第十三章 三角形 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕三角形的概念、要素、分类及等腰与等边三角形关系展开，通过生活中屋顶支架、自行车车架等实例导入，衔接小学初步认识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于采用合作探究（如观察边的特点分类）、即时测评（图形辨析）和典例讲解，培养几何直观（数学眼光）与推理意识（数学思维）。如按边分类引导学生自主发现三边关系，小结环节促进知识结构化，帮助学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径。

第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的性质和判定 问题：1.一副直角三角板，其两锐角的度数之和分别是多少？ 30°+60°=90° 45°+45°=90° 情境引入 2.任意一个直角三角形，两个锐角之间有怎样的数量关系？ 直角三角形的两个锐角互余 猜想：直角三角形的两个锐角互余. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°求证：∠A+∠B=90° A B C 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° ∵ ∠C=90° ∴ ∠A+∠B=180°-∠C=180°- 90°=90° 直角三角形的性质定理 直角三角形的两个锐角互余 几何语言 在Rt△ABC中， ∵ ∠C=90° ∴ ∠A+∠B=90° 合作探究 直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC可以写成Rt △ ABC. 1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　) A．120° B．90° 　 C．60° 　 D．30° 2.如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝( 　)度 A．70 B．65 C．60 D．55 A 即时测评 例 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小. A B C D E 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90°-∠AEC. 在Rt△BDE中， ∠DBE=90°-∠BED. ∵∠AEC=∠BED, ∴∠CAE=∠DBE. 典例讲解 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 即时测评 猜一猜：如果已知两个角的度数和等于900，它是什么三角形？ 有两个角互余的三角形是直角三角形 如何证明 ? 已知：△ABC中，∠A+∠B=90°求证：∠C=90° 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° ∵ ∠A+∠B=90° ∴ ∠C=180°-（∠A+∠B ）=180°-90°=90° A B C ∴ △ABC是直角三角形 在△ABC中， ∵ ∠A+∠B=90° ∴ ∠C=90° 几何语言 合作探究 直角三角形的判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1=∠2， △ADE是直角三角形吗？为什么？ 解：△ADE是直角三角形． 理由如下：在Rt△ABC中，∠C＝90° ∴∠A＋∠2＝90° ∵∠1＝∠2 ∴∠A＋∠1＝90° 在△ADE中 ∠ADE＝180°－(∠A＋∠1)＝90° ∴△ADE是直角三角形 即时测评 能力提升 2.将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 1.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 　 三角形． 小 结 本节课我们学习了哪些内容？用到了哪些数学思想和方法？你还有哪些疑惑？ 布置作业： 基础性作业:习题13.3第4，10题. 1 探究性作业:搜索资料，寻找更多直角三角形的性质和证明方法. 2 $ AB BC CA A B C ∠A 记作△ABC ∠B ∠C 情境引入 1.填空 如右图： 线段 ， ， 是三角形的边； 点 ， ， 是三角形的顶点； ， ， 是三角形的角. 2.三角形的分类 如图： 锐角 三角形 直角 三角形 钝角 三角形 按角分 三边都不相等的三角形 等腰 三角形 等边 三角形 按边分 3.生活里起重机、钢架桥都大量使用三角形结构，这里藏着和三角形边长相关的哪些数学知识呢？ 13.2.1 三角形的边 第十三章 三角形 探究 ：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线 路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么 关系？能证明你的结论吗？ 合作探究 有两条路线可以选择： （1）由点B到点C，即线段BC （2）由点B经点A再到点C，即线段BA＋AC 在从点B到点C的线路中，由点B先到点A再到点C的线路，比由点B直接到点C的线路长，即BA+AC>BC，这利用了在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论. 能证明你的结论吗？ 对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得 AB+AC>BC. ① 同理有 AC+BC>AB， ② AB+BC>AC. ③ 这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边. 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可 以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？ 能证明你的结论吗？ 合作探究 进一步，由不等式②③，移项可得 BC>AB-AC. BC>AC-AB. 这就是说，三角形两边的差小于第三边. AC+BC>AB ② AB+BC>AC ③ 合作探究 探究 ：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线 路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么 关系？能证明你的结论吗？ 三角形三边间的关系 三角形两边的和大于第三边， 三角形两边的差小于第三边. 归纳总结 思考：上面的结论表明了三角形三边之间的关系. 反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 合作探究 一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 例：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 解:(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm． x ＋2x＋2x ＝18． 解得 x ＝3.6. 所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm． (2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. ①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则4＋2x＝18． 解得 x＝7. ②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则2×4＋y＝18. 解得 y ＝10. 因为4＋4＜10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长为4 的等腰三角形．由以上讨论可知，可以围成底边长为4 cm的等腰三角形． 典例讲解 归纳总结：解决等腰三角形边长问题的解题关键 一要分清：明确已知线段是等腰三角形的腰还是底边； 二要分类：若题干未指明已知边为腰或底，分两种情况讨论计算； 三要验证：求出边长后，利用三角形三边关系检验，舍去不符合条件的解. 即时测评 1.下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么? (1)3，4，8； (2)5，6，11； (3)5，6，10. 答：（1）不能．因为3 + 4<8，不符合三角形两边的和大于第三边. （2）不能．因为5 + 6 =11，不符合三角形两边的和大于第三边. （3）能．因为5 + 6＞10，10 + 6＞5，10 + 5＞6，符合三角形两边的和大于第三边. 2.一根4dm长的木条和两根1dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根4dm长的木条和一根1dm长的木条呢? 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如右图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？ 合作探究 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 可以发现，三角形木架的形状不会改变. 三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子. 起重机 钢架桥 三角形是具有稳定性的图形. 你能再举些例子吗？ （2. 2. 3. 能力提升 小 结 本节课我们学习了哪些内容？用到了哪些数学思想和方法？你还有哪些疑惑？ 布置作业： 必做题： 教材第9页习题13.2第1题、第2题 选做题： 教材第10页习题13.1第5题、第6题 $ 问题：一块三角形面包，如何经过一个顶点，将其分成面积相等的两块面包？ 情境引入 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 第十三章 三角形 三角形的中线的定义： ∵AD是△ ABC的 中线 ∴BD = CD = BC 1 2 A B C D 一个三角形有几条中线?有什么特点？ (三条) 如图，D为BC的中点，线段AD就是ΔABC的BC边上的中线。 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线. 特点：（1）三角形的中线是一条线段； （2）三角形的中线的一端平分这条边。 合作探究 动手试一试 请画出这个三角形的另外两条中线，你发现了什么？ 三角形的三条中线交于一点． A B C D E F 称之为三角形的重心． 中点 中点 中点 合作探究 三角形的角平分线的定义： ∵ AD是 △ ABC的 角平分线 ∠BAD =∠CAD = ∠BAC 1 2 思考: 三角形的角平分线与角的平分线有什么不同？ 如图∠BAC的平分线交BC于点D,线段AD就是△ABC的一条角平分线. 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （1）三角形的角平分线是一条线段； （2）三角形的角平分线仍具有角平分线的基本性质。 A B C D 合作探究 动手试一试 请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？ 三角形的三条角平分线交于一点． A B C D E F 一个三角形有几条角平分线？ (三条) 称之为三角形的内心． 合作探究 A 从三角形的一个顶点 B C 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形这边的高， 简称三角形的高。 任意画一个锐角△ABC, 和垂足的字母. A B C 请你画出BC边上的高. 注意：必须标明垂直的记号 D 三角形高的符号语言： ∴∠ BDA = ∠ CDA =90° ∵AD是△ABC的高. D 三角形的高 合作探究 如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（ ） A． B． C． D． D 即时测评 例1 如图，过△ABC的顶点A分别画出它的中线、角平分线和高. AD即为所求作的中线. AE即为所求作的角平分线. AF即为所求作的高线. 典例讲解 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边. 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上. 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 合作探究 填空题： （1） (1)如图(1),AD, BE, CF是△ABC的三条中线,则BD= , AE= , AB= 2 . （2） (2)如图(2),AD, BE, CF是△ABC的三条角平分线,则∠1= ,∠3= , ∠ABC= 2 . 典例讲解 问题：一块三角形面包，如何经过一个顶点，将其分成面积相等的两块面包？ D E 解决实际 能力提升 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，CD AB,AC=3cm,BC=4cm, AB=5cm,则CD的长为 . 2.如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． （1） （2） 小 结 本节课我们学习了哪些内容？用到了哪些数学思想和方法？你还有哪些疑惑？ 布置作业： 2.探究性作业：习题13.2 第8题. 1.必做题：习题13.2 第3题，第7题. $第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形内角和定理 我们在小学通过度量或剪拼，已经知道任意一个三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？ 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 情境引入 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 一、三角形的内角和定理的证明 合作探究 验证结论 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证明：过点A作直线l，使l∥BC， ∵l∥BC ∴∠2=∠B. (两直线平行,内错角相等) 同理∠3=∠C. ∵∠1，∠2，∠3组成平角, ∴∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）. ∴∠1+∠B+∠C=180°（等量代换）. 合作探究 证明2： 过点C作AB的平行线l，作射线BC. ∵l∥AB， ∴∠4=∠1，(两直线平行，内错角相等) ∠5=∠2.(两直线平行，同位角相等) ∵∠4+∠5+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°.(等量代换) 已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， 求证：∠1+∠2+∠3=180°. 合作探究 证明3： 过点A作BC的平行线AD. ∵AD∥BC， ∴∠4=∠2，(两直线平行，内错角相等) ∠DAC+∠3=180°，(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠1+∠4+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°. 已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， 求证：∠1+∠2+∠3=180°. 合作探究 证明4：过点D作AC的平行线交AB于点E，过点D作AB的平行线交AC于点F. ∵DF∥AB， ∴∠4=∠2，∠1=∠DFC，(两直线平行，同位角相等.) ∵DE∥AC， ∠5=∠3，(两直线平行，同位角相等) ∠6=∠DFC，(两直线平行，内错角相等) ∴∠6=∠1. ∵∠6+∠4+∠5=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°. 已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， 求证：∠1+∠2+∠3=180°. 合作探究 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°. 归纳总结 例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC的角平分线. 求∠ADB的度数. 典例讲解 解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD = ∠BAC = 20°. 在△ABD中， ∠ADB = 180°-∠B-∠BAD = 180°-75°-20° = 85°. 例2 如图是ABC三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 解决实际 解：由题意得：AD∥BE，∠DAC = 50°，∠DAB = 80°，∠CBE = 40°， ∴∠CAB = ∠DAB-∠DAC = 80°-50° = 30°. ∵AD∥BE， ∴∠DAB+∠ABE = 180°， ∴∠ABE = 180°-∠DAB = 180°-80° = 100°， ∴∠ABC = ∠ABE-∠CBE = 100°-40° = 60°. 在△ABC中， ∠ACB = 180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-60°=90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 280 ° 即时测评 1.如图1，从A处观测C处时的仰角∠CAD = 30°，从B处观测C处时的仰角∠CBD = 45°. 则从C处观测A，B两处时的视角∠ACB 为 °. 2.如图2，在△ABC中，∠A = 40°，则∠B+∠C+∠ADE+∠AED = °. 第1题图 第2题图 能力提升 1.如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°， 则∠C＝ °． 2.如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M +∠N的度数是 . 第1题图 第2题图 小 结 本节课我们学习了哪些内容？用到了哪些数学思想和方法？你还有哪些疑惑？ 布置作业： 基础性作业 习题13.3第1，3，7题. 1 探究式作业 搜索资料，寻找更多三角形内角和定理的证明方法. 2 $ 问题：暑假，果果到爷爷的农田中帮忙，其中有一块田是三角形形状的.果果沿着这块三角形农田周围的小路，按逆时针行走.小明每从AC小路到AB小路时，身体转过的角度是多少？ 1 A B C 40° 70° D 由三角形内角和易得 ∠BAC = 180°－∠ABC－∠ACB = 70°， 所以∠BAD = 180°－∠BAC= 110°. 像∠BAD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质. 情境引入 第十三章 三角形 13.3.2 三角形的外角 ∠ACD 是△ABC 的一个外角. C B A D ② 角的一边是三角形的一边 ① 角的顶点是三角形的顶点 ③ 另一边是三角形中一边的延长线 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 合作探究 三角形的外角应具备的条件 F A B C D E 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEC 的外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 即时测评 思考 三角形的一个外角和它相邻的内角有何数量关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形的一个外角和它不相邻的两个内角有何数量关系？ ∠BCD =∠A+∠B . ∠BCD 与∠ACB 互补. 你会证明这个结论吗？ 合作探究 三角形的外角 A C B D 不相邻的内角 证法一：由三角形的内角和可知 ∠A+∠B+∠ACB=180° 由邻补角的定义可知 ∠BCD +∠ACB=180° ∴∠BCD =∠A+∠B . 如图，在△ABC中，∠BCD是△ABC的一个外角． 求证：∠BCD=∠A+∠B. ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. 合作探究 证法二： D A B C 1 2 E 过 C 作 CE∥AB， 则∠1 = ∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A(两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. 如图，在△ABC中，∠BCD是△ABC的一个外角． 求证：∠BCD=∠A+∠B. 合作探究 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 归纳总结 三角形的外角的性质 推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 应用格式： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. 例6 思考三角形的外角和其不相邻内角的数量关系. 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 典例讲解 ∠1= . ∠2= . ∠1= . ∠2= . ∠1= . ∠2= . 说出下列各图形中∠1和∠2的度数： 40° 140° 110° 70° 50° 140° 即时测评 ∠1= . ∠2= . ∠1= . ∠2= . ∠1= . ∠2= . 说出下列各图形中∠1和∠2的度数： 70° 55° 80° 40° 60° 30° 即时测评 能力提升 1.如图，AB∥CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F 等于 ( ) 2.如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = . B A C P N M D E F A. 26° B. 63° C. 37° D. 60° F A B E C D 小 结 本节课我们学习了哪些内容？用到了哪些数学思想和方法？你还有哪些疑惑？ 布置作业： 2.探究式作业 习题13.3第11题. 1.基础性作业 习题13.3第5，6，8题. $第13章 三角形 数学活动 1.什么是三角形？什么是等边三角形？ 2.有一些等长的磁力棒，如图所示，用三根磁力棒最多能组成几个等边三角形？ 1个 情境引入 活动1 搭等边三角形 1.现在有6根磁力棒，最多能组成多少个等边三角形？动手试一试，并与同学们交流，注意可以考虑立体图形. 4个 2.现在有9根磁力棒，最多能组成多少个等边三角形？动手试一试，并与同学们交流. 7个 新知初探 活动2 多边形的三角剖分 三条线段首尾顺次相接组成三角形，类似地，多条线段首尾顺次相接就组成 问题1 三角形与多边形是什么关系？ 三角形是多边形的一种，是最简单的多边形. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分. 多边形. 新知深探 问题2 如图所示，是一个七边形，你能对它进行三角剖分吗？ 能分成多少个三角形? 如图所示: 问题3 分别将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分， 分别能剖分出多少个三角形？ n边形呢？ 归纳总结：对n边形进行三角剖分，能剖分出(n-2)个三角形. 共有2种剖分方法. 问题4 将一个四边形进行三角剖分，你有多少种剖分方法？ 分别画一下. 五边形呢？ 共有5种剖分方法. 1751年，瑞士数学家欧拉(Euler.1707--1783)向德国—俄国数学家哥德巴赫(Goldbach，1690-1764)提出了一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数(Dn)的公式。后来数学家发现并证明: 欧拉 例如:四边形的三角剖分方法数为D4,因为 ,所以D4=D3×2=2,所以四边形的三角剖分方法数为2. 问题5 你能利用上述公式，验证你前面得到的结果吗？写出你的验证过程. 问题6 请你利用上述公式，计算六边形、七边形的三角剖分方 法数. 1.用9根磁力棒来组成三角形，最多能组成多少个等边三角形（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 D C 即时测评 3.根据n边形的不同三角剖分方法数(Dn)的公式: 请计算八边形的三角剖分方法数. 2.把一个n边形进行三角剖分，则这个n边形分割成6个三角形,则n的值是(　 ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 小 结 本节课我们学习了哪些内容？用到了哪些数学思想和方法？你还有哪些疑惑？ 布置作业：数学活动小试卷 $ 情境引入 同学们，小学时我们已经见过很多由三角形构成的建筑、生活物品，初步认识过三角形．生活里屋顶支架、自行车车架、三角尺都藏着三角形，它是我们几何学习里十分基础的图形． 13.1 三角形的概念 第十三章 三角形 ∠A ，∠B ，∠C是三角形的角 组成三角形的线段叫作三角形的边. 线段AB，BC，AC是三角形的边 相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点. 点A，B，C 是三角形的顶点 相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 合作探究 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形. 顶点是A、B、C的三角形，记作：△ABC. △ABC的三边有时也用a，b，c来表示. 如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 一位同学用三根木棒拼成的图形如下，则符合三角形概念的是（ ） D 即时测评 探究:三角形的分类：三角形按照三个角的大小都有哪些三角形呢？ 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 合作探究 如何按照边的关系对三角形进行分类呢？ 图中三个三角形的边的长度各有什么特点？ ① ② ③ 三边互不相等 有两条边相等 三条边都相等 合作探究 腰 腰 顶角 底角 底角 等腰三角形 底边 其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角． A C 有两边相等的三角形叫作等腰三角形. 三边都相等的三角形叫作等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形. 等边三角形 A 合作探究 议一议：如何按照边的关系对三角形进行分类呢？ 三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等 的等腰三角形 等边三角形 三边都 不相等 的三角形 等腰 三角形 等边 三角形 三角形 按边分类 合作探究 例：如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD=AD=DC=AC. (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以AB为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形 解：(1)以点C为顶点的三角形是△ABC，△ADC; (2)以AB为边的三角形是△ABC，△ABD; (3)等腰三角形是△ABD，△ADC；等边三角形是△ADC. 典例讲解 1.如图，在△ABC中，AB=BC=CA，点O在△ABC内，OA=OC=OB，指出图中的等边三角形和等腰三角形 解：图中等边三角形是△ABC， 等腰三角形是△ABC ,△AOB，△BOC,△AOC 即时测评 2.如图,在△ABC中, ∠BAC是直角, AD⊥BC,垂足为D,点E在线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 若△ABC的周长是 13 cm，边 AB 与 AC 的长的和为 8 cm，边 AC 与 AB 的长的差为 2 cm，则△ABC 按边分类是____________. 等腰三角形 能力提升 小 结 本节课我们学习了哪些内容？用到了哪些数学思想和方法？你还有哪些疑惑？ 布置作业： 必做题： 教材第4页习题13.1第1题、第2题 选做题： 教材第4页习题13.1第3题、第4题 $温馨提示： 杂技演员的表演是经过长期系统的训练才能获得成功的，所以我们不能轻易去模仿 情境引入 杂技演员走钢丝时，会一根长棒来调整身体重心，保持平衡，避免掉落。这展示了重心位置对身体平衡的重要性。 工程中使用的许多物体具有均匀的质地，如工程中常用的工字钢、角钢、槽钢等型钢. 你能通过数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心吗？ 接下来，我们一起来探究解决这个问题. 工字钢 角钢 槽钢 情境引入 第十三章 三角形 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 1.懂得重心的概念，知道匀质薄板的重心是重力等效作用点. 2.经历验证探究活动，知道规则匀质薄板的重心位置是它的几何中心. 3.经历实验操作，能用悬挂法确定匀质薄板重心位置. 学习目标 答：根据重心的性质，物体在重心处受力可保持平衡. 对于匀质三角形薄板，其质量均匀分布，其重心就是三角形的重心（三条中线交点）. 我们知道，三角形的三条中线的交点就是三角形的重心，大家试试以下实验： 初识重心 用一根手指或一个支架顶住一个三角形匀质薄板的重心，它能保持平衡吗？三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系？ 重心定义： 从效果看，物体各部分重力可认为集中作用在一点，此点即物体重心。它是重力等效作用点。 初识重心 举例说明： 一把长的尺子，它的重心就在它两条对角线的交点的位置上，大家拿用手指在这个位置托举看看，看看尺子能否平衡。 例如，比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向； 杂技演员在表演转盘子时，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动； 等等. 物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要. 生活中重心应用 在工程中，物体重心的位置也有重要的应用. 例如，水坝、挡土墙等建筑的重心必须在一定的范围内，否则可能会导致坍塌； 当飞机的重心位于合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机具有良好的操纵性能； 为了达到预期的搅拌效果，混凝土搅拌机转动部分的重心会设计得偏离转轴一定的距离；等等. 生活中重心应用 认识匀质规则图形重心 怎样确定其他常见的几何图形（如线段、正方形、长方形、平行四边形等）的重心位置？这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗？ 线段：中点是重心. 共同点：规则匀质图形重心在其几何中心 深探重心 正方形、长方形、平行四边形：重心是对角线交点 揭开不规则薄板重心之谜：悬挂法 ■ 实验原理： 依据二力平衡，薄板静止时，重力与拉力共线，重心在过悬挂点的竖直线上。 深探重心 ※ 通过悬挂法，可找到不规则薄板重心 不规则薄板的重心在两条铅锤线的交点上 步骤二：换另一个不在L₁上的点B，重复上述操作，画出另一条铅垂线L₂。 推理得出结论：重心既在L₁上，又在L₂上，因此两条直线的交点O就是该薄板的重心。 ■ 操作步骤： 步骤一：在薄板上任取一点A，用图钉固定在铁架台上，使纸板能自由转动。待其静止后，用重垂线沿着悬线方向在纸板上画出一条直线L₁。 思考：是否物体的重心都在物体上呢？ 寻找重心方法 ■ 悬挂法： 在薄板边缘选两点，分别悬挂薄板，沿铅垂线画直线，两线交点即重心。如不规则硬纸板重心确定。 归纳总结 ■ 几何法： 质量分布均匀、形状规则物体，重心在几何中心。如正方形、圆形等。 3.用悬挂法至少用几次就能找到重心（ ） A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 即时测评 1.正方形的重心在 的交点上. 2.对于不规则薄板状物体，我们可以用 法来确定它的重心位置. 4.如图，在平面直角坐标中，正方形OABC的边长是4，则正方形OABC的重心的坐标是 . A C o B 5.如图，根据多边形ABCDEF在平面直角坐标系中的位置,可以确定这个多边形的重心坐标为 . 小 结 本节课我们学习了哪些内容？用到了哪些数学思想和方法？你还有哪些疑惑？ 布置作业：数学活动小测试 Lavf60.16.100 $