所以过点， 又直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即直线方程为， 又直线过点，所以，解得. 故选：D. 9.（25-26高一下·上海·阶段检测）过点 且在 轴的截距相等的直线方程是_________ 【详解】 当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为；当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 10.（25-26高一下·上海·阶段检测）过点 且在 轴的截距相等的直线方程是_________ 【详解】 所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 1.（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 依题意，直线的方程为，由，得， 因此，即，解得或， 所以斜率k的取值范围是或. 故选：D 2.（2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，当截距均不为时， 设直线方程为，变形为，得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为，当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立.所以是的必要不充分条件. 3.（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选题）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（      ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对；对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对；对于C选项，直线的一个方向向量为，C对；对于D选项，直线的一个法向量为，D错.故选：ABC. 4.（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段检测）（多选题）设直线的方程为，则下列说法正确的有（     ） A．直线的斜率为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线在轴上的截距为 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为 由直线的斜截式方程，得直线的斜率为，在轴上的截距为2，故AB正确． 在方程中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故C错误． 设直线与轴、轴的交点分别为，则，， 直线与坐标轴围成的三角形为．因为，，所以，故D正确． 故选：ABD． $