专题05 图形的切割、平移与对称（3年汇编）（河北专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦图形变换核心考点，汇编2024-2026年河北中考真题及模拟题，融合限定工具作图与轴对称两大模块，突出实践操作与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|真题4道/模拟12道|尺规作图识别、轴对称性质、图形对称判定|结合矩形折叠、正方形网格等情境，考查空间观念与推理能力，如2025年矩形折叠题涉及角相等关系判断| |非选择题|真题3道/模拟16道|尺规作图操作、图形剪拼、折叠与平移综合|以“矩形切割焊接”“正方形剪拼钻石五边形”为情境，设计多问探究（作图、证明、计算），如2025年综合题融合周长计算与尺规作图，体现中考对实践能力的命题趋势|

专题05 图形的切割、平移与对称 3年真题1年模拟 考点分类 河北考情（2024-2026） 命题规律 考点01 限定工具作图 近三年共2道题（2026年0道， 2025年1道， 2024年2道）。 其中选择题1道，非选择题2道。 从题型看，选择题1道、非选择题2道。命题多围绕尺规作图、作垂线、垂直平分线及三角形的高展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。备考时应回归教材，需关注基础概念与典型解法的掌握。 考点02 轴对称 近三年共2道题（2026年0道， 2025年1道， 2024年1道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕轴对称与折叠问题展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。考查频次较低，但仍需关注基础概念与典型解法的掌握。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点01 限定工具作图 1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 2．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 4．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 考点02 轴对称 1．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2026·河北唐山·三模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·三模）下列中国古典园林花窗纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A．回纹 B．橄榄纹 C．风车纹 D．套三角纹 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）利用尺规作，作图痕迹如图所示，图中的数字表示作圆弧的顺序，则此作图的已知条件是（     ） A．两边及夹角 B．两角及一角的对边 C．两角及夹边 D．两边及一边的对角 4．（2026·河北邢台·二模）图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 5．（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，，，以点为圆心，大于点到边的距离为半径画弧交边于点，点，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧交于点，点．作直线交于点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北廊坊·二模）如图，根据尺规作图痕迹，下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C．若，则 D． 7．（2026·河北沧州·三模）如图，正方形网格中的八条等长线段形成了一个轴对称图形．将标号①②③④的四条线段随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北唐山·三模）如图，是内一点，，分别是上的动点，周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2026·河北保定·三模）如图，是平行四边形的对角线，将图形沿着翻折，使点A落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．（2026·河北张家口·三模）如图，将线段向上平移的过程中，可能会经过点、点、点、点中的（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 12．（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段平移到线段，若点的坐标为，四边形是面积为12的菱形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 13．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若将沿折叠，点恰好与点重合． 结论Ⅰ：平行四边形为菱形； 结论Ⅱ：的度数为度． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 14．（2026·河北邯郸·二模）如图1，由5块图形（图形）拼成矩形（其中①、②是正方形），去掉①号正方形后，其余4块图形（图形）可拼成如图2所示的正方形． 结论I：图1所示的四边形是正方形； 结论II：利用③、④、⑤三块图形可以拼成一个菱形 则（     ） A．I和II都对 B．I和II都不对 C．I不对II对 D．I对II不对 15．（2026·河北邯郸·二模）对于点和，将点在平面直角坐标系中作如下变换： 第一步：将点沿轴方向平移个单位长度（当时，将点向上平移个单位长度，当时，将点向下平移个单位长度）得到点； 第二步：将点关于直线对称得到点．我们就称为“对的变换点为点”． 例：如图，点对的“变换点”为． 对于点，，，，有下列结论： 结论一：点对的“变换点”为点； 结论二：若点对的“变换点”为点，则，； 结论三：点的坐标为，点为点对点的“变换点”，若，则． 以上结论正确的是（     ） A．只有结论一正确 B．只有结论二不正确 C．三个结论都正确 D．三个结论都不正确 16．（2026年河北唐山市曹妃甸区初中学业水平考试数学模拟试卷（一））如图，在直角中，． (1)请用尺规作图法在边上求作一点M，使得点M到边、的距离相等，（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，求面积． 17．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 18．（2026·河北邯郸·二模）如图，在中，，，直线经过点，于点，连接 (1)尺规作图：过点作直线于点（不写作法，保留作图痕迹），并证明； (2)若，证明： 19．（2026·河北石家庄·模拟预测）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为． (1)尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 20．（2026·河北承德·二模）【情境】已知，求作的平分线，除了基本的尺规作图方法外，嘉嘉、淇淇两位同学提供了如下两种正确的作法． 【操作】嘉嘉、淇淇的作法如图1和图 嘉嘉 淇淇 步骤 ①利用直尺和三角板作； ②_____； ③作射线，即为所求． ①利用圆规截取； ②过点C，D作垂线，相交于点P； ③作射线，即为所求． 作图 【探究】 (1)根据图1的作图痕迹，嘉嘉的第②步应是“以点______为圆心，______长为半径画弧，与交于点P”； (2)根据淇淇的作图过程，请证明图2中的射线符合要求． 21．（2026·河北张家口·二模）综合与实践： 【情境】在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助数学知识予以解释，在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究性数学实践活动． 【操作】 如图，在矩形纸片中，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． 【探究】 (1)在图中，连接，的长为________； (2)在图中，当点落在上时，求的长； 【拓展】 (3)在图中，尺规作图：作，且满足点到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法），此时________； (4)连接、，当最大时，直接写出的值． 22．（2026·河北邢台·二模）嘉琪通过自学和查阅有关资料，发现可以用尺规作图的方法，对任意给定的一个矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．嘉琪运用这种方法，对图1中的矩形，在图2中进行了下面的尺规作图： 第一步：在的延长线上，截取线段； 第二步：作线段的垂直平分线，交于点； 第三步：以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点； 第四步：以为边，在边右侧作正方形． 根据以上过程，解答下列问题： (1)请按照作图过程中的“第四步”，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出正方形．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的长为，的长为（），则 ①如图2，的长是________，的长是________；（用含，的式子表示） ②求证：正方形的面积等于矩形的面积． 23．（2026·河北石家庄·二模）【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 24．（2026·河北·三模）阅读题目：如图，已知平行四边形，求作：菱形（要求：尺规作图． 下面是两位同学设计的“尺规作菱形”的作图过程： 甲同学作法如图： ①以点A为圆心，长为半径画弧，与交于点F，②以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点E，③连接，则四边形为菱形． 乙同学作法如图： ①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，②分别以A，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点F，③连接，则四边形为菱形． (1)依据甲同学的作法，得到菱形的依据是：________； (2)请依据乙同学的作法，说明四边形是________； (3)在图1中，作菱形，使E在上，并且菱形与平行四边形面积相等．（不写做法，保留作图痕迹） 25．（2026·河北邯郸·一模）综合与实践 【情境】圆形纸板中画有圆内接矩形，沿线段（点A，B都在圆上）裁剪后，得到如图12-1所示的图形，为了复原该圆形纸板，需要确定圆心的位置． 【探究】嘉嘉说：“若连接，则只需要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． (1)结合嘉嘉的说法，应作线段_______（写出一条）的垂直平分线； 【操作】 (2)在【探究】的基础上，在图1中用尺规作图作出圆形纸板的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； 【拓展】 (3)将矩形绕圆心O旋转，点C，D、E始终在优弧上，连接，已知，． ①如图2，当时，求点D到的距离； ②当顶点D到距离最大时，直接写出此时的长． 26．（2026·河北邯郸·二模）综合与实践 【情境】在矩形内画一个最大的半圆． 【模型】操作一：如图1，选取矩形的一个顶点，作的平分线，交于点，在线段上任取一点，过点作，垂足为．以点为圆心，的长为半径作，可知与两边同时相切，切点分别为G、F两点； 操作二：如图2，沿射线方向移动圆心，使逐渐变大．当与矩形的两边分别交于点H、I且圆心落在弦上时，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【探究】 (1)在图2中，顶点C 上？（填“在”或“不在”）； (2)如图3，已知正方形的边长为4，求正方形内最大半圆的半径的长； 【拓展】 (3)如图4，在矩形中，，请用无刻度的直尺和圆规作出矩形内最大的半圆，圆心记为（保留作图痕迹，不写作法）． 27．（2026·河北沧州·二模）如图，在矩形中，，为边的中点，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，当点与点重合时，． (1)在图中，利用尺规作出点关于直线的对称点，连接、； (2)________，________； (3)求为何值时，直线平分矩形的面积； (4)当点在矩形内部（不含边界）时，直接写出的取值范围； (5)点在射线上，且，连接，点为的中点．当点在线段上运动时，请直接写出点的运动路径长． 28．（2026·河北石家庄·二模）情境  如图1，在 中，D、E分别是 、 的中点．F、G是 上的两点，．连接，作于点H，于点I． 操作  将四边形绕点D逆时针旋转 ，可得四边形；同理，将四边形绕点E顺时针旋转 ，可得四边形，得到图2． 发现  在图2中， (1)与的数量关系是________． (2)证明：点L，B，N在一条直线上． 探究 (3)将图2中的平移，使 与重合．得到图3，图中拼成的阴影部分的形状是________． (4)在图3中，求证：． 29．（2026·河北廊坊·二模）综合探究与应用 模型建立 (1)如图1，正方形中，点，，，分别在正方形的四条边上，若，则线段，的数量关系是________； (2)如图2，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕的长为________； 初步探究 (3)如图3，矩形纸片中，．若，则线段和的数量关系为_____________； 迁移应用 (4)如图4，已知点，，的位置如图4所示，求作一点，使得点，，，一定分别在一个长宽比为的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (5)如图5，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，求当与满足什么关系时，成立． 30．（2026·河北张家口·二模）【实践情境】在数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、有一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、一个圆规、三支木工笔、小刀和橡皮． 【实践任务】仅利用提供的工具作出木板长边的三等分点． 【小组设计】下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤． 甲组：如图1，①利用直角三角板的直角和圆规，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，过点作于点；②连接，，交于点，利用直角三角板的直角过点作于点，并延长，交于点． 乙组：如图2，连接，在射线上利用圆规作相等的线段，和，连接…… 丙组：如图3，只利用直角三角板便可完成作图，①分别以点A，B为顶点，为底边作角的等腰；②…… 【问题探究】根据上述内容，完成下列探究问题． (1)如图1，求证：为的中点． (2)如图1，求证：． (3)根据乙组的思路在图2中补全图形，边的三等分点从左至右分别为点，．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (4)根据丙组的思路在图3中补全图形，求作一点，使得，请写明作图过程，并说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的切割、平移与对称 3年真题1年模拟 考点分类 河北考情（2024-2026） 命题规律 考点01 限定工具作图 近三年共2道题（2026年0道， 2025年1道， 2024年2道）。 其中选择题1道，非选择题2道。 从题型看，选择题1道、非选择题2道。命题多围绕尺规作图、作垂线、垂直平分线及三角形的高展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。备考时应回归教材，需关注基础概念与典型解法的掌握。 考点02 轴对称 近三年共2道题（2026年0道， 2025年1道， 2024年1道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕轴对称与折叠问题展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。考查频次较低，但仍需关注基础概念与典型解法的掌握。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点01 限定工具作图 1．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【知识点】画三角形的高、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 2．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2) (3)证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 把矩形分成了周长相等的两部分， 直线符合要求； (4)；． 【知识点】作线段(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质定理 【分析】根据矩形的周长公式计算即可； 以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求； 根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求； 过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切； 连接交于点，把矩形分成了周长相等的两部分，点为和的中点，利用勾股定理可以求出，，过点作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ，， 矩形的周长为， 故答案为：； （2）解：以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形的对角线交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 直线把矩形分成周长相等的两部分； （3）略 （4）解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作， 四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分， 则点是矩形的对角线与的交点， 点是的中点， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ； 解：如下图所示，连接交于点， 把矩形分成了周长相等的两部分， 点为和的中点， ， 点在以为直径的上， 当与相切时，最大， ，， ， ， ， 过点作， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ． 4．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；的长为或． 【知识点】二次根式的除法、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． （1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； （2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． 考点02 轴对称 1．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 2．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 1．（2026·河北唐山·三模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形． 【详解】解：、选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 、选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 、选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 2．（2026·河北邯郸·三模）下列中国古典园林花窗纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A．回纹 B．橄榄纹 C．风车纹 D．套三角纹 【答案】C 【分析】根据轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分可以完全重合；中心对称图形：绕图形中心旋转后，旋转后的图形可以和原图形完全重合；据此求解即可． 【详解】解：A、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形既不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D、选项图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）利用尺规作，作图痕迹如图所示，图中的数字表示作圆弧的顺序，则此作图的已知条件是（     ） A．两边及夹角 B．两角及一角的对边 C．两角及夹边 D．两边及一边的对角 【答案】B 【分析】根据作图顺序进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知，先作，然后作线段，再过点C作，即作，因此根据作图的已知条件为两角及一角的对边． 4．（2026·河北邢台·二模）图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 【答案】B 【分析】本题考查作一个角等于已知角的尺规作图．通过分析图1和图2的作图痕迹，可还原完整作图过程，并逐项验证选项． 【详解】解：图1的作图为：以点为圆心，任意长为半径画弧①，交角两边于点， 图2的作图为：画射线，以点为圆心，长为半径画弧②，交于点，以点为圆心，长为半径画弧③，与弧②相交于一点，连接与该交点，得所求角， 选项：这个基本作图是作角的平分线，不符合题意，本题是作一个角等于已知角，故选项错误； 选项：弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，符合题意，故选项正确； 选项：弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，不符合题意，弧②半径应为的长，而非任意长，故选项错误； 选项：弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧，不符合题意，弧③半径应为的长，而非的长，故选项错误． 5．（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，，，以点为圆心，大于点到边的距离为半径画弧交边于点，点，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧交于点，点．作直线交于点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图痕迹可知直线垂直于，垂足为，根据点到直线的距离定义可知点到直线的距离即为线段的长，利用勾股定理求出，再利用等积法求出，最后在 中利用勾股定理求出即可 【详解】解：由作图可知，直线是过点且垂直于的直线，交于点 ，即 点到直线的距离为线段的长 在中，，， ， 解得 在 中， 点到直线的距离为 6．（2026·河北廊坊·二模）如图，根据尺规作图痕迹，下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C．若，则 D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹，可以判断出是的垂直平分线，是的平分线，然后根据这两个条件，推证四个选项是否成立即可． 【详解】解：由作图痕迹，可知是的垂直平分线， ∴，，，故选项A的结论正确； ∴， 由作图痕迹，可知是的平分线， ∴， 又， ∴， ∴，即，故选项B的结论正确； 若，则， 又， ∴， ∴， ∴，故选项C的结论正确； ∵的度数不确定是否为， ∴不一定等于，故选项D的结论不一定正确． 7．（2026·河北沧州·三模）如图，正方形网格中的八条等长线段形成了一个轴对称图形．将标号①②③④的四条线段随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出共有种等可能结果，根据轴对称图形的定义结合题意分析出剩下的图形仍是轴对称图形的可能数，进而根据概率公式即可求解． 【详解】解：擦去①和②，①和③，②和④，③和④，剩下的图形都是轴对称图形； 擦去②和③，①和④，剩下的图形不是轴对称图形． 共有种等可能结果，其中有4种符合题意， ∴随机擦去其中的两条后，剩下的图形仍是轴对称图形的概率为． 8．（2026·河北唐山·三模）如图，是内一点，，分别是上的动点，周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于、的对称点、，连接，根据轴对称性质和两点之间线段最短可知的长即为周长的最小值，然后通过勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接、、，分别交、于点、， 由轴对称的性质得，，，，， ∴的周长， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴周长的最小值为． 9．（2026·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律和象限的判定．掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题关键．先求出对称点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点坐标为， ∵，，第三象限内点的横纵坐标均为负数， ∴该对称点在第三象限． 10．（2026·河北保定·三模）如图，是平行四边形的对角线，将图形沿着翻折，使点A落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由翻折的性质得、，根据平行四边形的性质得到，则，利用三角形外角的性质求出的度数，利用三角形内角和定理求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：、， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．（2026·河北张家口·三模）如图，将线段向上平移的过程中，可能会经过点、点、点、点中的（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断即可． 【详解】可通过直尺与三角板相结合画平移线段，确定平移后的线段经过点P． 12．（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段平移到线段，若点的坐标为，四边形是面积为12的菱形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交x轴于点M，根据菱形的性质得出，点A、的横坐标为：，再由菱形的面积得出，确定，即可求解 【详解】解：连接交x轴于点M，如图所示： ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点A、的横坐标为：，， ∵四边形是面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为 13．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若将沿折叠，点恰好与点重合． 结论Ⅰ：平行四边形为菱形； 结论Ⅱ：的度数为度． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质得，，可证明，由折叠得，，则，，于是得，则，，进而得出得出，根据折叠得出，进而得出，即可证明平行四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 由折叠得，， ，， ， ， ，故结论正确， ， 将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处， ， 平行四边形是菱形，故结论正确 14．（2026·河北邯郸·二模）如图1，由5块图形（图形）拼成矩形（其中①、②是正方形），去掉①号正方形后，其余4块图形（图形）可拼成如图2所示的正方形． 结论I：图1所示的四边形是正方形； 结论II：利用③、④、⑤三块图形可以拼成一个菱形 则（     ） A．I和II都对 B．I和II都不对 C．I不对II对 D．I对II不对 【答案】A 【分析】根据题意可得①与②是边长相等的两个正方形，结合两个图中②是同一个图形得出，再根据正方形的判定即可判断结论I；根据正方形的性质得到，，进而推出，将平移至（将图形③平移至图形⑤的右侧），根据平移的性质得到，，则四边形是平行四边形，设正方形的边长为，根据题意可知正方形的面积为，则正方形的边长为，根据勾股定理得到，再根据菱形的判定即可判断结论II，即可得出结论． 【详解】解：如图： 根据题意可得，两个图中⑤是同一个图形， 即，，，， ∵①、②是正方形， ∴，， ∴，， 即①与②是边长相等的两个正方形； 又∵②是正方形，且两个图中②是同一个图形， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故结论I说法正确； 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 如图，将平移至（将图形③平移至图形⑤的右侧）， 则， ∴， ∴三点共线， 由平移的性质得，，， ∴四边形是平行四边形； 设正方形的边长为，则正方形的面积为， ∴，， ∴①号正方形的面积为， 根据题意可得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 即， ∵和是图形③中较长的直角边，且两个图中③是同一个图形， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴利用③、④、⑤三块图形可以拼成一个菱形，故结论II说法正确； 综上，结论I和II都对． 15．（2026·河北邯郸·二模）对于点和，将点在平面直角坐标系中作如下变换： 第一步：将点沿轴方向平移个单位长度（当时，将点向上平移个单位长度，当时，将点向下平移个单位长度）得到点； 第二步：将点关于直线对称得到点．我们就称为“对的变换点为点”． 例：如图，点对的“变换点”为． 对于点，，，，有下列结论： 结论一：点对的“变换点”为点； 结论二：若点对的“变换点”为点，则，； 结论三：点的坐标为，点为点对点的“变换点”，若，则． 以上结论正确的是（     ） A．只有结论一正确 B．只有结论二不正确 C．三个结论都正确 D．三个结论都不正确 【答案】B 【分析】根据题目定义的变换规则，推导出点对点的变换点的坐标公式，然后分别代入各结论中的数据进行计算验证即可． 【详解】解：设点，点， 第一步：将点沿轴方向平移个单位， 若，向上平移，纵坐标变为； 若，向下平移，纵坐标变为，故平移后点的坐标为； 第二步：将点关于直线对称得到点，则点的纵坐标与相同，为； ∴点的横坐标满足，即， ∴点对点的变换点的坐标为． 对于结论一：，，即，，，， ∴变换点的横坐标为，纵坐标为， ∴，结论一正确； 对于结论二：对的变换点为，即，，，， ∴变换点坐标为， ∴， 解得， ∵， ∴结论二不正确； 对于结论三：对的变换点为，即，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵，， ∴平行于轴，且， ∵点到直线（即直线）的距离， ∴， ∵， ∴，解得， ∴结论三正确， 综上所述，结论一和三正确，结论二不正确． 16．（2026年河北唐山市曹妃甸区初中学业水平考试数学模拟试卷（一））如图，在直角中，． (1)请用尺规作图法在边上求作一点M，使得点M到边、的距离相等，（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，求面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）按照角平分线的作图方法作出图形即可； （2）根据勾股定理可知长度，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：作的角平分线和交于点，利用角平分线的性质，点到边的距离相等， 如图为所求，且， （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)如图1，当点D落在边上时，求点D的坐标； (2)如图2，当点D落在线段上时，请用尺规作图法画出点D，并求出线段的长． 【答案】(1) (2)尺规作图如图： ； 【分析】（1）根据点A、B的坐标可得的长度，再利用勾股定理可得的长，从而得出点D的坐标； （2）以A为圆心，为半径画弧与相切即可；连接，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点． ，， ∵四边形是矩形， ，，，， ∵顺时针旋转矩形，得到矩形， ， 在中，， ， ∵， ． （2）解：作图略； 如图，连接， ∵四边形是矩形， ， ∵点D在线段上， ， 由（1）知：，， ， ． 18．（2026·河北邯郸·二模）如图，在中，，，直线经过点，于点，连接 (1)尺规作图：过点作直线于点（不写作法，保留作图痕迹），并证明； (2)若，证明： 【答案】(1)图见解析，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据尺规作图作垂线的流程进行作图即可；由题意可得，，由同角的余角相等可得，从而证明； （2）由可得，结合可得，从而证明，因此． 【详解】（1）解：如图所示： 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．（2026·河北石家庄·模拟预测）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为． (1)尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)点D到的距离是 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，则即为所求； （2）先根据三角形内角和定理求出，再根据圆周角定理求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，进而得，接下来根据可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ∵， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴． 在中，， 即， 解得， 所以点D到的距离是． 20．（2026·河北承德·二模）【情境】已知，求作的平分线，除了基本的尺规作图方法外，嘉嘉、淇淇两位同学提供了如下两种正确的作法． 【操作】嘉嘉、淇淇的作法如图1和图 嘉嘉 淇淇 步骤 ①利用直尺和三角板作； ②_____； ③作射线，即为所求． ①利用圆规截取； ②过点C，D作垂线，相交于点P； ③作射线，即为所求． 作图 【探究】 (1)根据图1的作图痕迹，嘉嘉的第②步应是“以点______为圆心，______长为半径画弧，与交于点P”； (2)根据淇淇的作图过程，请证明图2中的射线符合要求． 【答案】(1)C； (2)证明：， ， 又，， ， ， 在和中， ， ， ， 即平分，射线符合要求． 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由作图可知，，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）解：由题可知：嘉嘉的第②步应是“以点C为圆心，长为半径画弧，与交于点P”； （2）略 21．（2026·河北张家口·二模）综合与实践： 【情境】在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助数学知识予以解释，在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究性数学实践活动． 【操作】 如图，在矩形纸片中，，，点是线段上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． 【探究】 (1)在图中，连接，的长为________； (2)在图中，当点落在上时，求的长； 【拓展】 (3)在图中，尺规作图：作，且满足点到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法），此时________； (4)连接、，当最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)所在图形如图所示： (4) 【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理进行求解即可； （2）由折叠的性质可知：，然后可得，进而根据三角函数可进行求解； （3）先作线段的垂直平分线（分别以点C、点D为圆心，以大于长为半径画弧，上下分别交于一点，这两点所连直线即为线段的垂直平分线 ），然后以点A为圆心，长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点Q，再分别以点B、Q为圆心，大于长为半径画弧交于一点，最后连接这个点和点A，交于点P，则问题可求解； （4）由题意易得点Q是以点A为圆心，2为半径的圆弧上运动，要使最大，则需满足与点Q所在圆相切，如图，过点C作，然后可得，进而根据解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； （2）解：由折叠的性质可知：， ∵点落在上，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：所作图形略， 由作图得的垂直平分线也垂直平分， 由线段的垂直平分线的性质可知：， 由折叠可知：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （4）解：由折叠可知：，则点Q是以点A为圆心，2为半径的圆弧上运动，如图， 要使最大，则需满足与点Q所在圆相切，如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 22．（2026·河北邢台·二模）嘉琪通过自学和查阅有关资料，发现可以用尺规作图的方法，对任意给定的一个矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．嘉琪运用这种方法，对图1中的矩形，在图2中进行了下面的尺规作图： 第一步：在的延长线上，截取线段； 第二步：作线段的垂直平分线，交于点； 第三步：以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点； 第四步：以为边，在边右侧作正方形． 根据以上过程，解答下列问题： (1)请按照作图过程中的“第四步”，在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出正方形．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的长为，的长为（），则 ①如图2，的长是________，的长是________；（用含，的式子表示） ②求证：正方形的面积等于矩形的面积． 【答案】(1)解：如图，正方形即为所求； (2)①，； ②证明：∵矩形，的长为，的长为 ∴矩形的面积为； 由（1）可知：，， ∴， ∴正方形的面积为， ∴正方形的面积等于矩形的面积． 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）①根据作图，列出代数式即可；②求出矩形和正方形的面积即可得证. 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，， ∴， ∵作线段的垂直平分线，交于点， ∴，； ②略 23．（2026·河北石家庄·二模）【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 【答案】(1)135 (2) (3) (4)当时，的长最小，长的最小值是 【分析】（1）根据平行四边形对平行的性质即可求解． （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （3）连接交于P，根据平行四边形的性质得到，即点P是的中点，过D作于H，于E，根据三角形的中位线的性质得到，，根据已知条件得到，解直角三角形即可得到结论． （4）（2）由题意得，，，于是得到，当时，的长最小，过D作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：略； （3）解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ，即点是的中点， 过作于，于， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得，，， ， ， 当时，的长最小， 过作于， 由问题3求得， ， ， ， ， ， ， 长的最小值是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 24．（2026·河北·三模）阅读题目：如图，已知平行四边形，求作：菱形（要求：尺规作图． 下面是两位同学设计的“尺规作菱形”的作图过程： 甲同学作法如图： ①以点A为圆心，长为半径画弧，与交于点F，②以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点E，③连接，则四边形为菱形． 乙同学作法如图： ①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，②分别以A，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点F，③连接，则四边形为菱形． (1)依据甲同学的作法，得到菱形的依据是：________； (2)请依据乙同学的作法，说明四边形是________； (3)在图1中，作菱形，使E在上，并且菱形与平行四边形面积相等．（不写做法，保留作图痕迹） 【答案】(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)菱形 (3)如图：即为所求． 【分析】（1）根据作图以及菱形的判定方法即可解答； （2）如图：由作图过程可知：平分，先说明四边形是平行四边形，进而判断其为菱形； （3）根据菱形的判定与性质、垂直平分线的性质作图即可。 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴，即， 由作图过程可知：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形， ∴甲同学的作法，得到菱形的依据是：一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）解：如图：由作图过程可知：平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （3）解：如图：即为所求． 由作图过程可知：和垂直平分，即四边形是菱形； 由菱形对角线是平行四边形边上的高的2倍，即菱形与平行四边形面积相等．所以四边形即为所求． 25．（2026·河北邯郸·一模）综合与实践 【情境】圆形纸板中画有圆内接矩形，沿线段（点A，B都在圆上）裁剪后，得到如图12-1所示的图形，为了复原该圆形纸板，需要确定圆心的位置． 【探究】嘉嘉说：“若连接，则只需要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． (1)结合嘉嘉的说法，应作线段_______（写出一条）的垂直平分线； 【操作】 (2)在【探究】的基础上，在图1中用尺规作图作出圆形纸板的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； 【拓展】 (3)将矩形绕圆心O旋转，点C，D、E始终在优弧上，连接，已知，． ①如图2，当时，求点D到的距离； ②当顶点D到距离最大时，直接写出此时的长． 【答案】(1)（答案不唯一，，，，均可） (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）依据圆心是圆内任意两条弦垂直平分线的交点，任选圆内一条弦，作它的垂直平分线，两线交点即为圆心． （2）以点C、点D为圆心，大于线段长度的一半为半径画弧，两弧会在线段两侧各交于一点，连接两个交点即可得到线段的垂直平分线，该线与的交点即为圆心． （3）①利用矩形性质与勾股定理求出直径，得到圆半径；由垂径定理，结合勾股定理算出圆心到弦的距离；用面积法求出点D到的距离；根据，将两段距离相加，得到点D到的距离．②先确定圆半径，算出圆心到的距离； 分析得出到距离最大时，且过圆心； 证明三角形全等，结合等腰三角形性质推出； 多次利用勾股定理，分步计算线段长，最终求出． 【详解】（1）解： 在矩形中，，且C、D、E、F在圆上 是圆的直径，圆心在的中点 圆心是圆内任意两条弦的垂直平分线的交点 作图中任意一条弦的垂直平分线，其与的交点即为圆心 ∴在图中可选择的线段有、、、． （2）解：如图所示，点O即为所求； （3）① 在矩形中，， C、D、E、F在圆上，且 是圆的直径，半径为5 如图，记中点为圆心O，记中点为M，连接、， 由垂径定理可得， 在中，设到的距离为 解得 ， 点到的距离为 ② 四边形是矩形 ，，． ，点、在上 是的直径． 在中，由勾股定理得： 为中点，半径 ． 过点作，垂足为，连接． 由垂径定理得：． ， ． 在中，由勾股定理得： 当点D到直线的距离最大时，矩形对角线经过圆心，且，即D、O、F、G四点共线，． ， 平分（等腰三角形三线合一），即． ． ， ． 连接，在和中： ． ． ∴， 即． ∴ 即平分． ， ∴是等腰三角形 （等腰三角形三线合一）． 设交于点，由等腰三角形三线合一得： ， ． 在中，，，由勾股定理得： ， ． 在中，，由勾股定理得： ． 26．（2026·河北邯郸·二模）综合与实践 【情境】在矩形内画一个最大的半圆． 【模型】操作一：如图1，选取矩形的一个顶点，作的平分线，交于点，在线段上任取一点，过点作，垂足为．以点为圆心，的长为半径作，可知与两边同时相切，切点分别为G、F两点； 操作二：如图2，沿射线方向移动圆心，使逐渐变大．当与矩形的两边分别交于点H、I且圆心落在弦上时，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【探究】 (1)在图2中，顶点C 上？（填“在”或“不在”）； (2)如图3，已知正方形的边长为4，求正方形内最大半圆的半径的长； 【拓展】 (3)如图4，在矩形中，，请用无刻度的直尺和圆规作出矩形内最大的半圆，圆心记为（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)在 (2) (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，再根据直角三角形的性质得出答案即可； （2）设的半径为与分别相切于点，则连接，延长交于点G，根据切线的性质和正方形的性质说明四边形为矩形，可得，再根据垂径定理得，可得，然后根据勾股定理求出答案即可； （3）以点A为顶点作的平分线，交于点O，再以点O为圆心，为半径画圆，则答案可得． 【详解】（1）解：在； 如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴． 在中，， ∴点C在上； （2）解：如图，连接，延长交于点G， 设的半径为与分别相切于点，则 与分别相切于点， ，即． ∵四边形是正方形， ， ∴四边形为矩形， ，即， ， 在Rt中，，即， 解得（舍去），， ∴正方形内最大半圆O的半径的长为； （3）略 27．（2026·河北沧州·二模）如图，在矩形中，，为边的中点，动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，当点与点重合时，． (1)在图中，利用尺规作出点关于直线的对称点，连接、； (2)________，________； (3)求为何值时，直线平分矩形的面积； (4)当点在矩形内部（不含边界）时，直接写出的取值范围； (5)点在射线上，且，连接，点为的中点．当点在线段上运动时，请直接写出点的运动路径长． 【答案】(1)点如图所示： (2)； (3) (4)或 (5) 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为所求的点，连接、即可； （2）由对称性的性质可得，利用勾股定理计算出即可； （3）连接、交于点，由直线平分矩形的面积可知，直线过点，则，由对称性可知，，从而计算出，因此； （4）由为定值可知，点在以点为圆心，为半径的圆弧上，设的中点为，连接，分类讨论，当点在线段上时，容易证明四边形是矩形，则，，使用勾股定理可得，则．容易证明，则，计算得；当点在线段上时，则，，在中，使用勾股定理构造方程，解出，结合图形判断范围即可； （5）连接，取的中点，连接，容易判断是的中位线，则为定值，因此点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动．分析圆弧的两个端点，当点与点重合时，点也与点重合，此时点是的中点；点与点重合时，容易计算出，则，进而得出点的运动路径为圆心角为，为半径的圆弧，使用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， 根据题意，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点与点关于直线对称； （2）解：∵为边的中点， ∴， 由轴对称的性质可得，， 当点与点重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，； （3）解：如图，连接、交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点， ∵为边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴； （4）解：设的中点为，连接， 根据题意，， 由（2）可知，为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上， ①当点在线段上时，如图， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵、为、的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由轴对称的性质可得，，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，点在矩形内左侧的圆弧上； ②当点在线段上时，如图， ∴， 同理①可得，， ∴， 由轴对称的性质可得，， 在中，， ∴， 解得， ∴当时，点在矩形内右侧的圆弧上； 综上所述，当或时，点在矩形内部（不含边界）； （5）解：如图，连接，取的中点，连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴，为定值， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图， 当点与点重合时，点也与点重合，此时点是的中点，即点处，则； 当点与点重合时，点在点处，延长交于点， 在中，， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路径为圆心角为，为半径的圆弧， ∴点的运动路径长为． 28．（2026·河北石家庄·二模）情境  如图1，在 中，D、E分别是 、 的中点．F、G是 上的两点，．连接，作于点H，于点I． 操作  将四边形绕点D逆时针旋转 ，可得四边形；同理，将四边形绕点E顺时针旋转 ，可得四边形，得到图2． 发现  在图2中， (1)与的数量关系是________． (2)证明：点L，B，N在一条直线上． 探究 (3)将图2中的平移，使 与重合．得到图3，图中拼成的阴影部分的形状是________． (4)在图3中，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵旋转， ∴，， 在中，， ∴，即 ∴点L，B，N在一条直线上； (3)矩形 (4)证明：连接，，， ∵D、E分别是、中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据旋转的性质得出，然后根据邻补角的定义求解即可； （2）根据旋转的性质得出，，根据三角形内角和定理得出，代入求出，即可得证； （3）根据旋转的性质得出，K、D、I在同一直线上；，H、E、M在同一直线上，同（2）可证，由平移的性质得出，则，故T、N、M在同一直线上，然后根据矩形的判定即可得出结论； （4）连接，，，根据三角形中位线定理得出，，根据已知比例求出，证明四边形是平行四边形，得出，，证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， 又， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形绕点D逆时针旋转 ，可得四边形， ∴，K、D、I在同一直线上， 同理，H、E、M在同一直线上， 同（2）可证， ∵平移， ∴，， ∴， ∴T、N、M在同一直线上， ∴四边形是矩形； （4）略 29．（2026·河北廊坊·二模）综合探究与应用 模型建立 (1)如图1，正方形中，点，，，分别在正方形的四条边上，若，则线段，的数量关系是________； (2)如图2，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕的长为________； 初步探究 (3)如图3，矩形纸片中，．若，则线段和的数量关系为_____________； 迁移应用 (4)如图4，已知点，，的位置如图4所示，求作一点，使得点，，，一定分别在一个长宽比为的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (5)如图5，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，求当与满足什么关系时，成立． 【答案】(1) (2) (3) (4)如图所示，点即为所求； (5)当时，成立 【分析】（1）过点作交于点，过点作交于点，设，交于点，首先求出，然后得到四边形和四边形是平行四边形，得到，，证明，得到，等量代换即可得证； （2）连接，由折叠得，，然后根据勾股定理求解即可； （3）过点作于，过点作于，设，交于，则四边形和四边形都是矩形，可得，，导角证明，则可证明，利用相似三角形的性质即可得解； （4）作线段的垂直平分线，交于，过点作垂直且使得，则点即为所求； （5）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，等量代换即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点，过点作交于点，设，交于点， ，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，，，， 四边形和四边形是平行四边形，， ，，， ，，， ， ， ； （2）解：如图所示，连接， 点是的中点，， ， 由折叠得，， 由（1）可知，； （3）解：如图所示，过点作于，过点作于，设，交于， 四边形是矩形， ， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ∴， ； （4）解：图见答案图， 作线段的垂直平分线，交于，过点作垂直且使得，则点即为所求； 此时，且，分别过，作的平行线，再过点，作的平行线，则，，，必在这个新作的长宽比为的矩形的边上； ，，，， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，， 四边形和四边形是矩形， ， ，点，，，分别在矩形的四条边上； （5）解：当时，成立，理由如下： ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 30．（2026·河北张家口·二模）【实践情境】在数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、有一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、一个圆规、三支木工笔、小刀和橡皮． 【实践任务】仅利用提供的工具作出木板长边的三等分点． 【小组设计】下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤． 甲组：如图1，①利用直角三角板的直角和圆规，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，过点作于点；②连接，，交于点，利用直角三角板的直角过点作于点，并延长，交于点． 乙组：如图2，连接，在射线上利用圆规作相等的线段，和，连接…… 丙组：如图3，只利用直角三角板便可完成作图，①分别以点A，B为顶点，为底边作角的等腰；②…… 【问题探究】根据上述内容，完成下列探究问题． (1)如图1，求证：为的中点． (2)如图1，求证：． (3)根据乙组的思路在图2中补全图形，边的三等分点从左至右分别为点，．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (4)根据丙组的思路在图3中补全图形，求作一点，使得，请写明作图过程，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）连接，根据作图得到，三线合一得到，即可； （2）证明，得到，证明，得到，进而推出，即可； （3）利用尺规作，即可； （4）利用角过点作于点，交于点，则点即为所求，根据含30度角的直角三角形的性质，结合等角对等边得到，即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接． 由作图可知，， ， 为的中点． （2）证明：∵四边形是矩形， ，，． ， ∴， ． ， ， ∴四边形是矩形， ． ， ∴， ， ， ，即． （3）解：如图2，点即为所求． （4）解：如图3，利用角过点作于点，交于点，则点即为所求． 理由：， ． ， ， ． 中，， ∴， ， ． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $