第三单元 第04课时 工程问题 （分层作业）数学人教版六年级上册（新教材）

**基本信息** 小学数学工程问题同步练，通过基础达标、能力提升、思维拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的进阶，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|工程问题基本数量关系、简单合作应用|6道选择题，考查单位“1”设定及基本公式（如第1题两队合修剩余工作量计算）| |能力提升|效率和计算、含字母表示的合作时间|5道填空题，深化多量关系（如第10题甲、乙、丙合作求乙单独工作时间）| |思维拓展|综合情境应用、实际问题解决|6道解答题，结合具体数量与分数（如第16题中国结制作的三问递进）|

第三单元 第4课时 工程问题 分层作业 1.三个量之间的基本数量关系： （1）工作效率 × 工作时间 =（ ） （2）工作总量 ÷（ ）= 工作效率 （3）工作总量 ÷（ ）= 工作时间 2.两队合作完成一项工程，合作完工时间 = 工作总量 ÷（ ）。 3.当题目没有给出工程的具体总长度、总数量时，我们可以把全部工作总量看作（ ）。 1. 1．修一条路，甲队单独修需10天，乙队单独修需15天，两队合修3天后，剩下的由乙队单独修，还需（    ）天完成。 A．5 B．7.5 C．9 D．10 2．一条15千米长的公路，甲队单独修要10天完成，乙队单独修要8天完成。如果两队同时合修，几天能修完？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．王师傅和李师傅1小时都可以独立做4～5个零件。现在有416个零件，他俩同时做，（    ）小时才能保证做完。 A．52 B．38 C．47 D．104 4．一条水渠长600米，王伯伯每天能挖整条水渠的，李叔叔每天能挖整条水渠的。两人合作，几天能挖完这条水渠的一半。列式正确的是（    ）。 A． B． C． D．60÷（20＋30） 5．一条路长180千米，若甲队单独修12天修完；若乙队单独修15天修完。若两队合修，7天能修完吗？解决这个问题，四位同学想到了不同的解法。其中正确的有（    ）个。 欢欢：180÷（180÷12＋180÷15）    笑笑： 平平：    安安：1÷（180÷12＋180÷15） A．1 B．2 C．3 D．4 6．一堆沙子单独运，甲车要8天运完，乙车要10天运完。现在两车合运几天后剩下这堆沙子的？列式是（    ）。 A．B．C．D． 7．修建一段道路，甲施工队单独完成需要4天，乙施工队单独完成需要6天。两队一同施工，共需( )天完工。 8．一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做10天完成，两人合作( )天完成全工程的。 9．挖一条水渠，甲队每天能挖这条水渠的，乙队每天能挖这条水渠的。两队合作，( )天能挖完这条水渠。 10．一件工作，甲、乙两人合作12天完成，乙、丙两人合作15天完成，甲、丙两人合作要20天完成。那么乙一人独做需要( )天完成。 11．一项工程，甲队单独做要a小时，乙队单独做要b小时，两队合作多少小时可以完成这项工程？用式子表示：__________________________；如果a＝12、b＝8，两队合作_________小时可以完成这项工程。 12．一项工程，甲单独做需要8天，乙单独做需要12天，现在甲、乙合作，多少天能完成这项工程的？ 13．一份稿件，师傅单独打要12小时完成，徒弟2小时能完成这份稿件的。如果师徒两人合作，几小时可以完成这份稿件的？ 14．加工一批零件，王师傅单独加工，4天能完成总任务的，李师傅单独加工零件，3天能完成总任务的，如果两个人合作加工这批零件，需要多少天才能加工完这批零件？ 15．甲、乙两个工程队合修一条水渠，甲队每天修千米，乙队每天修的长度是甲队的。两队合修5天，一共修了多少千米？ 16．中国结是中国特有的手工编织工艺品。做一批中国结，甲单独做需要10小时完成，乙在相同的时间里只能做这批中国结的。 （1）算式：÷10表示的是（    ）。 （2）甲、乙合作，多少小时做完这批中国结？ （3）甲、乙合作2小时后，剩下的由甲单独做，还需要多少小时才能做完这批中国结？ 17．一条通村公路长50千米，甲工程队单独施工要用20天完成，乙工程队单独施工要用10天完成，如果两队合作，多少天能完成这条通村公路的？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 知识加油站答案 1.（1）工作总量 （2）工作时间 （3）工作效率 2. 两队工作效率之和 3. 单位 “1” 一、基础达标 1．B 【分析】将工作总量看作单位“1”，利用公式“工作效率工作总量工作时间”求出甲、乙两队的工作效率。先用甲、乙工效和乘合修天数计算出两队合修3天完成的工作量，再用单位“1”减去已完成的工作量得到剩余工作量，最后利用公式“工作时间工作总量工作效率”求出乙队完成剩余工作所需的时间。 【详解】 （天） 剩下的由乙队单独修，还需7.5天完成。 2．A 【分析】解决此类问题通常把工作总量看作单位“1”。根据题意，甲队单独修要10天完成，乙队单独修要8天完成，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是。两队合修的时间等于工作总量除以两队工作效率之和。虽然题干给出了公路的具体长度15千米，但在使用分数表示工作效率时，应将工作总量视为单位“1”，具体长度不影响合修天数的计算公式。 【详解】甲队的工作效率为： 乙队的工作效率为： 两队合修的工作效率之和为： 根据数量关系：工作时间＝工作总量÷工作效率之和 列式为：或 3．A 【分析】由题干可以知道，要保证做完416个零件，必须按两人最慢的效率计算（即每人每小时做4个零件），先用加法算出两人合作的最低效率，再用总零件数除以最低效率，得到多少小时才能保证做完。 【详解】4＋4＝8（个） 416÷8＝52（时） 4．B 【分析】把整条水渠的工作量看作单位“1”。首先求出两人合作的工作效率，即每天完成​＋​；再根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，计算完成水渠一半（即工作量）所需的时间，据此解答。 【详解】根据分析可以列式为： 5．B 【分析】工程问题的两种解题思路：一种是用具体的工作总量和工作效率来计算，另一种是把总工作量看作“1”，用分数效率来计算。 欢欢的解法：用总长度180千米除以两队的效率和（180÷12＋180÷15），算出实际合作天数，再和7天比较。 笑笑的解法：把总工作量看作“1”，分别计算出效率和，然后用工作量除以工作效率之和计算出时间，他在计算时间时用180÷（＋）误将工作总量当作180，应该和计算工作效率的工总量保持一致。 平平的解法：把总工作量看作“1”，用1÷（＋）算出合作天数。 安安的解法：安安把总工作量看作1，但计算效率时使用了基于总量180的具体数值，未转换为分数效率，导致不一致。 【详解】欢欢：180÷（180÷12＋180÷15） ＝180÷（15＋12） ＝180÷27 ＝（天） 笑笑：180÷（＋） ＝180÷（＋） ＝180÷ ＝180× ＝1200（天） 平平：1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 安安：1÷（180÷12＋180÷15） ＝1÷（15＋12） ＝1÷27 ＝（天） 因为，＝，所以，欢欢和平平解法正确，笑笑和安安的解法是错误的。 故答案为：B 【点睛】区分工程问题的两种解题思路，要么用具体工作量和效率，要么把总量看作“1”用分数效率，不能混淆。 6．C 【分析】将这堆沙子看作单位“1”，甲车要8天运完，则一天可以运这堆沙子的1÷8＝（即甲车的工作效率）；乙车要10天运完，则一天可以运这堆沙子的1÷10＝（即乙车的工作效率）。两车合运，则一天可以运这堆沙子的＋（即两车合运的工作效率）。最后剩下这堆沙子的，则需要运这堆沙子的1－。求现在两车合运几天后剩下这堆沙子的，根据时间＝完成的工作量÷总效率，代入数值计算即可。 【详解】根据分析： 1÷8＝ 1÷10＝ （1－）÷（＋） 一堆沙子单独运，甲车要8天运完，乙车要10天运完。现在两车合运几天后剩下这堆沙子的？列式是（1－）÷（＋）。 故答案为：C 2、 能力提升 7．//2.4 【分析】工作总量是单位“1”，用1除以甲队完成时间，可算得甲的效率，用1除以乙队完成时间，可算得乙的效率，最后用1除以两队效率和可算得合作时间。 【详解】， （天） 8． 【分析】把这项工程总量看作单位“1”， 根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，甲单独做8天完成，甲的工作效率是；乙单独做 10 天完成，乙的工作效率是。两人合作的工作效率之和是。要求完成全工程的需要多少天，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率之和”，用除以两人合作的工作效率之和即可求解。 【详解】 （天） 9．12 【分析】把这条水渠看作单位“1”，工作时间＝工作总量÷工作效率，用总量1除以两队的效率总和即可求出合作需要的时间。 【详解】1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝12（天） 10．20 【分析】先求出甲、乙、丙三人合作的工作效率，再通过三人合作的工作效率与甲丙合作的工作效率求出乙的工作效率，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率求出乙单独完成工作所需要的时间。 【详解】1÷12＝ 1÷15＝ 1÷20＝ ＋＋ ＝＋＋ ＝ ÷2＝ −＝ 1÷ ＝1×20 ＝20（天） 所以乙一人独做需要20天完成。 11． 4.8// 【分析】把这项工作的总量看作单位“1”，根据题意可知，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是。两队的合作时间＝工作总量÷合作的工作效率，再把a、b的值代入计算即可。 【详解】合作时间是。 当a＝12、b＝8时， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4.8（小时） 三、思维拓展 12． 天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位，先分别求出甲、乙的工作效率，相加得到合作工效，再用需要完成的工作量除以合作工效，即可求出所需时间。 【详解】 （天） 答：现在甲、乙合作天能完成这项工程的。 13．小时 【分析】把工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”求出师傅的工作效率和徒弟的工作效率，两人合作需要的时间＝两人合作的工作总量÷（师傅的工作效率＋徒弟的工作效率）。 【详解】师傅的工作效率：1÷12＝ 徒弟的工作效率：÷2 ＝× ＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（小时） 答：如果师徒两人合作，小时可以完成这份稿件的。 14．12天 【分析】分析题目，把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间分别用除法求出李师傅、王师傅单独做1天可以完成几分之几，再用加法求出李师傅和王师傅合作一天可以完成几分之几，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率用1除以李师傅和王师傅合作一天可以完成的分率即可解答。 【详解】÷4＝×＝ ÷3＝×＝ 1÷（＋） ＝1÷ ＝1×12 ＝12（天） 答：需要12天才能加工完这批零件。 15． 千米 【分析】已知甲队每天修千米，乙队每天修的长度是甲队的，把甲队每天修的长度看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出乙队每天修的长度为＝千米； 将甲队和乙队每天修的长度相加求出两队合修一天的长度，再乘5即可求出合修5天共修的长度。据此解答。 【详解】＝（千米） ＝ ＝ ＝（千米） 答：一共修了千米。 16．（1）乙的工作效率；（2）小时；（3）（小时） 【分析】（1）中，表示乙10小时完成的工作量，除以10即表示乙的工作效率； （2）将工作量看作单位“1”，则甲工作效率为，乙工作效率为，运用1除以两者工作效率之和得出答案； （3）将甲、乙两者效率之和乘2小时，再用总量1减去，再除以甲的工作效率，运用分数除法计算得出答案。 【详解】（1）算式：÷10表示的是乙的工作效率。 （2）将工作量看作单位“1”，则甲工作效率为，乙工作效率为，则： （小时） 答：甲、乙合作，小时能做完这批中国结。 （3） （小时） 答：还需要小时才能做完这批中国结。 17．4天 【分析】将工作总量设为单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可求得甲、乙的工作效率。两队合作，工作效率为二者工作效率之和。根据工作时间＝工作总量÷工作效率，代入即可求得多少天能完成这条通村公路的。 【详解】 ＝ ＝ ＝4（天） 答：4天能完成这条通村公路的。 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $