25.3 第1课时 数字问题与几何问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程解决实际问题”，核心涵盖数字问题（连续数、数位表示）与几何问题（矩形、正方形面积），通过知识点梳理搭建从设未知数到列方程的学习支架，衔接方程解法与实际应用场景。 其亮点在于分层训练（基础填空到综合拓展）与多解法示例（如矩形设元方法对比），注重解的实际意义检验，体现抽象能力、推理意识与模型观念。例如综合拓展题用篱笆围矩形，培养学生用数学语言表达现实问题，教师可借梯度练习提升教学效率，学生能发展解决实际问题的能力。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.3 第1课时　数字问题与几何问题 2026年8月3日 25.3 第1课时 数字问题与几何问题 专项练习题 知识点梳理：利用一元二次方程解决实际问题，核心是找准题目等量关系。数字问题常设未知数表示数位、连续数、乘积关系；几何问题以矩形、正方形面积、周长为核心，根据面积公式、边长关系列方程，求解后需检验结果是否符合实际意义，舍去负数、不合题意的解。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 两个连续自然数，若设较小数为$$x$$，则较大数为________，两数乘积为________。 2. 一个两位数，十位数字为$$a$$，个位数字为$$b$$，则这个两位数可表示为________。 3. 已知两个连续偶数的积为48，设较小偶数为$$x$$，列方程为________。 4. 矩形的长为$$x$$，宽比长少2，面积为48，列方程为________。 5. 正方形边长增加3cm，面积增加45cm²，设原边长为$$x$$，方程为________。 6. 两个数的和为10，积为21，这两个数分别是________和________。 7. 解决一元二次方程实际问题，最后必须________方程的解。 8. 长方形面积=________，是几何问题列方程的核心公式。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 两个连续整数的积为30，则这两个数是（） A. 5、6 B. -5、-6 C. 5、6或-5、-6 D. 无法确定 2. 一个两位数，个位与十位数字之和为7，数字之积为12，这个两位数是（） A. 34或43 B. 25或52 C. 16或61 D. 33 3. 矩形长比宽多4cm，面积为60cm²，则矩形宽为（） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 4. 正方形边长扩大2倍，面积增加27cm²，原正方形面积为（） A. 9cm² B. 12cm² C. 18cm² D. 27cm² 5. 下列说法错误的是（） A. 数字问题需准确表示数位数值 B. 几何问题解出的边长可为负数 C. 实际问题需检验解的合理性 D. 连续奇数相差2 6. 两个连续奇数的积为99，设较小奇数为$$x$$，方程正确的是（） A.$$x(x+1)=99$$ B.$$x(x+2)=99$$ C.$$x(x-2)=99$$ D.$$x^2=99$$ 7. 用长30cm的铁丝围成矩形，面积最大为（） A. 50cm² B. 56.25cm² C. 60cm² D. 70cm² 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共12分） 1. 两个连续偶数相差2。（） 2. 两位数$$35$$可以表示为$$3\times10+5$$。（） 3. 几何问题解方程得到的负数解可以直接保留。（） 4. 若两数和为8，积为15，这两个数是3和5。（） 5. 矩形周长固定时，正方形面积最大。（） 6. 数字问题无需检验解的合理性。（） 四、基础应用题（每题5分，共20分） 列一元二次方程解答下列问题： 1. 已知两个连续正整数的积为56，求这两个数。 2. 一个两位数，十位数字比个位数字大2，两个数字之积为24，求这个两位数。 3. 矩形长为8cm，若长增加$$x$$cm，宽不变，面积增加12cm²，求$$x$$的值。 4. 正方形边长增加2cm，面积增加24cm²，求原正方形的边长。 五、综合拓展题（10分） 用长40m的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙（墙足够长），矩形面积为150m²，求矩形的长和宽。 参考答案 一、基础填空题 1. $$x+1$$、$$x(x+1)$$ 2. $$10a+b$$ 3. $$x(x+2)=48$$ 4. $$x(x-2)=48$$ 5. $$(x+3)^2-x^2=45$$ 6. 3、7 7. 检验 8. 长×宽 二、选择题 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 三、判断题 1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.× 四、基础应用题 1. 解：设较小数为$$x$$，$$x(x+1)=56$$，解得$$x_1=7，x_2=-8$$（舍去），两数为7、8。 2. 解：设个位数字为$$x$$，$$(x+2)x=24$$，解得$$x=4$$，两位数为64。 3. 解：先求宽为$$12\div x$$，原宽1.5cm，解得$$x=4$$。 4. 解：设原边长$$x$$，$$(x+2)^2-x^2=24$$，解得$$x=5$$，原边长5cm。 五、综合拓展题 解：设垂直墙的边长为$$x$$m，平行墙边长为$$(40-2x)$$m，列方程：$$x(40-2x)=150$$，整理得$$x^2-20x+75=0$$，解得$$x_1=5，x_2=15$$。当$$x=5$$时，长30m、宽5m；当$$x=15$$时，长10m、宽15m。答：矩形长30m宽5m或长15m宽10m。 （总字数1010字，精准覆盖数字、几何两大类实际应用题型，从基础列式到综合解题梯度训练，贴合课时重难点，与本单元整套习题格式、分值完全统一） 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有 多少个？ 例1 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得 x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得 x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5. 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 例2 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20-x)m； 再由矩形的面积为 96m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 思考：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 1. 返回 两个连续奇数的积是99，设较小的一个奇数为x，则可列方程为(　　) A．x(x＋1)＝99 B．x(x＋2)＝99 C．x(x－1)＝99 D．x(x－2)＝99 B 考试考法 5 返回 2. 【新考法 特征数表示法】如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．如果圈出的9个数中，最小数与最大数的积为161，则这个最小数是________． 7 考试考法 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如： (1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 m； (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. (1)根据题意，得 2(x + ) = 40. 解得 = 12, = 8. (2)根据题意，得 (10 + x)(10 - x) = 96， 解得= 2, = -2. (1)的设元方法简单直接， (2)的设元方法求解简便. 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. 等量关系往往体现在关键词句中. ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）. 有单位的要带单位. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. 方程两边单位要统一. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. 一般不必写出解方程的过程. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. 一般两个根中只有一个符合实际意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 遵循 “问什么答什么” 的原则. 列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题. 一般步骤如下： 1.怎样用一根长为 40m 的细绳围成一个面积为 75m2 的矩形区域？能围成一个面积为101m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：设围成的矩形区域一边长为x m，则其邻边长为(20-x)m. 依题意，得x(20-x)=75， 解方程，得=5，=15， 当x=5时，20-x=15；当x=15时，20-x=5. 所以，当相邻的两边长分别为15m和5m时，能围成一个面积为75m²的矩形区域. 返回 3. 一个正两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积等于72.求这个正两位数． 解：设这个正两位数的个位数字为x，则十位数字为x＋1. 依题意，得x(x＋1)＝72， 解得x1＝－9(不符合题意，舍去)，x2＝8， ∴10(x＋1)＋x＝10×(8＋1)＋8＝98. 答：这个正两位数为98. 考试考法 返回 4. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是(　　) A．(x＋2)2＋(x－4)2＝x2 B．(x－2)2＋x2＝(x＋4)2 C．x2＋(x－2)2＝(x－4)2 D．(x－2)2＋(x－4)2＝x2 D 考试考法 [秦皇岛期中]如图，在宽4 m，长6 m的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，且种植花卉的面积为15 m2，则铺设的石子路的宽为(　　) A．1 m　 B．1.2 m　 C．1.5 m　 D．2 m 返回 5. A 考试考法 [保定定州期中]如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍ABCD，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为________m. 返回 6. 5 考试考法 返回 7. 一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差为2，求较长的直角边长x. 解：根据题意可得x2＋(x－2)2＝102， 整理，得x2－2x－48＝0， 因式分解，得(x－8)(x＋6)＝0， 解得x1＝8，x2＝－6(舍去)． 故较长的直角边长x为8. 考试考法 返回 8. 小明准备进行如下操作：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小明应该怎么剪？ 解：设围成的第一个正方形的边长为x cm， 则围成的第二个正方形的边长为 cm， 依题意得x2＋ ＝58， 解得x1＝3，x2＝7，∴4x＝12或28，∴40－4x＝28或12. 答：小明应该将铁丝剪成12 cm和28 cm的两段． 考试考法 返回 9. [邯郸校级期中]在如图所示的数轴上，点P在点Q的左侧．已知点P表示的数为－2x2＋x－6，点Q表示的数为2x2－3x＋4，且x为整数． (1)点P，Q之间的距离是___________(用含x的代数式表示)； 4x2－4x＋10 考试考法 16 返回 (2)若点Q表示的数是3，求点P表示的数． 解：∵点Q表示的数是3， ∴2x2－3x＋4＝3，∴x1＝ ，x2＝1. ∵x为整数，∴x＝1. 当x＝1时，－2x2＋x－6＝－2＋1－6＝－7， ∴点P表示的数是－7. 考试考法 返回 10. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙(墙可用长度为15 m)，另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两个区域中各留1 m宽的门(门不用木栏)，修建所用木栏总长为28 m，设矩形苗圃ABCD的一边CD的长为x m. (1)求矩形苗圃ABCD的另一边BC的长是多少 米；(用含x的代数式表示) 考试考法 18 解：∵修建所用木栏总长为28 m，且两个区域中各 留1 m宽的门(门不用木栏)， ∴BC＝2＋28－3x＝(30－3x)m. 返回 考试考法 (2)矩形苗圃ABCD的面积能否为72 m2？若能，求出CD的长；若不能，请说明理由． 解：矩形苗圃ABCD的面积能为72 m2， 根据题意，得x(30－3x)＝72， 整理，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6. 当x＝4时，30－3x＝30－3×4＝18＞15，不合题意，舍去； 当x＝6时，30－3x＝30－3×6＝12＜15，符合题意． ∴CD的长为6 m. 返回 考试考法 返回 11. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度匀速运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为x s(x＞0)． (1)________s后，△PBQ的面积为4 cm2. 1 考试考法 21 返回 (2)几秒后，PQ的长度为5 cm? 解：由题意，得BP＝(5－x)cm，BQ＝2x cm. 由BP2＋BQ2＝PQ2，得(5－x)2＋(2x)2＝52， 整理，得x2－2x＝0， 解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝2. ∴2 s后，PQ的长度为5 cm. 考试考法 返回 (3)△PBQ的面积能否为7 cm2？请说明理由． 解：不能． 理由：由题意，得 (5－x)·2x＝7， 整理，得x2－5x＋7＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×7＝25－28＝－3<0， ∴此方程无实数根，∴△PBQ的面积不能为7 cm2. 考试考法 实际问题 数学问题的解 数学问题 ax2+bx+c=0 (a≠0) 实际问题的答案 解方程 检验 设未知数列方程(建模思想) 课堂小结 谢谢观看 THANKS 2 $