18.4 整数指数幂 （第1课时） 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦负整数指数幂定义及整数指数幂运算性质，通过知识回顾复习正整数指数幂性质，练一练巩固后，结合数的运算推广引入负整数指数幂，搭建前后知识学习支架。 其亮点在于融入幂的符号演变历史和牛顿设想培养数学眼光，通过分式约分与同底数幂除法推导定义发展数学思维，典例分析与拓展提升强化数学语言表达。小结系统梳理性质，学生能提升抽象推理能力，教师可高效实施探究教学。

第十八章分式 18.4 整数指数幂 第1课时 负 整 数 指 数 幂 人教版2024 ·八年级上册 了解整数指数幂的意义和基本性质，会用文字和符号语言 表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性 质进行幂的运算. 通过探索负整数指数幂的运算性质，让学生体会到从特殊 到一般是研究数学的一个重要方法，培养学生抽象、归纳 的能力. 学 习 目 标 (a≠ 0,n 是正整数). 知道负整数指数 2 3 1.同底数幂运算法则： am·a"= am+n(m,n都是正整数) 2.同底数幂除法法则： am÷a"=am-n (a≠0,m,n都是正整数，且m>n) 3.幂的乘方： 4.积的乘方： 5.分式的乘方： 6.零指数幂运算 (am)n=amn(m,n都是正整数) (ab)=a"bn (n是正整数) (n 是正整数) a⁰=1(a≠0) 我们在前面学习了与幂有关的运算性质，这些运算都有哪些? 知识回顾 练一练 已知：am=3,a"=5. 求： (1) am-n的值(2)a³m-2n的值 解 ：(1) a m-n=am÷an=3÷5=0.6 (2)a³m-2n=a ³m÷a 2n =(am)³÷(an)² =3³÷5²=27÷25 知识回顾 随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广. 加法运算中数的推广 对于幂的运算，是否也可以从正整 数指数幂推广到更大的范围呢? 有理数范围加法 非负有理数加法 类似的推广 ³ a 非负整数加法 表示3 个a乘 下面，我们从追溯幂的符号的演变开始 导入新课 有什么数 学意义? 韦达(Vietè) △Y,KV, △Y△ 1637年 aa, aaa , aaaa 探究点1 负整数指数幂 从幂的符号的演变过程中发现幂的表示 (a”) 有什么优点? 幂的符号的演变经历了漫长的时间， 如图所示表示a², a³ ,a ⁴演变过程 a” 这种幂的符号不仅简明、利于 运算而且有助于幂的运算的推广 新知探究 议一议 17世纪 哈里奥特 (Harriot) 3世纪 丢番图 Aq, Acu ,Aqq 16世纪 笛卡尔 an 1676年，牛顿(Newton,1643-1727)提出了一个设想： “因为数学家将aa,aaa,aaaa, 写成a², a³,a⁴, 写成a ⁻¹, a -², a⁻3 … …“” 探究点1 负整数指数幂 议一议 你认为牛顿的这个设想合理吗? 新知探究 那么负整数指数幂 am 表示什么? 如果am中的m 可以是负整数， 所以我将 负整数指数幂 做一做 请用分式约分方法计算下列各题，结果有什么特征? (1)5³÷55 (2)p³ ÷p⁵ (3)am÷a" (m<n) 与an-m 互为倒数 新知探究 探究点1 与5²互为倒数 与p² 互为倒数 负整数指数幂 请用同底数幂除法法则方法计算下列各题，结果有什么特征? 你有什么发现? (1)5³÷5⁵=5³-5=5-2 (2)p³÷p⁵=p³-5=p-² (3)am÷a"=am-n= a-(n-m) 幂的指数是负整数 同一个算式，结 果有两种形式 (1)5³÷55 (2)p³÷p⁵ (3)am÷a”(m<n) 新知探究 做一做 探究点1 议一议 在am÷a”中，当m=n 时，产生0次幂，那么当m<n 时，会出 现怎样的情况呢? 负整数指数幂可以转 化为正指数幂的倒数 " a- = 新知探究 负整数指数幂 探究点1 (n-m) 一般地，当n是正整数时， (a≠0) 一个非零数的负整数指数幂等于这个数正指数幂的倒数 为使同底数幂的除法运算性质适用范围更广，同时也可以更简 便地表示分式，数学中规定： 注意：规定负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数 a- n(a≠0) 是a"的倒数. 新知探究 负整数指数幂 议一议 探究点1 am( a ≠0) 如无特别说明， 本套书中涉及 的负整数指数 幂的底数均不 为0. 你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么 意思吗? 一 般 地 ， (a≠0) 新知探究 负整数指数幂 议一议 探究点1 对于am, 设a≠0 解： ; ; 负整数指数幂可以转 化为正指数幂的倒数 典例分析 负整数指数幂 (b≠0). 探究点1 例1.计算： (b≠0) 解：根据题意，若(2x-3)° 有意义， 则x-3≠0, 即x≠3. 若(3x -6)-² 有意义， 则 3x-6≠0, 即x≠2. ∴x≠3 且x≠2. 例2.若(2x-3)⁰-2(3x-6)-² 有意义，则x 的取值范围是什么? 思路分析：零指数幂与负整数指数幂的底数均不为0. 典例分析 负整数指数幂 探究点1 引入负整数指数和0指数后，am·a"=am+n(m, n都是正整数)这条性 质能否推广到m,n 是任意整数的情形? 例如： am·an=am+n (1当m,n 分别为正整数和负整数时， am·an=am+n这条性质对于m,n 是任意整数的情形仍然适用. (3)当m,n 分别为零和负整数时， a·a³=1 · 整数指数幂及其计算 新知探究 (2)当m,n 均为负整数时， 议一议 探究点2 探究点2 整数指数幂及其计算 正整数指数幂的其他四个运算性质也都限定了指数的范围为正整数， 现在我们希望把指数的范围扩大到全体整数，原来适用于正整数指数 幂的其他运算性质，是否适用于全体整数指数幂?大家试着验证看看! 归纳： (ab)"=a"b ”这条性质，对于n 是任 意整数的情形仍适用. 即 (a ⁻3)² = a (-3)×2 即 (ab)⁻³ =a -³ b-3 归纳： (am)”=amn 这条性质，对于m, n 是任意整数的情形仍适用 . 新知探究 议一议 验证幂的乘方 验证积的乘方 探究点2 整数指数幂及其计算 正整数指数幂的其他四个运算性质也都限定了指数的范围为正整数， 现在我们希望把指数的范围扩大到全体整数，原来适用于正整数指数 幂的其他运算性质，是否适用于全体整数指数幂?大家试着验证看看! 归纳： 条性质，对于n 是 任意整数的情形仍适用. 即 即 a- ²÷ a-¹= a (-2)-(-1) 归纳： am÷ a"=am-n这条性质，对于m, n 是任意整数的情形仍适 用 . 新知探究 验证同底数幂的除法 议一议 验证分式的乘方 名称 式子表示 同底数幂的乘法 ①am" ·a"=am+n(m,n是整数) 幂的乘方 ②(am)”=amn(m,n是整数) 积的乘方 ③(ab)”= a"bn(n是整数) 同底数幂的除法 ④am÷a=am-n(a≠0,m,n是整数) 分数的乘方 ⑤ (n是整数) 幂的零次方 ⑥当a≠0时， a⁰=1 指数的范围扩大到全体整数后，正整数指数幂的另外四个运算 性质仍适用. 整数指数幂及其计算 新知探究 归一归 探究点2 (2) 原 (3) 原式 ● (4)原式=a-²b².a-6b⁶ =a- 8b⁸ 例3.计算： (1)a-²÷a⁵; (2) (3)(a-1b²)³; (4)a-2b²·(a²b-²)-3. 整数指数幂及其计算 典例分析 解：(1)a-²÷ a⁵ 探究点2 am·a-n=am-n 除数的指数转化它的相反数 转化为 即同底数幂的除法：am÷an 同底数幂的乘法：am·a-n 根据指数整数幂运算性质，同底数幂的除法与同底 数幂的乘法能互相转化吗? 除号转化为乘号 am÷an =ama-n 整数指数幂及其计算 为整数时： am-n 新知探究 当m,n am÷an= 议一议 探究点2 转化为 商的乘方： 积的乘方：(a·b-1) 根据指数整数幂运算性质，商的乘方与积的乘方能 互相转化吗? 整数指数幂及其计算 新知探究 议一议 探究点2 am÷ an=am·a -n= am-n 可得 (1) am·a "=am+n(m,n 是 整 数 ) (2) (am)"=amn(m,n 是整数) (3) (ab)"=a"b"(n 是整数) 整数指数幂的前五个运算性质，实际上可以合并为三个 整数指数幂及其计算 新知探究 归一归 探究点2 (1) (2)a-2b³.(a²b-²)-3; (3) (3×10-5)³÷(3×10-6)². (1)原式= (ba⁻1)-2. (a b1)² =(b 2a²)(a²b ²) 统一为幂的乘法 解： (1)原 ·() ² 典例分析 例4.计算： ; 例4.计算： ” (2)原式=a -²b³·a-6b⁶ (1) (2)a-2b³.(a²b-²)-3; (3)原式=(27×10-15)÷(9×10-12) =3×10-3 (3) (3×10-5)³÷(3×10-6)². 解： 典例分析 ; =-4+4-1-3 三 - 4 . (2)原式=1-4+1-25 =- 27 解：(1)原式=-4+(-2)²-1-|-3| 典例分析 例5.计算(1) 例6. (a-²-b-²)-(a-¹+b-¹)+(a-²-b-²)-(a-¹-b-1) 解析： 先转化为分式，再利用平方差公式因式分解后约分 典例分析 = a-1- b-1 + a -1+ b-1 方法一： 例6.(a-²-b-²)-(a-¹+b-1)+(a-²-b-²)-(a-¹-b-1) 解 析 ：先转化为分式，再利用平方差公式因式分解后约分 典例分析 解：原式 方法二： 则这四个数从小到大排列的顺序是 解析：由题意得： 1.已知a=2-55,b=3-44,c=4-33,d=5-22, 拓展提升 b<c<a<d 解： ·2*+2=32 ∴(2-1)²x-1.2x+2=32. ∴2-2x+1.2x+2=32 2-2x+1+x+2=32. 即 2-x+3=25. ∴- x+3=5, 即 x=-2. ∴3-2x=3-2×(-2)=3⁴=81 2.已知 · 2*+2=32,求3-2的值 拓展提升 3.已知 , 求m” 的值. 分析： 将 变形为底数是3的幂，将8变形为底数异 的幂， 确定m,n 的值，最后代入求mn 的 值 . 解： 指数互为相反数 ∴n=-3. 底数互为倒数 拓展提升 ∴m=-4. ● (2)(-3)⁰= 1 ,(-3)-²=_ (3)b⁰ = 1 , 1.填空： (1)3⁰=1 , 新知巩固 教材P161练习 教材P161练 习 (2)(2ab²c³)÷ (a-²b)³. (2)原式=(2ab²c-3)·(a-²b)-3 = 2ab²c-3.a⁶b-3 = 2a⁷b-1c-3 2. 计算： (1)x²y-3.(x-1y)³; 解：(1)原式=x²y-3x-³y³ = x-1y⁰ 1 巩固练习 解 ：(1) 原式 = (2原式= (3)原式= (4)原式= a- ²b² · a⁶b-6 1. (2021 ·开封模拟)计算： (1)a-²÷a⁵ (3)(a-1b²)³; (4) a-2b²·(a-2b²)-³ . 真题感知 整数指数幂的运算性质(m, n是整数) (1) am·a"=am+n (2)(am)" =amn (3)(a b)"=anb" (4)am÷a"=am- " (a≠0) 匹 (6)a⁰=1 (a≠0) 规定： 一般地，当n是正整数时， 课堂小结 这就是说，a- n是a”的倒数. 整数指数幂 (a≠0). 习题18.4 有意义，则a 的取值范围为_ a ;a²·a-²= 1 ; 教材P162 a≠3 1.填空： (1)若(a-3)-² (2)1÷a¹= 课后练习 教材P162 习题18.4 解： (1)原式= 课后练习 解： (2)原式= 2. 计算： 1 课 后 练 习 3.计算： (1)3a-²b·2ab-²; (2)4xy²z÷(-2x-²yz-1); (3)(-3ab-1)³; (4)(2m²n-²)²3m-3n³ . (2)原式=-2??1- (-2) y²-1z¹ -(-1) =-2x³yz² (4)原式=4m⁴n- ⁴ ·3m-3n³. =4mn-1 解： (1)原式=6a- 2+1b1-2 习题18.4 教材P162 习题18.4 解 ： (1) 课后练习 =(x+y)-¹÷(-1)-3 (2)原式 6.计 算 ： 教材P163 ① 7.已知x+x¹=3, 求x²+x-², x⁴+x⁴ 的值。 x+x¹ 即为之前我们探究过的 形式的式子，同理 分析： 将x⁴ + ,将. 两边都进行平运算，变形求值即 可.注意在求x⁴+x⁴ 的值时，原理同x²+x-² 的值，但要把x²看成一个 整体. 解：∵x+ x-¹=3, ∴(x+x-1)²=x²+2+x-²=9, ∴x²+x-²= 7. ∴(x²+x-²)²=x⁴+2+x-⁴=49, ∴x⁴+x-⁴=47. 拓展提升 习题18.4 教材P163 感谢聆听! $