18.5 分式方程-课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式方程，系统覆盖概念、解法及应用，通过对比整式方程导入，构建从分式到分式方程的知识脉络，为学生提供清晰的学习支架。 其亮点在于融合数学思维与模型意识，以分层例题（如行程、工程问题）和易错点剖析为载体，培养学生运算能力与应用意识。丰富的中考题与解题技巧，助力学生掌握方法，教师可高效开展教学。

18.5 分式方程 第十八章 分式 知识点 分式方程的概念 知1－讲 1 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程. 注意 分母中含有字母的方程未必是分式方程. 如关于 x 的方程： +2=3x(a 为非零常数)，虽然分母中含有字母，但是此方程的未知数是字母x，并不是字母a，因此此方程为整式方程，而不是分式方程. 知1－讲 2. 分式方程应满足的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 知1－讲 特别提醒 识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形. 知1－练 例 1 判断下列方程是不是分式方程，并说明理由. (1)＝8； (2)＝；(3)＝1； (4)＝；(5)=5(a 为非零常数). 解题秘方：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据. 不能约分后判断 知1－练 解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数. (2)是分式方程，因为分母中含有未知数. (3)是分式方程，因为分母中含有未知数. (4)是分式方程，因为分母中含有未知数. (5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a为非零常数，不是未知数. 知1－练 1-1. 下列关于x的方程： ①x2＝1；②－x2＝1；③＝x； ④-2=x(b 为非零常数)；⑤＋3＝； 其中是分式方程的是________(填序号). ③⑤ 知2－讲 知识点 分式方程的解法 2 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 知2－讲 2. 解分式方程的一般步骤 知2－讲 3. 检验分式方程解的方法 知2－讲 4. 增根(拓展点) (1)分式方程的增根：将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解. 若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 知2－讲 (2)产生增根的原因：在将分式方程化为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是一个含未知数的式子，这个式子有可能为0.如果为0，那么对于转化后的整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解. 知2－讲 特别解读 1. 解分式方程的关键是去分母. 去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来. 2. 解分式方程可能产生使最简公分母为0 的解，因此必须检验. 知2－练 解下列方程： (1)＝；(2)＝－2； (3)＋＝. 例 2 解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验得到分式方程的解. 知2－练 解：方程两边乘(x－4)(x－6)， 得x(x－6)＝(x＋2)(x－4). 解得x＝2. 检验：当x＝2 时，(x－4)(x－6)≠ 0. 所以，原分式方程的解为x＝2. (1)＝； 知2－练 解：方程两边乘x－3，得2－x＝－1－2(x－3)， 解得x＝3. 检验：当x＝3 时，x－3＝0， 因此 x＝3不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. (2)＝－2； 注意符号 不要漏乘-2 知2－练 解：原方程可化为＋＝ . 方程两边乘x(x＋2)(x－2)， 得4(x－2)＋7x＝6(x＋2)，解得x＝4. 检验：当x＝4 时，x(x＋2)(x－2)≠ 0. 所以，原分式方程的解为x＝4. (3)＋＝. 知2－练 2-1.[ 中考·济宁] 解分式方程1－＝－时，去分母变形正确的是( ) A.2－6x＋2＝－5 B.6x－2－2＝－5 C.2－6x－1＝5 D.6x－2＋1＝5 A 知2－练 2-2.[中考· 威海] 解分式方程：-1=. 解：方程两边乘2x-1, 得x-2-(2x-1)=-1，解得x=0. 检验：当x=0时，2x-1≠0. 所以，原分式方程的解为x=0. 知3－讲 知识点 分式方程的应用 3 列分式方程解决实际问题的一般步骤 (1)审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量； (2)设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； (3)列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； (4)解：解所列出的分式方程； 知3－讲 (5)验：既要检验所得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求； (6)答：写出答案. 知3－讲 知识链接 列分式方程常用的等量关系： (1)行程问题：速度×时间= 路程. (2)工程问题：工作量=工作时间× 工作效率；总工作量= 各个分工作量之和. (3)销售问题：总价=单价× 销售量. 知3－练 某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72 km，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12 min 后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2 倍，求大型客车的速度. 例 3 知3－练 思路导引： 知3－练 解：设大型客车的速度为x km/h，则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h． 根据题意，得－= ，解得x = 60． 经检验，x = 60是分式方程的解，且符合题意． 答：大型客车的速度是60 km/h. 知3－练 3-1.[中考•长春]小吉和小林从同一地点出发跑800 m，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40 s 到达终点. 求小林跑步的平均速度. 解：设小林跑步的平均速度为x m/s，则小吉的平均速度为1.25x m/s.根据题意，得8001.25x+40=800x，解得x=4.经检验，x=4是分式方程的解，且符合题意. 答：小林跑步的平均速度为4 m/s. 知3－练 某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合作，12 天恰好完成；若两个队合作9 天后，剩下的由甲队单独完成，还需5 天时间，现需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？ 例 4 知3－练 解题秘方：列表分析如下： 工作效率 工作时间/天 工作总量 两个队合作 9 甲队 5 等量关系 两个队合作9 天的工作量＋甲队单独工作5 天的工作量＝1 知3－练 解：从缩短工期角度考虑，应该选择甲队. 理由：设甲队单独完成工程需x 天. 根据题意，得×9＋×5=1，解得x =20 . 经检验，x =20 是方程的解. －= ，所以乙队单独完成工程需30 天. 因为20 <30，所以从缩短工期角度考虑，应该选择甲队. 知3－练 4-1. 某公司开发了两款AI 模型，分别为模型A和模型B. 由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据. 已知模型B比模型A每小时多处理10 GB数据，模型B 处理300GB数据的时间与模型A处理200 GB数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少GB数据(备注：GB为数据的存储单位). 知3－练 解：设模型A每小时能处理xGB数据， 则模型B每小时能处理(x+10)GB数据. 根据题意，得=，解得x=20. 经检验，x=20是分式方程的解，且符合题意. 答：模型A每小时能处理20GB数据. 知3－练 [中考·扬州]某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128 元购买乙款书签的数量少3 个，求这两款书签的单价. 例 5 知3－练 解题秘方：根据“用100 元购买甲款书签的数量比用128 元购买乙款书签的数量少3 个”建立分式方程. 知3－练 解：设乙款书签的单价为x 元，则甲款书签的单价为x 元. 根据题意，得= -3，解得x=16. 经检验，x=16 是分式方程的解，且符合题意. 所以x= ×16=2 0 . 答：甲款书签的单价为20 元，乙款书签的单价为16 元. 知3－练 5-1. 某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B 两种品牌篮球， 已知A 品牌篮球的单价比B 品牌篮球单价的2 倍少48 元，采购相同数量的A，B 两种品牌篮球分别需要花费9 600 元和7 200 元.A，B 两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 知3－练 分式方程 分 式 方 程 定义 解法 去分母，转化 为整式方程 解整式方程 检验 应用 行程问题 工程问题 销售问题 题型 解含有字母系数的分式方程 1 解关于 x 的方程：=4(a+b ≠ 0)． 例 6 解题秘方：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同. 需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件． 解：方程两边乘(1-bx)，得1+ax=4-4bx， 整理，得(a+4b)x=3. 当a+4b=0 时，上式不成立，即原方程无解； 当a+4b ≠ 0 时，解得x= 检验：当x= 时，1-bx ≠ 0 . 所以，原分式方程的解为x= . 思路分析 此题已明确x 为未知数，则a,b均为已知数，先找出最简公分母，然后去分母，化成整式方程求解. 特别提醒 方程两边除以(a+4b)前，要注意判断a+4b是不是等于0. 题型 巧解特殊的分式方程 2 [一题多解]解方程：+ = + . 例 7 解题秘方：根据方程中每一个分式的分母加1 都等于它的分子的特点，将分子拆成两项，分别除以分母，消去分子中的未知数，然后进行求解. 解：原方程可化为+=+， 即+ =+． 方法一 = ，即= ． 因为 x2-1 0x+16 ≠ x2-1 0x+24，所以2x-1 0 =0，解得x=5． 经检验，x=5 是原分式方程的解．所以，原分式方程的解为x=5． 方法二 移项，得- = - ． 通分，得=． 所以x2-6x+8=x2-14x+48，解得x=5． 经检验，x=5 是原分式方程的解． 所以，原分式方程的解为x=5． 技巧点拨 解复杂的分式方程时，直接去分母计算相当麻烦，可观察分式的结构特征采取分组通分法，达到以下两种结果： (1)使左右两边分子相同，分母不相等，则只有分子的值为0 时，分式方程才成立； (2)使左右两边分子是相等的非零常数，则只有分母相等时，分式方程才成立. 题型 分式方程解的应用 3 已知关于 x 的分式方程-=1 的解与方程=3的解相同，求 a 的值． 例 8 解题秘方：将问题转化为解两个分式方程，其中一个不含字母，另一个含字母. 类型1 分式方程的同解问题 解：解分式方程 =3，得x=2．经检验，x=2 是方程=3 的解．因为关于x 的分式方程- =1 的解与方程 =3 的解相同，所以将x=2 代人- =1，可得关于a 的分式方程-2=1，解得a=-3．经检验，a=-3 是方程-2=1 的解，故a=-3． 技巧点拨 分式方程的同解问题的求解方法： 先将其中不含待求字母的方程的解求出,再将该解代入另一个方程中,得到关于待求字母的方程,最后解方程并在检验后得出结论. [新考法 分类讨论法]若关于x的分式方程2- = 无解，求k 的值. 例 9 思路导引： 类型2 根据分式方程无解求字母的值 解：方程两边乘x-2，得2(x-2)-(1-kx)=-1，即(2+k)x=4. ① 分两种情况讨论： (1)当2+k ≠ 0，即k ≠ -2 时，x=. 因为原分式方程无解，所以x-2=0，即x=2. 把x=2 代入①，得k=0 . (2)当2+k=0，即k=-2 时，方程①无解，则原分式方程也无解.综上，k=0 或k=-2. 特别解读 导致分式方程无解的情况有两种： (1)由于增根导致分式方程无解：求得的分式方程化成的整式方程的根是原分式方程的增根； (2)由于分式方程化成的整式方程无解导致分式方程无解：将分式方程通过去分母变成整式方程后，整式方程是ax=b(a=0，b ≠ 0)的形式. 关于x 的方程=1 的解是正数，求a 的取值范围. 例 10 思路导引： 类型3 根据分式方程解的正负求字母的取值范围 解：方程两边乘x-3，得2x+a=x-3，解得x=-3-a. 因为原方程的解是正数，所以-3-a>0，解得a<-3. 又因为x-3 ≠ 0， 所以-3-a-3 ≠ 0，解得a ≠ -6. 所以a<-3 且a ≠ -6. 不要忽略分母不为0 方法点拨 根据分式方程的解的情况求字母取值范围的方法： 在求分式方程中字母的取值范围时，通常要把分式方程转化为整式方程并求解，再根据题目中的条件列出不等式(组)求出字母的取值范围，要特别注意排除使分式方程分母为0 的字母的值. 解方程：+ = . 例 11 错解：方程两边乘2(x+3)，得4+3(x+3)=4，解得x=-3. 正解：方程两边乘2(x+3)，得4+3(x+3)=4，解得x=-3. 检验：当x=-3 时，2(x+3)=0， 因此x=-3 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 易错点 解分式方程时忘记检验而出错 1 诊误区： 因为在解分式方程时，有可能出现使最简公分母为0 的解,所以检验是必要的步骤. 如本题，易漏掉检验而误认为x=-3 是原分式方程的解. [中考· 陕西]解方程：=． 例 12 考法 解分式方程 1 试题评析：本题考查了解分式方程，正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键. 解：方程两边乘x(x+5)，得2x2-x(x+5)=(x+5)2， 解得x=- . 检验：当x=- 时，x(x+5)≠ 0 . 所以，原分式方程的解为x=- ． [中考·眉山] 若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程=2- 的解为正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为( ) A.8 B.14 C.18 D.38 例 13 考法 根据分式方程解的情况求字母的值 2 试题评析：本题主要考查求不等式组的解集和解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a 的值，最后求和即可. 解： 解不等式①，得x ≤ 5；解不等式②，得x ≥. 所以不等式组的解集为≤ x ≤ 5. 因为不等式组至少有两个正整数解，所以≤ 4，解得a ≤ 9. 解分式方程=2-，得x= . 因为x= 为正整数且x= ≠ 1，所以为大于或等于2 的整数，所以a 为大于或等于6 的偶数. 因为a ≤ 9，所以a=6 或a=8. 综上，所有满足条件的整数a 的值之和为6+8=14. 答案：B [中考·广州] 智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘. 例 14 考法 列分式方程解决实际问题 3 解题秘方：本题考查列代数式和分式方程的应用，找准数量关系，列出分式方程求解. (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%，求用智能机器人采摘的成本是多少元(用含a的代数式表示)； 解：用智能机器人采摘的成本是(1-30%)a=0.7a(元). (2)若要采摘4 000 kg 该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克. 解：设一个工人每天可采摘该种水果xkg，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果5x kg. 根据题意，得= ，解得x=200 . 经检验，x=200 是分式方程的解，且符合题意. 所以5x=5×200 =1000 . 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000 kg. 1. 下列关于x 的方程中，属于分式方程的是( ) A. =- B. -3=x2 C. -1=0 D. = D 2. [模拟·大连中山区] 将分式方程+3=去分母后得到的整式方程为( ) A.1+3=3x(1-x) B.1+3(x-1)=-3x C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x B 3. [新考法 过程辨析法]小明解分式方程=-1 的过程如下．解：去分母，得3=2x-(3x+3)．① 去括号，得3=2x-3x+3．② 移项、合并同类项，得-x=0．③ 系数化为1，得x=0．④ 以上步骤中，开始出错的一步是(　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 4. [新考法逆向思维法中考·德州]如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解 答. 经查看答案解析发现，若设第一次购买了x 个魔方，则可列方程 -= 5 进行解答. 则被墨水污染部分的文字为( ) A. 这次商家每个魔方涨价5 元，结果比上次多买了10 个 B. 这次商家每个魔方涨价5 元，结果比上次少买了10 个 C. 这次商家每个魔方优惠5 元，结果比上次多买了10 个 D. 这次商家每个魔方优惠5 元，结果比上次少买了10 个 D 5. 已知关于x 的分式方程- =3 的解为负数，则k 的取值范围为( ) A. k<-4 B. k>-4 C. k<- D. k>-4 且k ≠ - A 6. [中考·南京]已知x=2 是方程+ =1的解，则a 的值是_______. -1 7. [新考向 数学文化]《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到900 里外的城市需要的时间比规定时间多2 天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3 天，已知快马速度是慢马速度的2 倍，求规定时间是多少天. 若设规定时间为x 天，则可列方程为_____________. =×2 8. 若关于x 的分式方程+ =3 无解，则m=________. 9. [新视角 新定义题]若对任意实数a，b，c，d，规定：=ad-bc. 若=1，则x 的值为________. -1 4 10.解下列方程： (1)[中考·镇江]=； 解：方程两边乘2(4+x)，得2(3-x)=4+x,解得x=. 检验：当x=时，2(4+x)≠0. 所以，原分式方程的解为x=. (2)+1=. 解：方程两边乘(x+1)(x-1),得4+x2-1=x2-2x+1,解得x=-1. 检验:当x=-1时,(x+1)(x-1)=0, 因此x=-1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 11.[期末•北京通州区] 周末小华踏上了在长安街延长线的游玩购物之旅. 上午9:00，从通州区北苑万达广场出 发，步行1650 m，到达京杭府的爱琴海购物公园，在爱琴海购物公园购物游玩40 min，然后骑共享单车行驶了3000 m到通州区文化馆观看演出. 如果小华骑行的平均速度是步行的平均速度的2 倍，骑行比步行少用3 min. 请你判断他能否在当日上午11:00 前到通州区文化馆，并说明理由. 解：小华能在当日上午11:00前到通州区文化馆.理由如 下：设小华步行的平均速度为x m/min，则骑共享单车的平均速度是2x m/min. 根据题意，得 -3=，解得x=50. 经检验，x=50是分式方程的解，且符合题意. 所以2x=2×50=100. 所以小华步行的平均速度为50 m/min，骑共享单车的平均速度为100 m/min. =33(min)， =30(min)， 33+30+40=103(min). 因为从上午9:00到11:00是120 min，且103<120， 所以小华能在当日上午11:00前到通州区文化馆. 12.[中考•重庆]某厂生产甲、乙两种文创产品. 每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50 个，3 天时间生产的甲种文创产品的数量比4 天时间生产的乙种文创产品的数量多100 个. (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个. 解：设该厂每天生产的乙种文创产品数量是x个，则每天生产的甲种文创产品数量是(x+50)个. 根据题意，得3(x+50)=4x+100，解得x=50. 所以x+50=50+50=100. 答：该厂每天生产的甲种文创产品数量是100个，每天生产的乙种文创产品数量是50个. (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进. 改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍. 若生产甲、乙两种文创产品各1 400个，乙比甲多用10 天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量. 解：设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个. 根据题意，得 -=10，解得y=20. 经检验，y=20是分式方程的解，且符合题意. 答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个. 13. [新视角 规律探究题]阅读下列材料： 关于x 的方程x+=c+的解是x1=c，x2= ； x- =c- ，即x+(- )=c+( - )的解是x1=c，x2=- ； x+ =c+的解是x1=c，x2= ； x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ； …… (1)请观察上述方程与其解的特征，比较关于x 的方程x+=c+(m≠ 0)与它们的关系，猜想该方程的解是x1=_______，x2=_______； c (2)利用上述结论求关于x的方程x+ =的解并进行检验. 解：原方程可化为x-1+=a-1+, 所以x-1=a-1或x-1=,解得x=a或x=. 检验：当x=a时,方程左边x+=a+=方程右边; 当x=时,方程左边x+=+=+a-1=+a=a+=方程右边. 所以x1=a,x2=是方程x+=a+的解. 解：设B品牌篮球的单价是x元， 则A品牌篮球的单价是(2x－48)元． 根据题意，得＝，解得x＝72. 经检验，x=72是分式方程的解，且符合题意. 所以2x-48=2×72-48=96(元). 答：A品牌篮球的单价是96元，B品牌篮球的单价是72元. $