3.3 立体图形的表面展开图 （暑期预习知识清单）-2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

　 　 　 3.3 立体图形的表面展开图 暑期预习知识清单 　 2026-2027学年 · 华东师大版 · 七年级数学上册 （第三章 图形认识初步 · 3.3） 学习建议：拿纸盒真的剪开铺平，再试着折回去，体会“展开↔折叠” 　 一、预习导航 🎯 本节核心内容 理解表面展开图的概念；会把常见立体图形（尤其是正方体、圆柱、圆锥）沿棱剪开、铺平成平面图形，也能判断一个平面图形能否折叠成某立体；记住圆柱、圆锥、正方体展开图的特征。 ⏱ 预计学习时间 约 80 分钟（建议动手剪包装盒、折纸验证）。 🔗 与小学知识的联系 小学做过“把纸盒拆开铺平”的游戏，知道长方体能展开成由 6 个长方形组成的图形；本节系统学习展开图，并要求能判断给定平面图形能否折回原立体。 💡 预习建议 找一个正方体纸巾盒，沿棱剪开摊平，观察 6 个正方形怎么连；再找一个圆柱罐头标贴，撕下侧面看是长方形；圆锥雪糕筒剪开看是扇形+圆。 二、3.3 立体图形的表面展开图 知识清单 🎯 第一步：预习目标 ✔ 理解表面展开图的概念 ✔ 会画（或识别）正方体、圆柱、圆锥的表面展开图 ✔ 能判断一个平面图形能否折叠成某立体 ✔ 知道正方体展开图有 11 种，理解“相对面不相邻” 📌 第二步：知识清单 📌 知识点1：什么是表面展开图 把一个立体图形的表面沿某些棱剪开，展开铺平在同一个平面内，得到的平面图形叫做它的表面展开图（简称展开图）。同一个立体，剪法不同，展开图可能不同。 【生活情境】包装盒出厂时是扁平的纸板（展开图），运到后再折叠粘成盒子——这就是展开图与立体的互逆关系。 ⚠ 特别注意：展开图是立体所有面的平面拼图，折叠后应“严丝合缝”拼回原立体，不多不少。 📌 知识点2：正方体的表面展开图 正方体有 11 种 不同的表面展开图，按“行”的分布可分为四类： ① 1-4-1 型（中间 4 个一行，上下各 1 个）：共 6 种，最常见。 ② 2-3-1 型（中间 3 个，上 2 下 1 或上 1 下 2）：共 3 种。 ③ 2-2-2 型（每行 2 个，三行错开）：1 种。 ④ 3-3 型（两行各 3 个，错开）：1 种。 【判断窍门】无论哪种，相对的两个面在展开图中一定不相邻（中间至少隔一个面）。例如“田”字形、含“凹”或“四连方围成一圈”的图形都不能折成正方体。 📌 知识点3：圆柱的表面展开图 圆柱的表面 = 两个底面圆 + 一个侧面。侧面展开是一个长方形，其长 = 底面圆的周长（2πr），宽 = 圆柱的高。所以圆柱展开图 = 两个相同的圆 + 一个长方形（圆常在长方形上下两边外侧）。 【辨析】圆柱侧面展开是长方形，不是正方形（除非高恰好等于底面周长）。 📌 知识点4：圆锥的表面展开图 圆锥的表面 = 一个底面圆 + 一个侧面。侧面展开是一个扇形，扇形的弧长 = 底面圆的周长，扇形的半径 = 圆锥的母线长。所以圆锥展开图 = 一个圆 + 一个扇形。 📌 知识点5：判断平面图形能否折叠成某立体 方法：① 数面数是否相等（如正方体展开图必为6 个正方形）；② 检查相对面是否“不相邻”；③ 想象折叠，看能否严丝合缝；④ 排除“田字格、凹形、五面围一圈”等不能折成正方体的图形。 ⚠ 特别提醒：有曲面的立体（圆柱、圆锥、球），其展开图含曲线边（圆、扇形）；纯由正方形/长方形组成的展开图只能折成多面体。 ⚠ 第三步：特别提醒 ⚠ 提醒1 正方体展开图一定是 6 个正方形，且相对面不相邻。 ⚠ 提醒2 “田”字形（4 个小正方形拼田字）不能折成正方体。 ⚠ 提醒3 圆柱侧面展开长方形的长 = 底面周长，不是底面直径。 ⚠ 提醒4 圆锥侧面展开是扇形（带弧），不是三角形。 ❌ 第四步：易错点剖析 易错点1：把“田”字形当成正方体展开图 ❌ 错例：图中有 4 个正方形拼成“田”字，认为是正方体展开图。 ✅ 正确：“田”字格折叠时中间会重叠，不能拼成正方体。 错因：没检查能否严丝合缝。规避：排除田字、凹形、围圈形。 　 易错点2：圆柱侧面展开长算错 ❌ 错例：底面半径 r，侧面展开长方形长 = 2r（直径）。 ✅ 正确：长 = 底面周长 = 2πr，宽是高 h。 错因：把“直径”当“周长”。规避：展开长=底面周长。 　 易错点3：圆锥侧面说成三角形 ❌ 错例：圆锥侧面展开是三角形。 ✅ 正确：圆锥侧面展开是扇形（一条弧 + 两条半径）。 错因：把“圆锥主视图是三角形”和“侧面展开”混淆。规避：锥侧=扇形，柱侧=长方形。 ✏️ 第五步：典型例题 【例题1】（基础题·★）下列图形中，能折叠成正方体的是（　） A. 田字形　　B. 1-4-1 型六正方形　　C. 5 个正方形　　D. 凹字形 【分析】正方体需 6 个正方形且相对面不相邻。 【解】田字、凹字不行，5 个不够；1-4-1 型是 11 种之一。 【答】B。 　 【例题2】（中档题·★★）圆柱底面半径 3，高 4，则侧面展开长方形的长和宽分别是（　） A. 3 和 4　　B. 6 和 4　　C. 6π 和 4　　D. 3π 和 4 【分析】长=底面周长=2π·3=6π，宽=高=4。 【解】长 6π，宽 4。 【答】C。 　 【例题3】（易错题·★★）判断：圆锥的侧面可以展开成扇形。（　） 【解】正确。圆锥侧面是扇形，弧长等于底面周长。 【答】√（正确）。 📝 第六步：随堂小测（5题） 1. 正方体表面展开图共有（　）种 A. 6　　B. 9　　C. 11　　D. 12 2. 圆柱侧面展开图是（　） A. 正方形　　B. 长方形　　C. 梯形　　D. 圆 3. 下列不能折成正方体的是（　） A. 1-4-1 型　　B. 2-3-1 型　　C. 田字型　　D. 3-3 型 4. 圆锥侧面展开是______形，圆柱侧面展开是______形。 5. 正方体展开图中，相对的两个面一定______（填“相邻”或“不相邻”）。 　 📝 随堂小测参考答案 1. C（共 11 种） 2. B（长方形） 3. C（田字不能折正方体） 4. 扇；长方 5. 不相邻 三、本节思维导图 中心主题：3.3 立体图形的表面展开图： ① 概念 → 沿棱剪开铺平得到平面图形。 ② 正方体 → 11 种，相对面不相邻。 ③ 圆柱 → 两底圆 + 长方形（长=周长）。 ④ 圆锥 → 底圆 + 扇形。 📊 附：展开与折叠 验证流程 四、核心概念速查卡 🔑 展开图：沿棱剪开铺平的平面图形。 🔑 正方体：11 种，相对面不相邻，田字/凹字不行。 🔑 圆柱：两底圆 + 长方形（长=底面周长）。 🔑 圆锥：底圆 + 扇形（弧长=底面周长）。 五、本节易错点汇总 序号 易错点 正确做法 1 田字格当展开图 田字不能折正方体 2 圆柱展开长=直径 长=底面周长2πr 3 圆锥侧面=三角形 圆锥侧面=扇形 4 相对面相邻 相对面必不相邻 六、分层自测卷（3.3 立体图形的表面展开图） 说明：A层（基础巩固）5题，B层（能力提升）3题，C层（拓展挑战）2题，共10题。 A层 · 基础巩固 A1. 下列能折成正方体的是（　） A. 田字型　　B. 1-4-1 型　　C. 凹字型　　D. 5个正方形 A2. 圆柱侧面的展开图是（　） A. 圆　　B. 扇形　　C. 长方形　　D. 三角形 A3. 圆锥侧面展开是（　） A. 长方形　　B. 扇形　　C. 梯形　　D. 正方形 A4. 正方体展开图有______种，相对的两个面______（填“相邻/不相邻”）。 A5. 圆柱侧面展开长方形的长等于底面______。 B层 · 能力提升 B6. 半径为 2、高为 5 的圆柱，侧面展开长方形长、宽分别为（　） A. 4π 和 5　　B. 2π 和 5　　C. 4 和 5　　D. 2 和 5 B7. 下列说法正确的是（　） A. 正方体展开图有 12 种　　B. 田字型可折正方体 C. 圆锥侧面是扇形　　　　　D. 圆柱侧面是正方形 B8. 为什么“田”字形不能折成正方体？画图或文字说明。 C层 · 拓展挑战 C9. 一个正方体展开图是 1-4-1 型，请指出其中一对相对的面（用位置描述）。 C10. 母线长为 6、底面周长为 6π 的圆锥，其侧面展开扇形的圆心角是多少度？（提示：圆心角 = 弧长/半径 × 180°/π） 七、参考答案与解析 A层 A1. B（1-4-1 是 11 种之一） A2. C（长方形） A3. B（扇形） A4. 11；不相邻 A5. 周长 B层 B6. A（长=2π·2=4π，宽=高=5） B7. C（圆锥侧面是扇形；A应为11种，B田字不行，D一般不是正方形） B8. 田字折叠时上下两格会互相重叠、无法拼成封闭立方体，故不能折成正方体。 C层 C9. 1-4-1 型中，上下两端的单个正方形相对；中间 4 个里第1与第3、第2与第4 相对（视具体摆放）。 C10. 圆心角 = (6π / 6) × (180°/π) = π × 180°/π？更准确：θ/360° = 弧长/圆周长 = 6π/(2π·6)=6π/12π=1/2，故 θ=180°。（即半圆扇形） 💡 解题方法与技巧 技巧1：数面数——正方体展开必为 6 个正方形。 技巧2：查相对面——相对面在展开图中不相邻，可据此排除错误图形。 技巧3：柱侧长方、锥侧扇形，展开长/弧长 = 底面周长。 📌 易混辨析：圆柱展开 vs 圆锥展开 二者都有一个底面圆；但圆柱侧面是长方形（两条直边、四直角），圆锥侧面是扇形（一条弧边、两条半径）。圆柱展开含“两底圆+一长方”，圆锥展开含“一底圆+一扇形”。 ✏️ 补充例题（中档题·★★） 【例题4】下列平面图形中，能折成圆柱的是（　） A. 两个圆 + 一个长方形　　B. 一个圆 + 一个扇形　　C. 6 个正方形　　D. 4 个长方形 【解】圆柱展开 = 两底圆 + 侧面长方形。 【答】A。 📝 补充随堂练习（3题） 1. 正方体展开图绝不会出现（　） A. 1-4-1 型　　B. 2-2-2 型　　C. 田字型　　D. 3-3 型 2. 圆锥侧面展开扇形的弧长 = 底面______。 3. 圆柱高 h、底面半径 r，侧面展开长方形面积 = ______。 📝 补充练习参考答案 1. C（田字不行） 2. 周长 3. 2πrh（长2πr × 宽h） 📊 本节学习小结 展开图=沿棱剪开铺平；正方体11种且相对面不相邻（田字/凹字不行）；圆柱=两底圆+长方形（长=周长）；圆锥=底圆+扇形（弧长=周长）。判断能否折叠：数面数、查相对面、想象折叠。 📝 综合应用（2题） 【应用1】一个长方体纸盒长 3、宽 2、高 1，它的表面展开图至少由几个长方形组成？ 【解】长方体 6 个面，展开图由 6 个长方形组成（相对面两两相同）。 【答】6 个长方形。 【应用2】罐头侧面商标纸是一个长方形，长 18.84 cm、宽 10 cm，求罐头顶面圆的半径。（π取3.14） 【解】长方形长=底面周长=2πr=18.84 → r=18.84/(2×3.14)=3 cm。 【答】半径 3 cm。 🔍 概念判断自测（5题，对的打√，错的打×） 1. 正方体展开图有 11 种。（　） 2. 田字形能折成正方体。（　） 3. 圆柱侧面展开是长方形。（　） 4. 圆锥侧面展开是扇形。（　） 5. 正方体展开图中相对的面相邻。（　） 🔍 判断自测参考答案 1. √ 2. ×（田字不能） 3. √ 4. √ 5. ×（相对面不相邻） 📚 拓展阅读 · 包装里的数学 你拆快递时见的扁平纸箱，就是长方体的表面展开图。设计师要算准每个面的尺寸，让纸板用料最省、折叠后严丝合缝——这叫展开优化，是工业数学的一部分。古代没有纸箱，人们用竹编、木盒；现代“折叠纸盒”靠的正是对展开图的精确计算。甚至足球（由 32 块皮缝成）也有自己的“展开图”，只不过因为球是曲面，真正的展开会有微小褶皱——这正是拓扑学研究的有趣问题。 🧠 学法指导（记忆口诀） 口诀：沿棱剪开铺平成，表面展开记心中；正方体，十一型，相对面儿不相邻；田字凹字不能要，柱侧长方锥侧扇；展开长是周长，牢牢记心间。 易错提醒：判断能否折叠，先数面数、再看相对面是否相邻；圆柱展开长=底面周长不是直径；圆锥侧面是扇形不是三角形。 💡 易错速记卡 易错1 田字当展开图——错！不能折正方体。 易错2 圆柱展开长=直径——错！长=底面周长。 易错3 圆锥侧面=三角形——错！是扇形。 📊 本节知识树（要点归纳） 展开图=沿棱剪开铺平的平面图形；正方体有 11 种且相对面不相邻（田字、凹字不行）；圆柱=两底圆+侧面长方形（长=底面周长）；圆锥=底圆+侧面扇形（弧长=底面周长）；判断能否折叠：数面数、查相对面、想象折叠。 🧭 本节思想方法 展开与折叠是可逆的两种视角：展开让我们看到立体的“全部门票”，折叠让我们从平面回到立体。做题时可在脑中“虚拟折叠”，重点盯住相对面是否不相邻——这是判断正方体展开图最快的诀窍。 ✏️ 能力提升闯关（3题） 1. 正方体展开图中，相对的两个面在展开图里有什么规律？ 2. 圆柱侧面展开长方形的长是底面周长还是底面直径？为什么？ 3. 一个平面图形由 6 个正方形排成“2-2-2”形（三行每行 2 个错开），它能折成正方体吗？ ✏️ 闯关参考答案 1. 相对面在展开图中一定不相邻（中间至少隔一个面）。 2. 底面周长；因为侧面展开后那条长边正好等于底面圆的圆周。 3. 能，2-2-2 型是正方体 11 种展开图之一。 学科网（北京）股份有限公司 $