2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 （教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线平行和垂直的判定，通过建筑塔吊钢索、智能交通十字路口等现实情境导入，衔接倾斜角与斜率知识，搭建从具体问题到抽象判定条件的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，如用塔吊钢索问题引导学生观察斜率关系，通过探究倾斜角与斜率的逻辑推理培养数学思维，题型训练和真题感知强化数学运算与表达。小结系统梳理核心知识点与易错点，学生能提升问题解决能力，教师教学有明确流程和实例支撑，提高教学效率。

第二章 直线与圆的方程 2.1.2 两条直线 平行和垂直的判定 ·选择性必修第一册· 学习目标 理解两条直线平行与垂直的条件，培养数学抽象的核心素养. 重点: 能根据斜率判定两条直线平行或垂直，强化数学运算的核心素养. 难点: 能利用两直线平行或垂直的条件解决问题，培养逻辑推理的核心素养. 目录 CATALOG 01.两条直线平行的判定 03.应用新知 02.两条直线垂直的判定 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 01 两条直线平行的判定 导入新知1：建筑施工——塔吊支架与安全验收 某建筑工地上，塔吊的平衡臂和起重臂分别用两条钢索固定在地面锚点。工程师需要验收钢索的安装精度——两条钢索是否平行？塔吊是否垂直？施工图纸上给出了四个锚点的坐标：A(1,2)、B(4,6)、C(5,1)、D(11,4)。 问题1：如何利用斜率判断两条钢索 AB 和 CD 是否平行？只凭图纸上的坐标，能用计算代替实地测量吗？ 问题2：如果塔吊的垂直臂 AB 的斜率为 −34，地面水平线 CD 的斜率为 43，两臂是否垂直？垂直的条件是什么？ 导入新知2：智能交通——十字路口红绿灯与斑马线布局 某城市主干道与次干道交汇处，需要规划红绿灯和斑马线。道路中心线可以看作两条直线：主干道 l1 经过点 A(−2,1)、B(3,5)，次干道 l2 经过点 C(1,−3)、D(6,1)。交通工程师需要判断两条道路是否垂直——如果垂直，行人过街距离最短。 问题1：两条道路是否垂直？如何用数学方法判断？ 问题2：如果要在主干道旁修建一条平行的辅道，辅道经过点 E(0,4)，辅道的斜率应满足什么条件？ 探究新知 两直线平行，那么它们的倾斜角相等吗？ 思考 不一定 两条直线平行，则直线的方向相同，由倾斜角定义可知，直线方向相同的直线倾斜角相等,即 追问 两直线平行，那么它们的斜率一定相等吗？为什么？ 直线的斜率可能不存在 探究新知 在平面直角坐标系中，作两条不重合直线l1，l2，它们的倾斜角均为 倾斜角相等的两条不重合直线平行 作图 观察 观察小组各成员画两直线l1，l2，它们的位置关系是什么？ 结论 思考 两条直线的斜率满足什么条件，这两条不重合直线平行？ 根据倾斜角与斜率的关系可得：因为倾斜角相等，所以斜率相等 因此，斜率相等的两条不重合直线平行 探究新知 如何用数学语言表达以上结论？ 思考 结论1 倾斜角相等的两条不重合直线平行 结论2 斜率相等的两条不重合直线平行 辨析 若两直线倾斜角相等（斜率相等），则它们的位置关系可能是什么？ 平行或重合 探究新知 1、任意两条不重合的直线平行的充要条件是两直线的倾斜角相等 总结 2、任意两条斜率存在且不重合的直线平行的充要条件是两直线的斜率相等 探究新知 直线l1与直线l2的斜率均不存在时，两直线是什么位置关系？ O x y l1 l2 追问 直线l1与直线l2的斜率均不存在，则两条直线的倾斜角均为90o，如左图. 两条直线斜率均不存在，则它们平行 结论 形：观察左图得出，两直线平行 数：倾斜角相等则两直线平行 探究新知 总结： 两条不重合直线平行的判定 类型 倾斜角关系 平行与斜率关系 图示 斜率存在 斜率不存在 α1＝α2 ≠ 90° α1＝α2＝90° l1//l2 ⇔ k1=k2 l1//l2 ⇔两直线的斜率都不存在 应用新知 已知 A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论. 例题2 解 析 可先作图，做预判 计算目标斜率 证平行，排除重合 应用新知 跟踪练习 解 析 应用新知 例题3 解 析 可先作图，做预判 应用新知 例题3 解 析 探究新知 思考：如何利用斜率证明两条直线平行？ 第一步 求斜率：分别求两条直线的斜率； 第二步 确定斜率关系：两个斜率相等或两个斜率均不存在； 第三步 检验：验证两条直线不重合； 第四步 下结论：所以两直线平行. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知直线平行求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知直线平行求参数、充分条件、必要条件 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知直线平行求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知直线平行求参数、充要条件的证明 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线的倾斜角、由两条直线平行求方程 02 两条直线垂直的判定 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 探究新知 思考：当直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的 数量关系？ 显然，当两条直线相交时，它们斜率不相等； 反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交. 在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形. 利用向量工具，考虑两条直线的方向向量垂直时，数量积时多少？ 应用新知 问题1 设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，方向向量分别为，试用斜率k1，k2写出向量的坐标． 　＝(1，k1)，＝(1，k2)． 问题2 如果l1⊥l2，那么方向向量有什么关系？你会得出怎样的关系式？ ⊥ ⊥，l1⊥l2⇔＝0⇔1×1＋k1k2＝0，即k1·k2＝－1. 探究新知 总结 ① 任意两条斜率存在的直线垂直的充要条件是： 思考 如图，任意两条垂直直线的倾斜角是什么关系？ 不妨设，由图可知 ② 任意两条直线垂直的充要条件是： 两直线的斜率之积等于，即 应用新知 问题3 当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？ 结论 如图，当直线l1的倾斜角为0°时， 若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°， 此时直线l2的斜率不存在． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由斜率判断两条直线垂直 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由斜率判断两条直线垂直 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由斜率判断两条直线垂直、由斜率判断两条直线平行 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由斜率判断两条直线垂直、已知两点求斜率 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由斜率判断两条直线垂直 探究新知 总结： 两条垂直直线斜率之间的关系 类型 倾斜角关系 垂直与斜率关系 图示 斜率都存在 l1（或l2）的斜率不存在 α1 ≠ 90°且α2 ≠ 90° α1＝90°（或α2＝90°） l1⊥l2 ⇔ k1k2= -1 l1⊥l2 ⇔l2（或l1）的斜率为0 03 应用新知 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 应用新知 例题4 解 析 应用新知 例题5 分 析 解 析 可先作图，做预判 探究新知 思考：如何利用斜率证明两条直线垂直？ 第一步 求斜率：分别求两条直线的斜率； 第二步 确定斜率关系：两个斜率乘积等于-1 或一个斜率不存在、一个斜率为0； 第三步 下结论：所以两直线平行. 04 题型强化训练 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 重要题型专练 题型一 斜率法判断直线平行或垂直 例题1 解 析 方法总结：先求两直线的斜率，若斜率相等，且直线不重合，则它们平行 重要题型专练 题型一 斜率法判断直线平行或垂直 例题2 解 析 方法总结：先求两直线的斜率，若， 则两直线垂直. 重要题型专练 题型二 已知直线平行关系求参数值 例题 方法总结： 由直线平行，得到两直线的斜率相等，利用该等式关系建立关于参数的方程，解方程即可得解. 注意斜率都不存在的情况. 解 析 重要题型专练 题型三 已知直线垂直关系求参数值 例题 方法总结： 由直线垂直，得到两直线的斜率乘积等于-1，利用该等式关系 建立关于参数的方程，解方程即可得解. 注意斜率一个为0、一个不存在的情况. 解 析 重要题型专练 题型四 斜率法证明三点共线 例题 解 析 重要题型专练 方法总结：斜率法证明A、B、C三点共线的基本步骤 第一步 求斜率：用三点中任意两点求斜率，求两个，比如求； 第二步 斜率相等：说明求的两个斜率相等； 第三步 平行且共点：说明两条直线平行且共点； 第四步 下结论：所以三点共线. 重要题型专练 题型五 利用斜率判断平面图形的形状 例题 解 析 故四边形ABCD是直角梯形． 方法总结： 可以先用点的坐标试着画出图形，预猜是什么图形，然后用斜率证明平行和垂直，证明图形的形状的猜想. 05 真题感知 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 课堂小结 作业 作业1：完成教材：第57页 练习 第1,2题。 作业2：完成教材：第57 页 习题2.1 第5,6,9,10题。  2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 已知l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过C(3，－3)，D(8，－7)， 判断直线l1与直线l2是否平行． 由题意知，直线l1 的斜率k1＝eq \f(5－1,－3－2)＝－eq \f(4,5)， 直线l2 的斜率k2＝eq \f(－7＋3,8－3)＝－eq \f(4,5)， 因为k1＝k2，且直线l1与l2不共点，所以l1∥l2. 1.（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线 ： 与直线 ： 平行，则实数 的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行；当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合.故选：A 2.（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知直线 与 ，则“ ”是“ ”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件.故选：C 3.（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）（多选题）已知三条直线 ， 与 共有两个不同的交点，则 的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【详解】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行．因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得；当时，，解得． 综上，的值可能是或．故选：AC 4.（25-26高三下·北京·阶段检测）“ ”是“直线 ： 和直线 ： 平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】必要性：若直线和平行，则有， 解得或，当时，，不成立，无意义，舍去， 故两直线平行必有，必要性成立； 充分性：时，直线为，直线为， 因为，且，所以两直线平行，充分性成立； 综上所述，“”是“直线和平行”的充分必要条件．故选：C 5.（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知直线 ： ，则下列结论正确的是（   ） A．直线 的倾斜角是 B．过点 与直线 平行的直线方程是 C．点 在直线 上 D．若直线 ，则 【详解】对于A，直线，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B，过点与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 对于C，因为，所以点不在直线上，故C错误； 对于D，直线的斜率为，故，故D错误.故选：B． 6.（24-25高二上·全国·课后作业）已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】， ， 直线的斜率不存在，所以只有，所以． B选项正确，其它选项错误. 故选：B 7.（24-25高二上·江苏南通·期末）以 为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【详解】因为 ，所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 8.（24-25高二上·云南·期中）已知 ， 为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若 ， 的斜率相等，则 ， 平行 B．若 ，则 ， 的倾斜角相等 C．若 ， 的斜率乘积等于 ，则 ， 垂直 D．若 ，则 ， 的斜率乘积等于 【详解】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确. 由，可得，的倾斜角相等，B正确. 由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确. 当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误. 故选：D. 9.（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线 经过 ， 两点，直线 的斜率为 ，那么 与 （    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【详解】因为直线经过，两点，所以直线的斜率为，而，所以，所以与垂直， 故选：C 10.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线 ，则 与 的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 1.（2026·河北邯郸·二模）已知直线，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 当时，，，则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件；若，当时，，，显然两条直线有交点， 当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等，即：， 解得：，因此“”是的必要条件，所以“”是的充要条件.故选：C. 2.（2026·河南南阳·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 直线：，直线：，当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行，设直线方程为，直线方程为， 若，则，即，化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：，两直线重合，所以舍去，当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以，因此是的充要条件.故选：C. 1.（24-25高二上·河北张家口·阶段检测）已知，，，若，，三向量共面，则实数（　　） A．3 B． C．4 D． 因为，，所以，不共线， 因为，，三向量共面，则存在实数，使得， 即，即，解得.故选：D 3.（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 当时，直线的方程为，直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行，因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时，有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行，所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件；综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故选：D. 4.（25-26高三上·湖南长沙·期末）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ，则，即，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. $