3 勾股定理的应用 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

3 勾股定理的应用 基础巩固提优 1.如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西50°方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东40°方向，以每小时16 海里的速度航行.1小时后两船分别位于点 A 与B 处，此时两船相距( ). A. 12海里 B. 16海里 C. 20海里 D. 24海里 2.智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本.某智能物流机器人在仓库中需从货架点A出发，先向正东方向行驶6米到达点 B，再向正北方向行驶8米到达点 C.为优化路线，若机器人从点 A 沿直线方向直接行驶到点C，则线段AC 的长为( ). A. 7 米 C. 17米 B. 10米 D.20米 3.丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( ). A. 4米 B.8 米 C. 10米 D. 12米 4.某型号推拉式窗户如图(1)所示，当窗户关闭时点 A 与点 B 重合.窗户拉开时,如图(2),AB=15cm,此时,窗户的最低点 B 相对于未开启时的最低点 A 升高了2cm,则该窗户的高OA 为( ). A. 57cm B. 56.25 cm C. 54cm D. 58.25 cm 5.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(门槛)一尺，不合四寸，问门广几何?其大意：如图，推开双门(大小相同)，双门间隙CD=4寸，点C，点D与门槛AB 的距离CE=DF=1尺(1尺=10寸),求AB 的长. 思维拓展提优 6.为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落(鞋柜、衣柜与地面均无缝隙)，在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面.已知该圆形扫地机有如下5款尺寸(直径):28 cm,30cm,34cm,42cm,48cm,则其中有 款扫地机可以购买 7.第二十届中国智能交通大会是由中国智能交通协会主办的大型行业活动，于2025年在海南省海口市举办.大会涵盖城市智能交通、道路交通控制与优化、人工智能+交通技术等领域论坛.会议期间，海口市某主干道严格限速80km/h，如图，一辆搭载大会专用通行标识的新能源汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面AI测速仪A处的正前方60m的C处，过了4s，该汽车到达B 处，此时测得该汽车与 AI测速仪间的距离为100m.(1m/s=3.6km/h) (1)求 BC 的长. (2)这辆新能源汽车超速了吗? 8.如图，A，B两村庄相距3千米，C为供气站,AC=2.4千米,BC=1.8千米,为了方便供气，现有两种方案铺设管道. 方案一：从供气站 C 直接铺设管道分别到A 村和B村; 方案二：过点C 作AB 的垂线，垂足为 H，先从点 C 铺设管道到点 H 处，再从点 H 处分别向A，B两村铺设. (1)试判断△ABC 的形状，并说明理由. (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短?请通过计算说明. 9.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节.某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD 的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米.求风筝的垂直高度 CE. 延伸探究提优 10.如图，有一个长方体纸盒，某数学小组研究由该长方体纸盒的底面点 A 到长方体纸盒上与点A 相对的点B 的表面最短距离，若该长方体纸盒的底面长 AC 为 12 cm,宽 CE为9 cm,高 DC 为5cm,请你帮助该小组求出由点 A 到点 B 的表面最短距离(精确到1cm,参考数据: 11.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A 飞向点B，已知点C 为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m,又AB=1000m,飞机中心周围500m以内会受到洒水影响. (1)着火点C 受洒水影响吗?为什么? (2)若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13s，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭. 12.图(1)中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图(2)，其中.AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC 的长度为x 尺,可列方程为 . 3 勾股定理的应用 1. C [解析]由题意,得∠APB=90°. ∵AP=12×1=12(海里),BP=16×1=16(海里), ∴由勾股定理，得AB=20海里.故选C. 2. B [解析]根据题意,得AB=6米,BC=8米,∠ABC=90°, ∴AC=10米.故选 B. 思路引导 根据题意可得 AB=6 米,BC=8 米,∠ABC=90°，据此利用勾股定理求解即可. 3. B[解析]设旗杆的高为x米，则绳子的长为(x+2)米.根据题意，得 解得x=8. 故旗杆的高为8米.故选 B. 4. B [解析]根据题意,得AB=15cm,AC=2cm, 令(OB=x cm,则OC=(x-2) cm,由勾股定理，得 即 解得 故选 B. 思路引导 结合勾股定理，先计算出BC²的值,令OB=x cm,则OC=(x-2) cm,可根据 得方程，解出方程即可. 5.设AE=BF=x寸,则AC=(x+2)寸. 解得x=24, 则AB=24+24+4=52(寸).故AB的长为52寸. 6.3[解析]如图过点A，B分别作墙的垂线，交于点 C， 则，AC=108-80=28(cm),BC=80-59=21(cm),在 Rt△ABC中, 即28²+21²=AB²,∴AB=35cm. ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于 AB 长， ∴小洪可以购买的扫地机尺寸(直径)可以为28 cm，30cm,34 cm,共3款. 7.(1)在 Rt△ABC中,AC=60m,AB=100m, 由勾股定理可得 ,∴BC=80m. (2)∵BC=80m, ∴该汽车的速度为 72(km/h).∵72km/h<80km/h, ∴这辆新能源汽车没有超速. 8.(1)△ABC是直角三角形.理由如下: 是直角三角形. (2)∵△ABC的面积 (千米). ∵AC+BC=2.4+1.8=4.2(千米),CH+AB=1.44+3=4.44(千米),4.2千米<4.44千米, ∴方案一铺设的管道较短. 9.在 Rt△BDC 中,由勾股定理,得 即CD=20米, ∴EC=CD+DE=CD+AB=20+1.7=21.7(米), 即风筝的垂直高度 CE 为21.7米. 10.展开方法有三种:如图(1),连接AB,在 Rt△ACB 中,根据勾股定理，得 如图(2),连接AB,在 Rt△AEB 中,根据勾股定理,得 如图(3),连接AB,在 Rt△ADB 中,根据勾股定理,得 因为340<370<466,所以由点 A 到点 B 的表面最短距离是图(1)的情况,此时AB≈18cm. 故由点 A 到点 B 的表面最短距离约为18 cm. 11.(1)着火点 C 受洒水影响.理由如下： 如图,过点C作CD⊥AB,交AB 于点D. 由题意,得AC=600m,BC=800m,AB=1000m. C是直角三角形， ∴600×800=1000CD,∴CD=480m. ∵飞机中心周围500m以内会受到洒水影响， ∴着火点C 受洒水影响. (2)如图,以点 C 为圆心,500 m为半径作圆,交 AB 于点E,F. 当EC=FC=500m时,飞机正好喷到着火点C. ∵CE=CF,CD⊥EF,∴DE=DF. 在 Rt△CDE 中, ∴ED=140m,∴EF=280m. ∵飞机的速度为10m/s,∴280÷10=28(s). ∵28s>13s,∴着火点C 能被扑灭. [解析]在 Rt△AB'C 中,由勾股定理，得 即 学科网（北京）股份有限公司 $