江苏扬中市第二高级中学2026年高二暑假数学（直线与圆）复习自测练习

**基本信息** 聚焦直线与圆核心知识，通过基础概念辨析、位置关系应用及综合轨迹问题，系统覆盖倾斜角、方程求解、切线性质等考点，渗透几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2|倾斜角范围、距离相等直线方程|直线倾斜角与斜率转化，点到直线距离公式应用| |位置关系|单选3-4/多选10|圆的切线方程、直线与曲线交点范围|圆的标准方程构建，直线与圆相切的几何条件推导| |综合应用|解答17-19|轨迹方程、定点存在性问题|阿波罗尼斯圆模型应用，动点轨迹的代数化表示|

2026年暑假高中数学（直线与圆）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 （ ） A． B． C． D． 2．直线过点，且到的距离相等，则直线的方程是 （ ） A． B． C．或 D．或 3．与直线切于点，且经过点的圆的方程为 （        ） A． B． C． D． 4．已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是 　 　 A． B． C．， D． 5．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则 A． B． C．1 D．2 （      ） 6．已知点，的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为 （ ） A． B． C． D． 8．已知圆的方程为，若直线上存在一点，使得在圆上总存在不同的两点，使得，则圆的半径的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．关于直线，以下结论正确的有 （ ） A. 时，直线在两坐标轴上的截距相等 B. 直线必过第二象限 C. 时，直线不过第四象限 D. 时，直线过第二、三、四象限 10．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线切点分别是和，下列说法正确的为 （  ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．四边形面积的最小值为 D．直线恒过定点 11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是 （ ） A. 的方程为 B. 当，，三点不共线时，则 C. 在上存在点，使得 D. 若，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点， 若钝角的面积为，则实数的值是________． 13．已知两点动点在线段AB上运动，则的范围是 ， 的范围是 . 14．已知P是圆上的动点，，点是圆 上的两个动点，点 满足：,，则的最小值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知三角形的顶点坐标为、、，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的长； (3)求边的高所在直线方程. 16．已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标，并求出点到动直线的最大距离. (2)若直线与x．y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为12；②的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 17．已知圆对称. （1）求圆的方程； （2）过点各引一条切线，确定分别为，则是否存在一定点，使得的距离为定值？，若存在，求出的坐标，并求出的值；若不存在，请说明理由. 18．已知直线相切. （1）直线的方程； （2）已知直线轴相交于的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 19．如图，圆与x轴交于A、B两点，动直线：与x轴、y轴分别交于点E、F，与圆交于C、D两点． （1）求中点M的轨迹方程； （2）设直线、的斜率分别为、，是否存在实数k使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（直线与圆）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 （ C ） A． B． C． D． 2．直线过点，且到的距离相等，则直线的方程是 （ C ） A． B． C．或 D．或 3．与直线切于点，且经过点的圆的方程为 （   D    ） A． B． C． D． 4．已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是 　D　 A． B． C．， D． 5．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则 A． B． C．1 D．2 （  C   ） 【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得，，故直线的方程为，又由，，，则的重心为， 设，其中，点关于直线的对称点，则有，解得，即，易得关于轴的对称点，由光的反射原理可知，，，四点共成直线的斜率，故直线的方程为， 由于直线过的重心，代入化简可得， 解得：或舍，即，故，故选：C． 6．已知点，的取值范围是 （ C ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为 （ C ） A． B． C． D． 8．已知圆的方程为，若直线上存在一点，使得在圆上总存在不同的两点，使得，则圆的半径的取值范围是 （ D ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．关于直线，以下结论正确的有 （ ACD ） A. 时，直线在两坐标轴上的截距相等 B. 直线必过第二象限 C. 时，直线不过第四象限 D. 时，直线过第二、三、四象限 10．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线切点分别是和，下列说法正确的为 （ BD ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．四边形面积的最小值为 D．直线恒过定点 11．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是 （ABD） A. 的方程为 B. 当，，三点不共线时，则 C. 在上存在点，使得 D. 若，则的最小值为 【详解】设，（不与，重合）∵，，∴，，∴，得，化简得， ∴点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，对于A，曲线的方程为，故选项A正确；对于B，由已知，，，∴， ∴当，，三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，是内角的角平分线， ∴，故选项B正确；对于C，若，则，由题意，点轨迹是圆，设，由得，化简得点轨迹方程为， 即点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆与圆的圆心距，∴圆与圆的位置关系为内含，圆与圆无公共点，∴上不存在点，使得，故选项C错误；对于D，∵，∴， ∴， 当且仅当在线段上时，等号成立，故选项D正确.故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点， 若钝角的面积为，则实数的值是________． 13．已知两点动点在线段AB上运动，则的范围是 ， 的范围是 . 14．已知P是圆上的动点，，点是圆 上的两个动点，点 满足：,，则的最小值为 . 【详解】由题知，圆的半径，，圆的半径， 设的中点为，连接，所以， 因为，， 所以四边形为矩形，则为的中点，且， 设，则，所以， 因为，所以，所以，即，整理得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上.因为，所以， 设与圆交于点，取的中点，连接，则，， 在和中，且， 所以与相似，所以，即，所以，当且仅当三点共线且垂直于轴时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据已知条件得到点的轨迹为圆，其次在于构造三角形相似，从而得到. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知三角形的顶点坐标为、、，是边上的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求中线的长； (3)求边的高所在直线方程. 15．解：（1）解：直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. （2）解：因为点、、，是边上的中点，则， 所以，中线的长为. （3）解：因为直线的斜率为，所以，边的高所在直线的斜率为， 因此，边的高所在直线方程为，即. 16．已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标，并求出点到动直线的最大距离. (2)若直线与x．y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为12；②的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 16．解：（1）将直线方程变形为， 由，可得， 因此，直线恒过定点. 当垂直与直线时，点到直线的距离最大， 因为，所以直线的斜率为， 所以，故， 所以直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以点到动直线的最大距离为； （2）假设存在点和点满足要求，则 ，解方程可得或， 所以直线的方程为或， 故存在直线或. 17．已知圆对称. （1）求圆的方程； （2）过点各引一条切线，确定分别为，则是否存在一定点，使得的距离为定值？，若存在，求出的坐标，并求出的值；若不存在，请说明理由. 17．解：（1）设圆， 设圆的方程为，将点代入得， 的方程为，圆的方程为； （2）由， 设， 化简得， 所以存在定点的距离为定值 18．已知直线相切. （1）直线的方程； （2）已知直线轴相交于的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 18．解：（1）相切， 所以圆心到直线的距离为 ， （1）记圆心到直线的距离为， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足题意， 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为 ， ，此时直线的方程为 ， 综上，直线的方程为 （2）点的纵坐标之积为定值10， 设，因为直线与圆交于两点， 不妨取，所以直线的方程分别为， 令，得， 则， 因为点上，， 所以为定值. 19．如图，圆与x轴交于A、B两点，动直线：与x轴、y轴分别交于点E、F，与圆交于C、D两点． （1）求中点M的轨迹方程； （2）设直线、的斜率分别为、，是否存在实数k使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 19．解：（1）由题意，存在且， ∵M为中点，∴， ∴点M的轨迹是以为直径的圆（除去原点）， ∴圆心为，半径为，则点M的轨迹方程为. （2）由，得， ， 设，则， ， 又，， ， 即，则， 即，解得或， 又，，得， ， 则，故舍去，符合题意， 综上，存在实数使得. 6 学科网（北京）股份有限公司 $