25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）”，通过引导学生观察求根公式中“m+n”与“m-n”的形式特点，启发发现两根和与积的关系，搭建从具体公式到抽象规律的学习支架。 其亮点在于题型覆盖基础填空到拓展应用，融入中考真题，培养推理能力与应用意识。如解答题“不解方程求代数式值”强化模型意识，学生提升运算能力，教师可高效落实教学目标，助力知识迁移与实战应用。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 2026年8月3日 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 专项练习题 知识点梳理：对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，当$$\Delta\geq0$$时，方程的两根$$x_1、x_2$$满足根与系数的关系（韦达定理）：$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$。利用该关系可不解方程，快速求两根和、两根积、代数式的值以及未知参数，是一元二次方程重要解题工具。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 已知一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2=$$________，$$x_1x_2=$$________。 2. 方程$$x^2-5x+6=0$$的两根之和为________，两根之积为________。 3. 方程$$2x^2+4x-3=0$$中，$$x_1+x_2=$$________，$$x_1x_2=$$________。 4. 已知方程$$x^2+mx+8=0$$的一个根为2，则另一根为________，$$m=$$________。 5. 若方程$$x^2-3x+k=0$$的两根互为倒数，则$$k=$$________。 6. 两根和、两根积的使用前提是一元二次方程________。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 方程$$x^2+2x-1=0$$的两根之积为（） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 2. 已知方程$$3x^2-6x+1=0$$，则两根之和为（） A. 2 B. -2 C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 3. 若一元二次方程两根分别为3和-2，则该方程是（） A.$$x^2+x-6=0$$ B.$$x^2-x-6=0$$ C.$$x^2+5x-6=0$$ D.$$x^2-5x-6=0$$ 4. 已知方程$$x^2-4x+m=0$$的两根之和为4，两根之积为$$m$$，若一根为1，则$$m$$的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列说法正确的是（） A. 任意一元二次方程都有两根和与两根积 B. 两根和一定等于一次项系数相反数 C. 两根积一定等于常数项 D. 根与系数关系仅适用于有实数根的一元二次方程 6. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$2x^2-3x-5=0$$的两根，则$$x_1+x_2$$的值为（） A. $$\dfrac{3}{2}$$ B. $$-\dfrac{3}{2}$$ C. $$\dfrac{5}{2}$$ D. $$-\dfrac{5}{2}$$ 7. 若方程两根互为相反数，则满足（） A. $$b=0$$ B. $$c=0$$ C. $$a=0$$ D. $$b=c=0$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共12分） 1. 方程$$x^2-6x=0$$的两根之积为0。（） 2. 利用根与系数关系可以求解所有一元二次方程的根。（） 3. 方程$$2x^2-5x+1=0$$两根和为$$\dfrac{5}{2}$$，两根积为$$\dfrac{1}{2}$$。（） 4. 若一元二次方程无实数根，则不存在两根和与两根积。（） 5. 已知一根可利用根与系数关系快速求出另一根。（） 6. 方程$$x^2+4=0$$可使用韦达定理求两根关系。（） 四、解答题（每题5分，共20分） 不解方程，利用根与系数的关系求解： 1. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-7x+2=0$$的两根，求$$x_1+x_2$$、$$x_1x_2$$的值。 2. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$3x^2+2x-1=0$$的两根，求$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$的值。 3. 已知方程$$x^2+kx-12=0$$的一根为3，求另一根及$$k$$的值。 4. 已知方程$$2x^2-6x+m=0$$两根之和为3，求$$m$$的取值范围。 五、拓展应用题（10分） 已知一个一元二次方程的两根分别比整数2和3大，且两根之和为7，两根之积为12，请写出这个一元二次方程，并验证根与系数的关系。 参考答案 一、基础填空题 1. $$-\dfrac{b}{a}$$、$$\dfrac{c}{a}$$ 2. 5、6 3. -2、$$-\dfrac{3}{2}$$ 4. 4、-6 5. 1 6. 有实数根（$$\Delta\geq0$$） 二、选择题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 三、判断题 1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.× 四、解答题 1. 解：$$a=1,b=-7,c=2$$，$$x_1+x_2=7$$，$$x_1x_2=2$$ 2. 解：$$x_1+x_2=-\dfrac{2}{3}$$，$$x_1x_2=-\dfrac{1}{3}$$，原式$$=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$$ 3. 解：设另一根为$$x$$，$$3x=-12$$，得$$x=-4$$，$$k=-(3-4)=1$$ 4. 解：方程有实数根，$$\Delta=36-8m\geq0$$，解得$$m\leq\dfrac{9}{2}$$ 五、拓展应用题 解：设两根为$$x_1、x_2$$，由题意得$$x_1+x_2=7$$，$$x_1x_2=12$$，对应方程为$$x^2-7x+12=0$$。验证：$$a=1,b=-7,c=12$$，两根和$$=7$$，两根积$$=12$$，符合根与系数关系。答：方程为$$x^2-7x+12=0$$。 （总字数1010字，紧扣韦达定理核心考点，覆盖基础公式识记、代数式求值、参数求解、易错辨析与综合应用，题型难度梯度适中，与本单元前序习题格式、分值完全统一，适配课后同步训练） 思考：观察求根公式 x=，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 因为 x1=，x2=. 所以 x1+x2 = = =﹣ . x1x2 = = = = . 由此得出，一元二次方程 +bx +c=0 的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2 =﹣ ，x1x2 = . 使用条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； (2)方程有实数根，即△≥0. 1. 返回 [广西中考2025]已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(　　) A．－25 B．－20 C．20 D．25 C 举一反三 5 返回 2. [2025湖北中考]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 D 举一反三 返回 3. 以2和－5为根的一元二次方程可以是(　　) A．x2－3x＋10＝0 B．x2＋3x＋10＝0 C．x2＋3x－10＝0 D．x2－3x－10＝0 C 举一反三 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程 +bx +c=0 的左边可以分解因式为，那么方程 +bx +c=0的两个根为 x1和 x2 . 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为x1和 x2， 那么 即 ax²+bx+c=ax²-a(x1+ x2)x+ax1x2. 由此可得 -a(x1+ x2)=b，ax1x2=c. 因此 x1+x2 = ﹣ ，x1x2 = . 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ，的和与积： (1)－6x－15 = 0；(2)+7x－9 = 0(3). 例1 解：(1) ， . (2) ，. (3)方程化为 ， 所以 ，. 跟踪训练 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积： (1)3x2-2x-1=0； (2)5x-5=6x2-4. 解：(1)∵a = 3， b = -2，c = -1， ∴ ， . (2) 方程化为 6- 5x + 1 = 0，∴ a = 6， b = -5， c = 1， ∴ ，. 将方程整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式 确定a,b,c的值 根据x1+x2 = ， x1x2 = 求解. ∆≥0 返回 4. [教材P16例5变式]不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2＋4x－2＝0；　 (2)3x2－2x－6＝0； 解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－2. 举一反三 返回 (3)4x2＋1＝7x; (4)3x2＋5x－2＝2x＋3. 举一反三 已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－1＝0的两个根，且x1＋x2＝4，则b＝(　　) A．－1 B．1 C．－4 D．4 返回 5. C 举一反三 已知α，β分别是方程x2－4x－1＝0的两个根，则代数式α2＋β2的值为(　　) A．16 B．18 C．20 D．22 返回 6. B 举一反三 返回 7. [苏州中考]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________． －3 举一反三 返回 8. [眉山中考]已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，那么(x1＋1)(x2＋1)的值为________． －2 举一反三 返回 9. 若关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是________． 举一反三 17 返回 10. 已知x1，x2是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个根，不解方程，求下列各式的值： (1)x12x2＋x1x22；　　　 解：由题意得x1＋x2＝5，x1x2＝－2. (1)x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－2×5＝－10. 举一反三 18 返回 11. [河北中考]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C 举一反三 19 返回 12. 若一矩形的长和宽是方程x2－14x＋48＝0的两根，则该矩形的对角线长为(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 A 举一反三 20 13. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5，则原来的方程是(　　) A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0 C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0 B 返回 举一反三 一元二次方程 +bx +c=0 (a≠0)的根与系数的关系 x1+x2 =﹣ x1x2 = 课堂小结 谢谢观看 THANKS 解：x1＋x2＝－＝，x1x2＝＝－2. 解：方程可化为3x2＋3x－5＝0， ∴x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝－. 解：方程可化为4x2－7x＋1＝0， ∴x1＋x2＝－＝，x1x2＝. m＞ (2)＋＝＝－. (2)＋. $