4.1整式（讲义，知识点&10大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“整式”核心知识点，系统梳理单项式（定义、系数、次数）、多项式（定义、项、次数）及整式的概念，构建从用字母表示数到分析数量关系列整式，再区分整式与分式、根式的知识支架。 资料通过分层设计，知识点解析结合易错点（如含π、负号的系数识别），题型覆盖概念辨析、求值、规律探究等，随学随练即时巩固。以实例辨析培养抽象能力（数学眼光），规律探究题发展推理意识（数学思维），应用题提升数学语言表达，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺。

第四章 整式的加减 4.1 整式 课标要点 1. 在现实情境中理解用字母表示数，能分析简单数量关系，列出单项式、多项式； 2. 理解整式、单项式、多项式定义，分清三者包含关系； 3. 掌握单项式系数、次数；多项式的项、常数项、次数，能正确判定； 4. 能区分整式与分式、根式代数式，辨别单项式、多项式； 5. 会根据实际问题列整式，并代入数值求整式的值。 学习重难点 重点： 1. 单项式定义，准确找出单项式的系数、次数； 2. 多项式定义，分清多项式的各项（带符号）、常数项、最高次数； 3. 区分单项式、多项式，掌握整式判断方法； 4. 根据题意列简单整式，并代入求值。 难点： 1. 含负号、分数、π 的单项式系数识别（π 是常数，不算字母）； 2. 拆分多项式各项时遗漏前面正负符号； 3. 区分 “单项次数” 与 “多项式次数”，常数项次数为 0 易忽略； 4. 快速排除分母含字母、根号带字母的非整式； 5. 从文字应用题中抽象数量关系，正确写出整式。 知识点 单项式 ◆1、单项式的定义： 数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． ◆、判断单项式的方法： （1）单独一个数或一个字母也是单项式. （2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算. （3）单项式数字因数与字母可能一个或多个. （4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． ◆3、单项式的系数、次数 （1）系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． （2）次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． （3）确定单项式的系数及次数时，应注意： ① 圆周率 π 是常数； ② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写； ③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； ④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0. 随学随练 1．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． 2．（25-26七年级上·湖南·期末）下列说法错误的是（   ） A．的系数是 B．是单项式 C．的次数是 D．是一次单项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数、次数和定义，关键是熟练利用知识点进行判断；单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，单独的数字和字母也是单项式. 【详解】解：∵ 单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，单独的数字和字母也是单项式， ∴ 中，的指数为，的指数为，次数为， ∴ 选项C错误，选项A、B、D均正确. 故选：C． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期中）若是关于x，y的五次单项式，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的次数。根据五次单项式的定义，所有变量的指数之和为5，且系数不能为零，由此建立方程求解． 【详解】解：由于该式是关于的五次单项式，因此次数为的指数与的指数之和，即. 解方程得， 所以或． 又因为单项式的系数不能为零，即， 所以， 因此，． 故答案为：． 知识点 多项式 ◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. ◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. （1） 单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就 叫b次a项式． （2）多项式的每一项包含它前面的符号． ◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的； （2）一个多项式的最高次项可以不唯一. （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式. 随学随练 1．下列代数式，0，，，，，中，多项式的个数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】根据多项式是几个单项式的和逐个判断即可． 【详解】解：、、为多项式， 0、、为单项式， 不是整式； 故选A． 【点睛】本题考查多项式的定义，要细致掌握概念并灵活运用是解题的关键，同时注意π不是字母是数字，是易错点． 2．多项式是关于的五次三项式，则的值为（    ） A．5 B． C．5或 D．3 【答案】B 【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，熟知相关定义是解题的关键：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 知识点 整式 （1）单项式和多项式统称整式. （2）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式，但反过来不一定成立. （3）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 随学随练 1．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查单项式与多项式的概念，熟练掌握多项式和单项式的概念，能进行正确的分类是解题的关键． 由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由若干个单项式的和组成的代数式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 题型一 单项式的有关概念 ▌例1 （25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 解题贴士 1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； 2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． ▌对点练1-1下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． ▌对点练1-2 （23-24七年级上·上海·期中）下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． ▌对点练1-3下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【答案】D 【详解】解：单项式的系数是，A错误； 单项式的次数是，B错误； 单项式的系数是，C错误； 单项式的次数是，D正确． 题型二 利用单项式的相关概念求值 ▌例2 若是关于x，y的五次单项式，则常数m，n满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．，m为任意数 【答案】B 【分析】此题考查了单项式的次数和系数．根据单项式系数不为0和次数为5得到，，即可求出答案． 【详解】解：∵是关于x，y的五次单项式， ∴，， 解得，， 故选：B 解题贴士 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. ▌对点练2-1 若﹣ax2yb+1是关于x、y的五次单项式，且系数为﹣，则a、b的值分别是（　　） A．，1 B．﹣，﹣1 C．﹣，2 D．，2 【答案】D 【分析】系数为该式子最前面的数，又是关于x、y的五次单项式可得答案. 【详解】解：系数为，所以a=， 又因为是关于x、y的五次单项式， 则2+b+1=5， 所以b=2， 故选：D. 【点睛】本题考查了单项式的次数与系数，熟悉掌握概念是解决本题的关键. ▌对点练2-1 （25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数的定义即可求解，掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式是关于的九次单项式， ∴， ∴， 故答案为：． ▌对点练2-3 （24-25七年级上·湖南衡阳·期中）已知是关于、的五次单项式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，代数式求值，根据题意可得，，求出的值，再代入代数式计算即可求解，由单项式的有关概念求出的值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于、的五次单项式， ∴，， ∴，， ∴． 题型三 多项式的判断 ▌例3（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 解题贴士 多项式核心：多个单项式相加 / 相减，最少两项；单独一个单项式不是多项式。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式、、、5、、中，多项式有、、，共3个； 故选B． ▌对点练3-2 ；；；；；；0；其中单项式有 个，多项式有___个． 【答案】 4 3 【分析】由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式． 【详解】解：其中单项式有，，，0，共4个； 多项式有，，，共3个． ▌对点练3-3（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的定义解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，，， 即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，； 则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． 题型四 多项式的项、次数、系数 ▌例4（2026·浙江·模拟预测）对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：多项式中，最高次项为，次数为， 故这个多项式的次数是3. 解题贴士 1.找项：拆分每一项时必须带着前面的正负符号，不含字母的项叫常数项。 2求系数：只看每一项字母前面的数字，正负号要一起带上。 3.要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的； ▌对点练4-1 （23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； ▌对点练4-2 （2026·青海西宁·二模）下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【答案】B 【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确； C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． ▌对点练4-3（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）多项式的次数是____________． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据这些单项式中的最高次项的次数，就是这个多项式的次数求解即可，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键． 【详解】解：多项式的次数是， 故答案为：5． 题型五 整式的判断 ▌例5 2代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据整式的定义，判断各代数式分母是否含字母，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：的分母含字母，不是整式，，，，，是单项式，属于整式， 是多项式，属于整式， 综上所述，整式的个数共6个． 解题贴士 单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式. ▌对点练5-1 （25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·江苏扬州·期中）在式子2025，，，，中，整式的个数是________个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的定义． 根据整式的定义，单项式和多项式统称为整式，分母中不含字母，对每个式子进行判断即可． 【详解】解：2025是常数，为单项式，属于整式； 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母含有字母，不是整式； 是多项式，属于整式． 故整式个数为4． 故答案为：4． ▌对点练5-3（25-26七年级上·全国·课后作业）（教材变式）下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ ，4xy，，，，0，，m，． 整式：{      …}； 单项式：{      …}； 多项式：{      …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了单项式、多项式、整式，熟练掌握这些定义是解题的关键． 根据单项式、多项式、整式的定义判断即可． 【详解】解：整式：； 单项式：； 多项式：． 故答案为：；；． 题型六 利用多项式的相关概念求值 ▌例6 如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 解题贴士 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可. ▌对点练6-1 （25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． ▌对点练6-2 （24-25七年级上·湖南永州·阶段检测）已知关于x的多项式是二次三项式，则______. 【答案】 【分析】本题考查多项式的次数问题，由多项式次数为，为此知没有次项，由此知，这时最高次项是，可知的值问题得以解决． 【详解】解：∵关于的多项式是二次多项式， ∴该多项式没有次项，由此知，， ， ∴， 故答案为：． ▌对点练6-3已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 题型七 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 ▌例7（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）已知关于m、n的多项式的次数是6，且与关于m、n的单项式的次数相同． (1)求x、y的值； (2)求该多项式各项的系数之和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了单项式的次数和多项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义． （1）根据单项式的次数和多项式的次数的意义列方程可求x、y的值； （2）由（1）可得多项式，从而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得． 由多项式与单项式的次数相同，可得， 解得． （2）解：由（1）可知，该多项式为， 所以该多项式各项的系数和为． 解题贴士 主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可． ▌对点练7-1 （25-26七年级上·全国·期中）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的次数，单项式的次数，根据单项式的次数为所有字母的指数和，多项式的次数为次数最高项的次数进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴，即， ∴． ▌对点练7-2（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果是关于x、y的六次单项式，求k的值； （2）若是关于x、y的单项式，且系数为8，次数为4，求a、b的值． 【答案】（1）；（2），或 【分析】本题主要考查了单项式、系数与次数，掌握与单项式有关的概念是关键． （1）利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，利用六次单项式列方程求解即可； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是字母指数和，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：（1）由题意，知，且， 所以； （2）由题意，知，， 所以，或． ▌对点练7-3 （23-24七年级上·山西临汾·期中）已知多项式． (1)写出该多项式的第2项的系数和第4项的次数． (2)求这个多项式中各项系数之和． (3)若这个多项式的次数和单项式的次数相同，求k的值． 【答案】(1)第2项的系数为，第4项的次数为2 (2) (3) 【分析】（1）根据多项式的系数及某一项的次数的定义即可求解． （2）先找出各项的系数，再相加即可求解． （3）根据多项式的次数与单项式的次数相等得：，进而可求解． 【详解】（1）解：第2项的系数为，第4项的次数为2． （2）根据题意得： ． （3）多项式的次数为5， 所以， 解得：． 【点睛】本题考查了多项式的系数、次数及单项式的次数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 题型八 多项式中结论开放性问题 ▌例8 （25-26七年级上·全国·课后作业）开放题：至少写出两个只含有字母x，y的多项式，且满足下列条件的多项式为：____________. （1）是五次三项式； （2）每一项的系数均为1或； （3）每一项必须同时含有字母x，y，但不能含有其他字母． （4）不含常数项． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的项、项数与次数．多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，满足条件（1），即最高项的次数为5，满足条件（2），多项式的系数是或，满足条件（3），即多项式中每项都含，不能有其他字母，满足条件（4），即多项式没有常数项． 【详解】解：此题答案不唯一，如，． 故答案为：，． 解题贴士 本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． ▌对点练8-1 有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：__． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据多项式的项，组成多项式项的次数的概念即可求解． 【详解】解：多项式中的次数为3，的次数为3； 故答案为： 【点睛】本题考查多项式中每项的次数，解题的关键是掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·全国·单元复习）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3． （1）这个多项式最多有________项． （2）在（1）的条件下，若此时这个多项式各项系数和为0，则这个多项式可能为________________（写出一个即可）． 【答案】(1)四 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，解题的关键是理解多项式的定义． （1）根据多项式的定义分析即可得； （2）根据多项式的系数、次数的定义即可得． 【详解】（1）解：因为这个多项式含有，每项的次数都是，且 所以当它同时含有，，，时，它的项数最多， 即这个多项式最多有四项； （2）满足要求的多项式为：（答案不唯一）． ▌对点练8-3（26-27七年级上·全国·课前预习）写出同时满足下列个条件的一个多项式： 该多项式含有字母和； 该多项式第一项是常数项； 该多项式是三次四项式； 该多项式各项系数和为零． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的相关知识，根据题意正确写出符合要求的多项式是解题的关键． 根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放题，答案不唯一． 【详解】解：写出同时满足所给个条件的一个多项式如下： （答案不唯一）． 题型九 单项式中的规律探究问题 ▌例9 观察下列关于 的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第2024个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题分别找出单项式系数和次数的规律，得到第n个单项式的表达式，代入即可求解． 【详解】解：∵第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， …… ∴第 个单项式为， 当时，系数为，次数为， 因此第个单项式是． 解题贴士 对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. ▌对点练9-1 9．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从系数、的次数两个部分分析规律，整合后即可得到第个代数式． 【详解】解：由题可知，系数分别是1，，，，，， 即第1项系数为1，第2项系数为，第3项系数为，第4项系数为，第5项系数为， 则系数规律为； 的次数分别是，，，，，， 即第1项次数为，第2项次数为，第3项次数为，第4项次数为，第5项次数为， 则的次数规律为； 第个代数式为． ▌对点练9-2 （2026·河南南阳·二模）一组按规律排列的代数式为：，，，，，，第个代数式为 ． 【答案】 【分析】分别观察已知代数式中分母和字母次数的变化规律，归纳得到一般结论 【详解】解：观察已知代数式可得： 第个代数式为， 第个代数式为， 第个代数式为， ... 由此归纳可得，第个代数式中，的次数为，分母为， 因此第个代数式为 ▌对点练9-3（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． （1）通过观察可得到答案； （2）根据题意得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为， 得出第n个单项式为，然后将代入计算即可； （3）根据题意即可求解． 【详解】（1）解：依题意得，故第3个单项式的系数为，第3个单项式的字母为， ∴第3个单项式为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 第n个单项式的系数为，第n个单项式的字母为， ∴第n个单项式为， ∴当时，， 故答案为：； （3）由（2）得第n个单项式应该是， 故答案为：． 题型十 多项式中的规律探究问题 ▌例10 有一组多项式：，，，，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第个多项式为________． 【答案】 【分析】观察已知多项式，得出一般性规律，确定出第n个多项式即可． 【详解】解：根据题意， ∵，，，，．．．， ∴第n个多项式为：； 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式，找出正确的规律是解本题的关键． 解题贴士 对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. ▌对点练10-1有一组多项式：a－b2，a3＋b4，a5－b6，a7＋b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为________，第n个多项式为________． 【答案】 a19＋b20 a2n－1＋(－1)nb2n 【详解】分析：首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：a2n－1＋(－1)nb2n，然后将n=10代入，即可求得答案. 详解：由题意可知，第10个多项式为：a19＋b20；第n个多项式为：a2n－1＋(－1)nb2n. 故答案为a19＋b20；a2n－1＋(－1)nb2n. 点睛：此题属于一道规律性题目.此题难度系数并不大，注意找到第n个多项式为：a2n－1＋(－1)nb2n是解答此题的关键. ▌对点练10-2有一个多项式为a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种规律写下去． （1）写出它的第六项和最后一项； （2）这个多项式是几次几项式？ 【答案】（1）， ；（2）10次11项式． 【详解】试题分析：（1）根据多项式的项可以得到奇数项是正，偶数项是负，b的指数是项的序号减去1，而每项的指数都是10，据此即可判断． （2）根据（1）的规律应该有11项，每项的次数都是10． 试题解析：(1)第六项：−a5b5，最后一项：b10； (2)十次十一项式. 点睛：本题考查了多项式的有关概念，解题的关键是要理解多项式的项、次数、项数等概念的意义. ▌对点练10-3（2024七年级上·全国·专题练习）观察多项式的构成规律，并回答下列问题： (1)它的第100项是什么？ (2)它的第为正整数项是什么？ (3)当时，求前2014项的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式规律探究， 弄清题中规律是解本题的关键 ． （1） 根据多项式得出规律， 确定出第 100 项即可； （2） 写出得出的规律即可； （3） 把代入多项式计算即可求出 ． 【详解】（1）解：根据题意得： 第 100 项为； （2）解：根据题意得： 第项为； （3）解：把代入得：个相加 ． 基础通关 1．（2024·广东湛江·模拟预测）单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单项式次数的定义，计算单项式中所有字母的指数和即可得到答案． 【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴该单项式的次数为． 2．（25-26七年级上·福建宁德·期中）下列代数式中，属于多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．注意不要与单项式的定义相混淆． 根据多项式的定义判定即可． 【详解】解：∵几个单项式的和叫做多项式， 故选项C中是单项式a和的和，符合定义， 故选：C． 3．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【分析】本题考查多项式与单项式的基本概念，包括多项式的次数，项数定义，单项式的系数，次数定义，根据概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、多项式的最高次项次数为2，共3项，是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； B、是单项式与的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意； C、单项式的数字因数为，因此系数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、∵单项式中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为，∴该单项式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意． 4．下列说法错误的是（    ） A．由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式． B．几个单项式的和叫做多项式． C．单项式与多项式统称整式． D．一个数字不是一个单项式，它的次数是0． 【答案】D 【分析】根据单项式、多项式、整式的定义辨析各选项的正误． 【详解】A．由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，因为单独一个数或一个字母可以看作数与字母乘积的特殊形式（如，），故该选项不符合题意； B．几个单项式的和叫做多项式，该说法符合定义，不符合题意； C．单项式与多项式统称整式，该说法符合定义，不符合题意； D．单独的一个数字是单项式，它的次数是0，故本选项说说法错误，符合题意． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 【答案】3 【分析】本题考查单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．由单项式的概念，即可判断． 【详解】解：代数式（1）是数字与字母的积，是单项式； （2）是单独字母，是单项式； （3）是单独数字，是单项式； （4）分母有字母，是分式； （5）是多项式； （6）是多项式； （7）分母有字母，是分式； （8）是多项式； （9）分母有字母，是分式； 故单项式有3个； 故答案为：3． 6．（25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是______ ，次数是______ ． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的数字因数是，因此它的系数是， 单项式中字母的指数为，字母的指数为，所有字母的指数和为，因此它的次数是． 7．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）式子 ，，，，，中，多项式有___个． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义，分母中不含变量且变量指数为非负整数的代数式为多项式，逐个判断给定式子即可，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：式子可化为，分母为常数，故为多项式； 中系数为字母，非常数，为单项式，故不是多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式， 因此多项式有，，，共3个， 故答案为：3． 8．多项式的项是________，次数是________． 【答案】 ，， 3 【分析】多项式中每个单项式都是该多项式的项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：多项式的项是，，； 的次数是， 的次数是， 是常数项，次数为， ∴该多项式的次数为3． 素养提升 9．（24-25七年级上·吉林·期末）若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的项与系数的概念，熟练掌握“多项式不含某次项时，该项的系数为0”是解题的关键．根据多项式不含某次项则对应项系数为0，求出a、b的值，再计算． 【详解】解：∵多项式不含三次项， ∴， ∴． ∵多项式不含一次项， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 10．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别归纳系数和的指数与项数的关系，得到第个代数式的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 11．（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 根据题意得到，或，求出或，即可得到答案． 【详解】解：多项式是一个关于x，y的三次三项式， ，或， 或， 故答案为：或． 12．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）写出一个关于字母、的多项式，使其次数是，项数是：__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，多项式的次数和多项式的项，掌握相关概念是解题的关键．根据多项式次数和项数的定义，构造一个含有字母和的多项式，项数为，且最高次数为即可． 【详解】解：由于多项式含有字母、，次数是，即最高项次数为，项数是， 该多项式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 13．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知关于x，y的多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，则________． 【答案】1 【分析】根据多项式是六次四项式，可得，根据单项式的次数与这个多项式的次数相同，可得，两式联立即可得到m、n的值，代入计算即可求解．此题考查了解一元一次方程及单项式与多项式的定义和性质．解题的关键是掌握单项式和多项式的相关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 【详解】解：由题意，得， 解得． 因为单项式的次数与多项式的次数相同， 所以，即， 解得． 所以， 故答案为：1． 迁移创新 14．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1)见解析 (2)二 (3)4， 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可； （2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案； （3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可． 【详解】（1）解：根据多项式以及单项式定义可得： （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 15．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 16．已知式子． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出次数最高的项． 【答案】(1)，常数项为 (2)，最高次项为 【分析】此题主要考查了多项式的定义． （1）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案； （2）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案． 【详解】（1）解： 是关于的一次式， ， 解得， ； （2）解： 关于的三次二项式 ， 解得， 最高次项为：． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）已知一个整式为． (1)若该整式是关于x的一次式，求a的值，并写出此时的一次式； (2)若该整式是二次二项式，求a的值，并写出此时的二次二项式； (3)若该整式是二次式，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】(1）由整式为一次式，得到二次项系数为求出的值，即可确定出一次式； (2）由整式为二次二项式，得到常数项为求出的值，即可确定出二次二项式； (3）由整式为二次式，得到二次项系数不为，求出的范围即可． 【详解】（1）解：因为该整式是关于x的一次式， 所以， 所以， 此时的一次式为． （2）解：因为该整式是二次二项式， 所以且， 所以， 此时的二次二项式为． （3）解：因为该整式是二次式， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了多项式，弄清题意是解题的关键． 18．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 19．（2024·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查多项式的相关概念，包括多项式的次数、项数以及不含特定项的条件，解决此类问题的关键是理解多项式中每一项的次数，并根据题目给出的条件建立方程． （1）多项式为七次四项式，这意味着多项式中次数最高的项的次数是7，且多项式有四项，由此可得出的次数是，的次数是3，的次数是5，的次数是2，的次数是0，由多项式的次数是7可得 ，得出m的值，同时为保证多项式是四项式可得，得出n的值即可； （2）根据题意，多项式中含有三次项有和，为了使多项式不含三次项，需满足：，，由此可得a和b的值，进而求得的值． 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得． （2）根据题意可得：， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减 4.1 整式 课标要点 1. 在现实情境中理解用字母表示数，能分析简单数量关系，列出单项式、多项式； 2. 理解整式、单项式、多项式定义，分清三者包含关系； 3. 掌握单项式系数、次数；多项式的项、常数项、次数，能正确判定； 4. 能区分整式与分式、根式代数式，辨别单项式、多项式； 5. 会根据实际问题列整式，并代入数值求整式的值。 学习重难点 重点： 1. 单项式定义，准确找出单项式的系数、次数； 2. 多项式定义，分清多项式的各项（带符号）、常数项、最高次数； 3. 区分单项式、多项式，掌握整式判断方法； 4. 根据题意列简单整式，并代入求值。 难点： 1. 含负号、分数、π 的单项式系数识别（π 是常数，不算字母）； 2. 拆分多项式各项时遗漏前面正负符号； 3. 区分 “单项次数” 与 “多项式次数”，常数项次数为 0 易忽略； 4. 快速排除分母含字母、根号带字母的非整式； 5. 从文字应用题中抽象数量关系，正确写出整式。 知识点 单项式 ◆1、单项式的定义： 数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． ◆、判断单项式的方法： （1）单独一个数或一个字母也是单项式. （2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算. （3）单项式数字因数与字母可能一个或多个. （4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． ◆3、单项式的系数、次数 （1）系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． （2）次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． （3）确定单项式的系数及次数时，应注意： ① 圆周率 π 是常数； ② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写； ③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； ④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0. 随学随练 1．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南·期末）下列说法错误的是（   ） A．的系数是 B．是单项式 C．的次数是 D．是一次单项式 3．（25-26七年级上·福建泉州·期中）若是关于x，y的五次单项式，则m的值为____． 知识点 多项式 ◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. ◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. （1） 单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就 叫b次a项式． （2）多项式的每一项包含它前面的符号． ◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的； （2）一个多项式的最高次项可以不唯一. （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式. 随学随练 1．下列代数式，0，，，，，中，多项式的个数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．多项式是关于的五次三项式，则的值为（    ） A．5 B． C．5或 D．3 知识点 整式 （1）单项式和多项式统称整式. （2）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式，但反过来不一定成立. （3）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 随学随练 1．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 题型一 单项式的有关概念 ▌例1 （25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题贴士 1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉； 2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． ▌对点练1-1下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 （23-24七年级上·上海·期中）下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-3下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 题型二 利用单项式的相关概念求值 ▌例2 若是关于x，y的五次单项式，则常数m，n满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．，m为任意数 解题贴士 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. ▌对点练2-1 若﹣ax2yb+1是关于x、y的五次单项式，且系数为﹣，则a、b的值分别是（　　） A．，1 B．﹣，﹣1 C．﹣，2 D．，2 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么______． ▌对点练2-3 （24-25七年级上·湖南衡阳·期中）已知是关于、的五次单项式，求的值． 题型三 多项式的判断 ▌例3（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 多项式核心：多个单项式相加 / 相减，最少两项；单独一个单项式不是多项式。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌对点练3-2 ；；；；；；0；其中单项式有 个，多项式有___个． ▌对点练3-3（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 题型四 多项式的项、次数、系数 ▌例4（2026·浙江·模拟预测）对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 解题贴士 1.找项：拆分每一项时必须带着前面的正负符号，不含字母的项叫常数项。 2求系数：只看每一项字母前面的数字，正负号要一起带上。 3.要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的； ▌对点练4-1 （23-24七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （2026·青海西宁·二模）下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 ▌对点练4-3（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）多项式的次数是____________． 题型五 整式的判断 ▌例5 2代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 解题贴士 单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式. ▌对点练5-1 （25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 ▌对点练5-2 （25-26七年级上·江苏扬州·期中）在式子2025，，，，中，整式的个数是________个． ▌对点练5-3（25-26七年级上·全国·课后作业）（教材变式）下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ ，4xy，，，，0，，m，． 整式：{      …}； 单项式：{      …}； 多项式：{      …}． 题型六 利用多项式的相关概念求值 ▌例6 如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 解题贴士 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可. ▌对点练6-1 （25-26七年级上·江西吉安·期末）多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． ▌对点练6-2 （24-25七年级上·湖南永州·阶段检测）已知关于x的多项式是二次三项式，则______. ▌对点练6-3已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 题型七 综合利用单项式、多项式的相关概念求值 ▌例7（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）已知关于m、n的多项式的次数是6，且与关于m、n的单项式的次数相同． (1)求x、y的值； (2)求该多项式各项的系数之和． 解题贴士 主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可． ▌对点练7-1 （25-26七年级上·全国·期中）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求m，n的值． ▌对点练7-2（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果是关于x、y的六次单项式，求k的值； （2）若是关于x、y的单项式，且系数为8，次数为4，求a、b的值． ▌对点练7-3 （23-24七年级上·山西临汾·期中）已知多项式． (1)写出该多项式的第2项的系数和第4项的次数． (2)求这个多项式中各项系数之和． (3)若这个多项式的次数和单项式的次数相同，求k的值． 题型八 多项式中结论开放性问题 ▌例8 （25-26七年级上·全国·课后作业）开放题：至少写出两个只含有字母x，y的多项式，且满足下列条件的多项式为：____________. （1）是五次三项式； （2）每一项的系数均为1或； （3）每一项必须同时含有字母x，y，但不能含有其他字母． （4）不含常数项． 解题贴士 本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． ▌对点练8-1 有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为： ． ▌对点练8-2 （25-26七年级上·全国·单元复习）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3． （1）这个多项式最多有________项． （2）在（1）的条件下，若此时这个多项式各项系数和为0，则这个多项式可能为________________（写出一个即可）． ▌对点练8-3（26-27七年级上·全国·课前预习）写出同时满足下列个条件的一个多项式： 该多项式含有字母和； 该多项式第一项是常数项； 该多项式是三次四项式； 该多项式各项系数和为零 ． 题型九 单项式中的规律探究问题 ▌例9 观察下列关于 的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第2024个单项式是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. ▌对点练9-1 9．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． ▌对点练9-2 （2026·河南南阳·二模）一组按规律排列的代数式为：，，，，，，第个代数式为 ． ▌对点练9-3（25-26七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： ，， ，，，，… (1)第3个单项式应该是 ． (2)按此规律排列，次数是7的单项式的系数应该是 ． (3)第n个单项式应该是 ． 题型十 多项式中的规律探究问题 ▌例10 有一组多项式：，，，，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第个多项式为________． 解题贴士 对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. ▌对点练10-1有一组多项式：a－b2，a3＋b4，a5－b6，a7＋b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为________，第n个多项式为________． ▌对点练10-2有一个多项式为a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种规律写下去． （1）写出它的第六项和最后一项； （2）这个多项式是几次几项式？ ▌对点练10-3（2024七年级上·全国·专题练习）观察多项式的构成规律，并回答下列问题： (1)它的第100项是什么？ (2)它的第为正整数项是什么？ (3)当时，求前2014项的和． 基础通关 1．（2024·广东湛江·模拟预测）单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·福建宁德·期中）下列代数式中，属于多项式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 4．下列说法错误的是（    ） A．由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式． B．几个单项式的和叫做多项式． C．单项式与多项式统称整式． D．一个数字不是一个单项式，它的次数是0． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式：（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9）中，则其中单项式有___________个 6．（25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是______ ，次数是______ ． 7．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）式子 ，，，，，中，多项式有___个． 8．多项式的项是________，次数是________． 素养提升 9．（24-25七年级上·吉林·期末）若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 10．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 12．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）写出一个关于字母、的多项式，使其次数是，项数是：__________．（写出一个即可） 13．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知关于x，y的多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，则________． 迁移创新 14．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 15．（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 16．已知式子． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出次数最高的项． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）已知一个整式为． (1)若该整式是关于x的一次式，求a的值，并写出此时的一次式； (2)若该整式是二次二项式，求a的值，并写出此时的二次二项式； (3)若该整式是二次式，求a的取值范围． 18．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 19．（2024·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 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