第五章 一元一次方程全章高频重点题型突破（三大高频+六大重难题型，专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程全章核心，按“概念-性质-解法-应用”逻辑分层突破，覆盖基础与重难题型，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|3类基础题型（概念/性质/解法）|侧重概念辨析与基本运算，如方程解的判断、等式变形|从概念生成到性质应用，构建解方程的基础逻辑链| |核心提升|6类应用题型（配套/工程/利润等）|突出实际问题建模，如方案优化、积分问题|以方程为工具，实现从数学思维到解决现实问题的转化| |题型专练|选择/填空/解答题综合|覆盖高频考点与易错点，如古代数学问题、分段计费|整合知识体系，强化知识间的内在联系与应用迁移|

第五章 一元一次方程全章高频重点题型突破 ◆题型1 方程与一元一次方程的概念 1.【答案】 ①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 2.【答案】 【分析】根据x与6的差的2倍，即为，x的3倍，即为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：依题意得，． 3.【答案】不是 【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别代入方程的左右两边计算，即可判断答案． 【详解】解：当时， 左边， 右边， 左边右边， 不是方程的解． 故答案为：不是． 4.【答案】2022 【分析】把方程的解代入原方程，经过变形得到的整数值，再整体代入代数式求值． 【详解】解：将代入方程： ， ， 移项：， ． 5.【答案】．1 【详解】解：把代入得：， 解得：． 6.【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解：是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. 7.【答案】2 【分析】本题先对已知等式变形，得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解： 可得： 等式两边同乘得： 将代入得： 原式． 8.【答案】 【详解】解： ∴ 9.【答案】B 【分析】将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于x的一元一次方程的解为1， ∴ 解得． 10.【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的同解问题，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．求出方程的解，代入即可求出m的值． 【详解】解：解方程得， ∵方程与的解相同， ∴将代入，得：， 解得：， 故选：A． ◆题型2 等式的性质 11. 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 12. 【答案】C 【详解】解：A． 由，移项得，故A错误． B． 由，两边同时加1得，故B错误． C． 由，系数化为1得，故C正确． D． 由，两边同时乘6去分母得，故D错误． ◆题型3 解一元一次方程 13. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：移项合并得， 解得； （2）解：去括号得， 移项合并得， 解得． 14. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 15.【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：， ， ， ， ． ◆题型1 配套问题 1．【答案】安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套 【分析】设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名，利用非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可. 【详解】解：设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名．     根据题意，列方程得．         解得．                 ∴生产传统纹样银饰的工人数量：（名）．         答：安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套. ◆题型2 工程问题 2．【答案】(1)甲乙再合作10天才能把该工程完成 (2)完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元 【分析】此题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量乙队完成的工作量总工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总施工费用甲队每天的施工费用甲队工作的时间乙队每天的施工费用乙队工作的时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设甲乙再合作x天才能把该工程完成， 依题意，得：， 解得：． 答：甲乙再合作10天才能把该工程完成． （2）解：（元）． 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元． ◆题型3 利润与打折问题 3．【答案】该型号电脑每台进价为3500元 【分析】设该型号电脑每台进价为x元，根据等量关系式：售价进价利润，列出方程，解之即可． 【详解】解：设该型号电脑每台进价为x元，依题意，得 ， 解得：． 答：该型号电脑每台进价为3500元． ◆题型4 球赛积分问题 4．【答案】该班共胜4场比赛 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为是解题的关键． 个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余个班级比赛，根据总比赛场数为，设赢了场，总分数为即可列出方程，即可解题． 【详解】解：个班进行友谊赛，也就是每个班要和其余个班比赛， 所以设胜了场，则平了场． 由题意，得， 解得． 答：该班共胜4场比赛． ◆题型5 方案选择与最优化问题 5．【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． ◆题型6 其他关于一元一次方程的实际问题 6．【答案】(1)元 (2) (3)270度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，当时，结合用电收费标准方式进行列式化简，即可作答． （3）先整理得，设11月份用电量为x度，且，依题意，得，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， ∴小林家4月份应付的电费为元； （2）解：当时，则电费为（元）； （3）解：依题意，， 设11月份用电量为x度，且； 由（2）得当时，则电费为元， 依题意，得， 解得． 7．【答案】这批住店的客人共人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设间房有x间，根据每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；每一间客房住9个人，就会多出来一间房，列方程求解即可． 【详解】解：设间房有x间，根据题意得， 解得， 则（人）． 答：这批住店的客人共人． 8．【答案】该快递分派站共有6名快递员 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送12件，则还剩5件；若每个快递员派送14件，则还差7件”，得出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该分派站有x名快递员， 由题意得：， 解得：． 答：该快递分派站共有6名快递员． 9．【答案】(1)千米/小时 (2)千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设船在静水中的速度为千米小时，水流速度已知为千米小时，根据顺流和逆流的路程相等列出方程，求解， （2）根据（1）的结论，列出算式，计算即可求解． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为千米/小时，水流速度千米/小时，根据题意得， ． 解得． 答：这艘船在平静湖水中的平均速度是12千米/小时． （2）解：甲乙两港口之间的路程为． 答：甲乙两港口之间的路程是40.5千米． 1．D 2．A 3．B 4．D 5. B 6. B 7. A 8. 2027 9. 10. 11. 1 12. 160 13. 14. 660 15. 7 16; (1) (2) (3) 17. 分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 18. 该班胜了7场比赛 19. (1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 20. (1)用水18吨，水费是54元；用水25吨，水费是80元 (2)水费用代数式表示为元 (3)该月小红家用了30吨水 21. 参加种树共有9人 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 方程与一元一次方程的概念 题型2 等式的性质 题型3 解一元一次方程 核心提升：重难题型归纳 题型1 配套问题 题型2 工程问题 题型3 利润与打折问题 题型4 球赛积分问题 题型5 方案选择与最优化问题 题型6 其他关于一元一次方程的实际问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 方程与一元一次方程的概念 1．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 2．x与6的差的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为______． 3．___________（填“是”或“不是”）方程的解 4．已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 5．已知是关于的方程的解，则的值是_____． 6．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 7．若，则代数式的值为_________． 8．把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 9．关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 10．已知关于的方程的解和的解相同，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 ◆题型2 等式的性质 11．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 12．下列解方程过程中，变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 ◆题型3 解一元一次方程 13．解方程 (1)； (2)． 14．解下列方程． (1)； (2)． 15．解下列一元一次方程： (1) (2) ◆题型1 配套问题 1．某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ ◆题型2 工程问题 2．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ ◆题型3 利润与打折问题 3．某商场新进一批同型号的电脑，按进价提高标价，此商场为了促销，又对该电脑打8折销售，每台电脑仍可盈利420元，那么该型号电脑每台进价为多少元． ◆题型4 球赛积分问题 4．某校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1场比赛），胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？ ◆题型5 方案选择与最优化问题 5．某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ ◆题型6 其他关于一元一次方程的实际问题 6．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 7．我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，求这批住店的客人共多少人？ 8．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送12件，则还剩5件；若每个快递员派送14件，则还差7件．该快递分派站共有多少名快递员？（提示：此题只能用一元一次方程解决，其他方法不给分．） 9．在水流速度3千米/小时的条件下，一艘船从甲港口出发顺流而下到乙港口需要小时，当它从乙港口返回甲港口则需要小时． (1)当在平静的湖水中航行时，这艘船的平均速度是多少？ (2)求甲乙两港口之间的路程？ 一、选择题 1．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 5．代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 7．在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．关于的方程的一个解是，则____________． 9．已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 10．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 11．已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______． 12．已知某商品的成本为元，若以标价的七五折出售，仍可获利，则该商品的标价为________元． 13．某班共有50名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少10人．  若设女生人数为x，则可列方程为______．   14．顺丰快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每名快递员派送150件，还剩60件，若每名快递员派送170件，还差20件，那么该分派站现有包裹__________件． 15．《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2) ； (3) 17．某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 18．用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 19．暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 20．为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元． (1)如果小红家每月用水18吨，水费是多少？如果每月用水25吨，水费是多少？ (2)如果用字母表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该用怎样的代数式表示呢？ (3)如果某月小红家缴水费100元，那么该月小红家用了多少吨水？ 21．一些人共同种一批树苗，如果每人种10棵，那么剩下8棵树苗未种；如果每人种12棵，那么缺10棵树苗．求参加种树共有多少人？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 方程与一元一次方程的概念 题型2 等式的性质 题型3 解一元一次方程 核心提升：重难题型归纳 题型1 配套问题 题型2 工程问题 题型3 利润与打折问题 题型4 球赛积分问题 题型5 方案选择与最优化问题 题型6 其他关于一元一次方程的实际问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 方程与一元一次方程的概念 1．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】 ①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 2． x与6的差的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为______． 【答案】 【分析】根据x与6的差的2倍，即为，x的3倍，即为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：依题意得，． 3． ___________（填“是”或“不是”）方程的解. 【答案】不是 【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别代入方程的左右两边计算，即可判断答案． 【详解】解：当时， 左边， 右边， 左边右边， 不是方程的解． 故答案为：不是． 4． 已知是关于的方程的解，则式子的值为______． 【答案】2022 【分析】把方程的解代入原方程，经过变形得到的整数值，再整体代入代数式求值． 【详解】解：将代入方程： ， ， 移项：， ． 5． 已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【答案】．1 【详解】解：把代入得：， 解得：． 6． 已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解：是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. 7． 若，则代数式的值为_________． 【答案】2 【分析】本题先对已知等式变形，得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解： 可得： 等式两边同乘得： 将代入得： 原式． 8． 把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 【答案】 【详解】解： ∴ 9．关于x的一元一次方程的解为1，则a的值等于（     ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于x的一元一次方程的解为1， ∴ 解得． 10．已知关于的方程的解和的解相同，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的同解问题，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．求出方程的解，代入即可求出m的值． 【详解】解：解方程得， ∵方程与的解相同， ∴将代入，得：， 解得：， 故选：A． ◆题型2 等式的性质 11．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 12．下列解方程过程中，变形正确的是（     ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【详解】解：A． 由，移项得，故A错误． B． 由，两边同时加1得，故B错误． C． 由，系数化为1得，故C正确． D． 由，两边同时乘6去分母得，故D错误． ◆题型3 解一元一次方程 13．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：移项合并得， 解得； （2）解：去括号得， 移项合并得， 解得． 14．解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 15．解下列一元一次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：， ， ， ， ． ◆题型1 配套问题 1．某非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120名工人，每个工人一天能制作50个漆器首饰盒或200枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套 【分析】设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名，利用非遗国风礼盒套装，由1个漆器首饰盒和8枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可. 【详解】解：设安排名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有名．     根据题意，列方程得．         解得．                 ∴生产传统纹样银饰的工人数量：（名）．         答：安排40名工人生产漆器首饰盒，80名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套. ◆题型2 工程问题 2．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 【答案】(1)甲乙再合作10天才能把该工程完成 (2)完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元 【分析】此题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量乙队完成的工作量总工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总施工费用甲队每天的施工费用甲队工作的时间乙队每天的施工费用乙队工作的时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设甲乙再合作x天才能把该工程完成， 依题意，得：， 解得：． 答：甲乙再合作10天才能把该工程完成． （2）解：（元）． 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元． ◆题型3 利润与打折问题 3．某商场新进一批同型号的电脑，按进价提高标价，此商场为了促销，又对该电脑打8折销售，每台电脑仍可盈利420元，那么该型号电脑每台进价为多少元． 【答案】该型号电脑每台进价为3500元 【分析】设该型号电脑每台进价为x元，根据等量关系式：售价进价利润，列出方程，解之即可． 【详解】解：设该型号电脑每台进价为x元，依题意，得 ， 解得：． 答：该型号电脑每台进价为3500元． ◆题型4 球赛积分问题 4．某校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1场比赛），胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？ 【答案】该班共胜4场比赛 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为是解题的关键． 个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余个班级比赛，根据总比赛场数为，设赢了场，总分数为即可列出方程，即可解题． 【详解】解：个班进行友谊赛，也就是每个班要和其余个班比赛， 所以设胜了场，则平了场． 由题意，得， 解得． 答：该班共胜4场比赛． ◆题型5 方案选择与最优化问题 5．某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． ◆题型6 其他关于一元一次方程的实际问题 6．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过200度 超过200度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电160度，则小林家4月份应付的电费为多少元？ (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费； (3)小林家11月份交付电费156元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】(1)元 (2) (3)270度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，当时，结合用电收费标准方式进行列式化简，即可作答． （3）先整理得，设11月份用电量为x度，且，依题意，得，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， ∴小林家4月份应付的电费为元； （2）解：当时，则电费为（元）； （3）解：依题意，， 设11月份用电量为x度，且； 由（2）得当时，则电费为元， 依题意，得， 解得． 7． 我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，求这批住店的客人共多少人？ 【答案】这批住店的客人共人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设间房有x间，根据每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；每一间客房住9个人，就会多出来一间房，列方程求解即可． 【详解】解：设间房有x间，根据题意得， 解得， 则（人）． 答：这批住店的客人共人． 8． 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送12件，则还剩5件；若每个快递员派送14件，则还差7件．该快递分派站共有多少名快递员？（提示：此题只能用一元一次方程解决，其他方法不给分．） 【答案】该快递分派站共有6名快递员 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送12件，则还剩5件；若每个快递员派送14件，则还差7件”，得出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该分派站有x名快递员， 由题意得：， 解得：． 答：该快递分派站共有6名快递员． 9．在水流速度3千米/小时的条件下，一艘船从甲港口出发顺流而下到乙港口需要小时，当它从乙港口返回甲港口则需要小时． (1)当在平静的湖水中航行时，这艘船的平均速度是多少？ (2)求甲乙两港口之间的路程？ 【答案】(1)千米/小时 (2)千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设船在静水中的速度为千米小时，水流速度已知为千米小时，根据顺流和逆流的路程相等列出方程，求解， （2）根据（1）的结论，列出算式，计算即可求解． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为千米/小时，水流速度千米/小时，根据题意得， ． 解得． 答：这艘船在平静湖水中的平均速度是12千米/小时． （2）解：甲乙两港口之间的路程为． 答：甲乙两港口之间的路程是40.5千米． 一、选择题 1．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】．D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 2．下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A． 个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①不是等式，故不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③含有和两个未知数，不是一元一次方程； ④中未知数的最高次数为，不是一元一次方程． 综上所述，只有②是一元一次方程，共1个． 3．下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】根据等式性质对各选项的变形逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A 、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项B、∵，等式两边同时减，得，原变形正确，符合题意； 选项C、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项D、∵，等式两边同时乘，得，原变形错误，不符合题意； 4．解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元一次方程的去分母步骤，去分母时需将方程两边同乘所有分母的最小公倍数，常数项也需要乘，本题分母为2和3，计算后即可得到结果． 【详解】解：∵方程的分母是和，最小公倍数为， ∴方程两边同时乘以去分母，得：． 5．代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到的值. 【详解】解： 代数式与的值互为相反数， ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 系数化为得 . 6．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，列出条件求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴的值为4． 7．在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可． 【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为， 铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤文， 购买铜的花费为文，购买锡的花费为文， 贯文，总花费为贯，则总花费为文， 根据“总花费购买铜的花费购买锡的花费”可列方程：． 二、填空题 8．关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 9． 已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， 移项，得， 等式两边同乘，得． 10．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 11.已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______． 【答案】 【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于的方程，从而可以求出的值． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， ∵方程和方程有相同的解， ∴， 解得：． 12.已知某商品的成本为元，若以标价的七五折出售，仍可获利，则该商品的标价为________元． 【答案】 【分析】设该商品的标价为元，根据利润售价成本，结合获利，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该商品的标价为元， 根据题意可列方程：， 整理得：，解得：． 13.某班共有50名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少10人．  若设女生人数为x，则可列方程为______．   【答案】 【分析】设女生人数为，根据题意表示出男生人数，再利用总人数为的等量关系列方程即可． 【详解】解：设女生人数为， ∵男生人数比女生人数的倍少，班级总共有学生人， ∴男生人数可表示为， ∵总人数等于男生人数加女生人数， ∴可列方程为． 14.顺丰快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每名快递员派送150件，还剩60件，若每名快递员派送170件，还差20件，那么该分派站现有包裹__________件． 【答案】660 【分析】根据包裹总数不变，结合两种不同派送情况的描述找到等量关系，列出方程组求解即可得到包裹总数． 【详解】解：设该分派站有名快递员，现有包裹件数分别可以表示为件和件， 根据题意得： ， 解得，， 所以，现有包裹件数分别可以表示为件． 15．《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则还差4钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人． 【答案】7 【分析】设共有x人，根据“若每人出8钱，则多3钱”得到物价为钱，根据“每人出7钱，则还差4钱”得到物价为钱，根据物价相同即可列出方程并求解． 【详解】解：设共有x人，根据题意，得 ， 解得． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 移项，得 ； 合并同类项，得 ； 系数化为1，得 ． （2）解： 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． （3）解： 去分母，两边同乘分母的最小公倍数15，得 ； 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． 17． 某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． 18．用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 【答案】该班胜了7场比赛 【分析】设该班胜了x场比赛，根据积分规则列方程求解即可． 【详解】解：设该班胜了x场比赛，则平场，依题意得： 解得： 答：该班胜了7场比赛． 19．暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 20．为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元． (1)如果小红家每月用水18吨，水费是多少？如果每月用水25吨，水费是多少？ (2)如果用字母表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该用怎样的代数式表示呢？ (3)如果某月小红家缴水费100元，那么该月小红家用了多少吨水？ 【答案】(1)用水18吨，水费是54元；用水25吨，水费是80元 (2)水费用代数式表示为元 (3)该月小红家用了30吨水 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据不超过20吨，每吨水收费3元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费4元，进行列式计算，即可作答． （2）结合收费情况以及用字母表示小红家每月用水的吨数，进行分析列式化简，即可作答． （3）先得出，故设该月小红家用了吨水（），得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， （元）， 即用水18吨，水费是54元；用水25吨，水费是80元； （2）解：依题意，， ∴水费用代数式表示为元， （3）解：依题意，， ∴设该月小红家用了吨水（） ∴， 解得， 即该月小红家用了30吨水． 21． 一些人共同种一批树苗，如果每人种10棵，那么剩下8棵树苗未种；如果每人种12棵，那么缺10棵树苗．求参加种树共有多少人？ 【答案】参加种树共有9人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 设参加种树的共有人，根据题意得，每人种10棵时，树苗总数为；每人种12棵时，树苗总数为，进而列出方程求解即可． 【详解】解：设参加种树的共有人． 根据题意得，每人种10棵时，树苗总数为；每人种12棵时，树苗总数为． ∴ 解得， ∴参加种树共有9人． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $