4.2 认识一次函数 同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学4.2认识一次函数同步练，覆盖一次函数与正比例函数、分段函数两课时，分层设计清晰，从概念辨析到情境应用梯度递进，强化一次函数概念理解与模型构建，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一次函数与正比例函数概念辨析、表达式识别|以选择、填空题为主，直接考查定义（如第1题正比例函数识别），夯实抽象能力| |能力提升|概念辨析与简单应用（特征数、几何图形中的函数关系）|增加辨析题和解答题，强化概念联系（如第7题特征数与象限结合），发展推理意识| |综合应用|多情境综合应用（运动问题、实际收费问题）|设置生活情境题（如一次性筷子问题）和动态几何题（如动点面积问题），培养模型意识与应用能力|

4.2 认识一次函数 第 1 课时 一次函数与正比例函数 1.下列函数中，是正比例函数的是( ). A. y=3x+1 2.下列选项中，y与x 的关系为正比例函数关系的是( ). A. 正方形的周长y(cm)与边长x(cm)的关系 B. 圆的面积y(cm²)与半径x(cm)的关系 C.直角三角形中一个锐角的度数y与另一个锐角的度数x的关系 D. 长方形的面积为 20 cm²,长 y(cm)与宽x(cm)之间的关系 3.在下列函数关系中：①y= kx; 一定是一次函数的个数是( ). A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 4.若函数 是正比例函数，则m的值为( ). A. 1 B. - 1 C.±1 D.0 5.写出下列各题中x 与y之间的关系式，并判断y 是否为x的一次函数?是否为正比例函数? (1)一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加5m，小球的速度y(m/s)与时间x(s)之间的关系； (2)有一个长为110m、宽为 100m的长方形场地准备扩建，使长增加 xm，宽增加ym，且使长方形的周长为500m. 6.下列说法中，正确的是( ). A.一次函数是正比例函数 B.正比例函数不是一次函数 C.不是正比例函数就不是一次函数 D.不是一次函数就不是正比例函数 7.规定：[k，b]是一次函数y=kx+b(k,b为实数,k≠0)的“特征数”,若“特征数”是[4，m-4]的一次函数是正比例函数，则点(2+m,2-m)所在的象限是( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.如图，已知 B 中的实数与A中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中a 的值为 . 9.如图，四边形ABCD 是长方形，设长方形的周长是y，面积是S. (1)写出y与x的函数关系式，并指出y是否为x的一次函数或正比例函数.若是，写出相应的k,b 的值; (2)写出S 与x的函数关系式，并指出 S 是否为x的一次函数或正比例函数.若是，写出相应的k，b的值. 10.如图,在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC交AC于点D.设∠A=x°,∠CBD=y°. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)这个函数是一次函数吗?若是，请指出k，b的值，并求x的取值范围. 11.如今餐馆常用一次性筷子，有人说这是浪费资源，破坏生态环境.已知用来生产一次性筷子的大树的数量(万棵)与加工后一次性筷子的数量(亿双)成正比例关系，且100万棵大树能加工成18亿双一次性筷子. (1)求用来生产一次性筷子的大树的数量y(万棵)与加工后一次性筷子的数量x(亿双)的函数表达式. (2)据统计，我国一年要耗费一次性筷子约450亿双，生产这些一次性筷子约需要多少万棵大树?每1万棵大树占地面积约为0.08平方千米，照这样计算，我国的森林面积每年因此将会减少大约多少平方千米? 12.如图,在长方形电子屏ABCD中,AB=8m,AD=5m,一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点 P 从点A 出发沿边AB,BC 以2m/s的速度向点 C 运动,随着DP 的移动，画面逐渐展开. (1)写出展开的画面面积S(单位：m²)关于点 P 的运动时间t(单位：s)的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的 时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时展开的画面面积. 第2课时 一次函数中的分段函数 1.电信公司宽带上网费用收取方式有两种，当每日上网时间≤3小时，费用为日使用费2.4元；每日上网时间>3小时，收费执行统一标准(日使用费+超时费)，如每日上网时间为5 小时，费用为5.4元，求出当每日上网时间>3时，费用y(元)与每日上网时间x(小时)的关系式为( ). A. y=-1.5x-2.1 B. y=1.5x+2.1 C. y=1.5x-2.1 D. y=-1.5x+2.1 2.市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示.若该用户本月用水16 吨，则应交水费( ). A. 38.4元 B. 48元 C. 39.6元 D. 57.6元 3.已 知 函数 y = 若y=2,则x= . 4.“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折，若购买种子数量为x kg，付款金额为 y 元.当0≤x≤2时,y 与x 的函数关系为 ;当x>2时，y与x的函数关系为 5.为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过7m³，每立方米收取1元外加0.4元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取 1.5元外加1.3元的污水处理费.现设一户每月用水x m³,应缴水费y元. (1)求出y关于x的函数表达式； (2)若该市一户某月用水 10m³，求应缴水费； (3)该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月的用水量. 6.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为 ，则输出y的值为( ). A. B. C. D. 7.若函数 则当函数值 y=8时，自变量x 的值为 . 8.某水果批发市场香蕉的价格如下表： 购买香蕉数量/千克 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 每千克价格/元 6 5 4 若小强购买香蕉x千克(x大于40)付了 y元，则y关于x的函数关系式为 . 9.已知A，B 两地相距30千米，B，C 两地相距48千米，某人骑自行车以每小时12千米的速度从 A 地出发，经过B 地到达C 地.设此人骑车时间为x(小时)，离 B 地距离为y(千米). (1)当此人在A，B两地之间时，求 y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)当此人在B，C两地之间时，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围. 10.为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民天然气用气量及价格分为三档，如下表： 档次 年用气量 单价/(元/m³) 第一档 不超出 300m³的部分 2.7 第二档 超出 300 m³不超出600m³的部分 a 第三档 超出600m³的部分 a+0.5 (说明：户籍人口超过 4人的家庭，每增加1人，各档年用气量基数按每人增加60m³依次调整) (1)若甲用户户籍人口登记有4人，今年前三个月已使用天然气200m³，则应缴费 元； (2)若乙用户户籍人口登记有5人，今年已使用天然气560 m³，则应缴费 元；(用含a 的代数式表示) (3)若丙用户户籍人口登记有5人，今年该用户年用气量为x(m³),当a=3.3时请用含x的代数式表示丙用户一年支出的天然气费用. 11.如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中 y 是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值，其中函数 为一次函数. (1)当x<1时，求函数的表达式. (2)当x=0时,y的值记为y₁,当x=2时,y的值记为y₂,则 y₁ y₂.(填“>”“=”或“<”) (3)要使输出结果为2，求应输入的x值. 2 认识一次函数 第1课时 一次函数与正比例函数 1. D [解析]A. y=3x+1是一次函数,不是正比例函数,故不符合题意； 不是正比例函数，故不符合题意； 不是正比例函数，故不符合题意； 是正比例函数，故符合题意.故选 D. 2. A [解析]A.依题意,得y=4x,所以正方形周长y(cm)和它的边长x(cm)的关系是正比例函数关系，故本选项正确；B.依题意，得. 则y与x不是正比例函数关系，故本选项错误；C.依题意，得y=90°-x,则y与x是一次函数关系，故本选项错误；D.依题意，得 则 y与x不是正比例函数关系，故本选项错误.故选 A. 3. A [解析]①y= kx,当k≠0时,y是x的一次函数; 是一次函数； ③由于 则 是一次函数； 自变量次数不为1，故不是一次函数； 是一次函数. 是一次函数的共有3个.故选 A. 4. B [解析]∵函数 是正比例函数，∴m+1=0,解得m=-1.当m=-1时,|m|=1,符合题意.故选 B. 5.(1)由题意，得y=5x，y是x 的一次函数，也是正比例函数. (2)由题意,得2(x+110+y+100)=500,整理,得y=40-x，y是x的一次函数，y不是x的正比例函数. 6. D[解析]A.一次函数不一定是正比例函数，故此选项不符合题意； B.正比例函数是一次函数，故此选项不符合题意； C.不是正比例函数可能是一次函数，故此选项不符合题意； D.不是一次函数就不是正比例函数，故此选项符合题意.故选 D. 7. D 8. [解析]设该函数关系式为y= kx(k≠0), 根据题意,得当x=1时,y=3,∴k=3, ∴该函数关系式为y=3x. 当y=2时,3a=2, 9.(1)y=2(3x+5)=6x+10,y是x的一次函数,k=6,b=10. (2)S=15x,S是x的正比例函数,k=15,b=0. 10.(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C. ∵BD平分∠ABC, 故y与x之间的函数关系式为 (2)这是一个一次函数，其中 b=45, 由三角形中角的相关性质可得x 的取值范围是0<x<180. 11.(1)设y= kx,由题意,得100=18k,解得 故用来生产一次性筷子的大树的数量y(万棵)与加工后一次性筷子的数量x(亿双)的函数表达式为 (2)当x=450时, 故生产这些一次性筷子约需要2500万棵大树. 减少的森林面积为2500×0.08=200(平方千米). 故照这样计算，我国的森林面积每年因此将会减少大约200平方千米. 12.(1)如图(1),当0≤t≤4时, 如图(2),当4<t≤6.5时, 2t)=8t-12. 综上所述，S(单位：m²)关于点 P 的运动时间t(单位：s)的函数表达式为 ,当5t=10时,t=2, 故播放结束时t=2+3=5,S=8×5-12=28; 当8t-12=10时, (不符合题意). 故播放结束时展开的画面面积是28m². 第2课时 一次函数中的分段函数 1. C [解析]∵(5.4-2.4)÷(5-3)=1.5(元/小时),∴y=2.4+1.5(x-3)=1.5x-2.1.故选C. 2. C [解析]由题图，得当x>15时，超过15吨的部分，每吨水收费(54-36)÷(20-15)=3.6(元),故若该用户本月用水16吨,应交水费36+3.6×(16-15)=39.6(元). 故选C. 3.2 [解析]∵y=2,∴当. 时， ∵0≤x<1,∴x=± (舍去). 当2x-2=2时,x=2(符合). 4. y=5x y=4x+2 5.(1)由题意可得当0≤x≤7时,y=(1+0.4)x=1.4x;当x>7时,y=(1+0.4)×7+(x-7)×(1.5+1.3)=2.8x-9.8. 综上所述，y关于x的函数表达式为 (2)当x=10时,y=2.8×10-9.8=18.2, 即该市一户某月用水10m³时，应缴水费18.2元. (3)∵26.6>18.2,∴该用户的用水量超过10m³. 令2.8x-9.8=26.6,解得x=13. 故该户这月用水量为13m³. 6. A [解析]根据 确定应代入 中计算，得出y的值为 .故选 A. 7.4或-10 8. y=4x [解析]∵x大于40千克,∴单价为每千克4元.∵数量为x千克,∴y=4x. 9.(1)由题意,得y=30-12x(0≤x≤2.5). (2)由题意,得y=12x-30(2.5<x≤6.5). 10.(1)540 [解析]由题意,得2.7×200=540(元). (2)(200a+972) [解析]由题意,得2.7×(300+60)+[560-(300+60)]a=200a+972,即应缴费(200a+972)元. (3)设丙用户一年支出的天然气费用为y元，则当年用气量不超过360m³时,y=2.7x; 当年用气量超过360m³但不超过660m³时， y=2.7×360+3.3(x-360)=3.3x-216; 当年用气量超过660m³时， y=2.7×360+3.3×(660-360)+(x-660)×(3.3+0.5)=3.8x-546. 11.(1)∵y=(m-1)x'm'+1为一次函数, ∴m-1≠0,|m|=1,解得m=-1, ∴当x<1时,函数的表达式为y=-2x+1. (2)> [解析]当x<1时,y=-2x+1, ∵当x=0时,y的值记为y₁, ∴y₁=-2×0+1=1. 当x≥1时, ∵当x=2时,y的值记为y₂, (3)当x<1时,则y=-2x+1=2,解得 当x≥1时,则 解得x=7. ∴要使输出结果为2，应输入的x值是 或7. 学科网（北京）股份有限公司 $