10.5 带电粒子在电场中的运动 提升训练 -2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

**基本信息** 以带电粒子在电场中的运动模型为核心，按恒定电场加速/减速、匀强电场类平抛、周期性电场偏转、周期性电场直线运动四层次递进，实现从单一模型到综合应用的知识巩固，培养物理观念与科学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |恒定电场加速/减速|电场力做功、动能定理、电容器动态分析|基础选择+计算，如密立根油滴实验题，强化运动与相互作用观念| |匀强电场类平抛|类平抛运动规律、电场力与运动合成|结合细胞膜、细胞仪情境，如第5题图像分析，培养模型建构能力| |周期性电场偏转|交变电压下的运动时间、速度合成|多选+计算，如第8题电子在交变电场中运动，提升科学推理能力| |周期性电场直线运动|直线加速器、周期性电场中的直线运动|综合题如第12题加速器问题，涉及动量与能量综合，深化科学论证|

带电粒子在电场中的运动（运动模型）专练 1、 带电粒子在恒定的电场中做加速（或减速）运动 1．（2026春•琼山区校级期末）如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、P点。平行板电容器充满电，与电源断开。由O点静止释放的电子恰好能运动到P点。现将C板向右平移到P′点，则由O点静止释放的电子（　　） A．运动到P点返回 B．运动到P和P′点之间返回 C．运动到P′点返回 D．穿过P′点 2．（2026•金华模拟）离子推进器是用电场将等离子加速后喷出而获得前进动力的，如图所示：进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（离子初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束。已知每个正离子质量为m，电荷量为q，单位时间内飘入的正离子数目为n，则在加速过程中推进器获得恒定的推力F为（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•福州校级期末）美国科学家密立根通过油滴实验首次精确地测出了电子的电荷量，油滴实验的原理如图所示，两块水平放置的平行金属板与电源相连，上、下板分别带正、负电荷，油滴从喷雾器喷出后，由于摩擦带负电，经上板中央小孔落到两板间的匀强电场中，通过显微镜可以观察到它运动的情况，两金属板间的距离为d。（忽略油滴之间的相互作用力和空气对油滴的浮力及阻力） （1）调节两金属板间的电压，当U＝U0时，观察到某个质量为m1，的油滴恰好匀速竖直下落，求该油滴所带的电荷量。 （2）若油滴进入电场时的初速度可以忽略，当两金属板间的电势差U＝U1时，观察到某个质量为m2的油滴进入电场后做匀加速运动，经过时间t运动到下极板，求此油滴所带的电荷量。 4．（2026•松江区二模）飞行时间质谱仪是现代化学、生物学与材料科学的重要分析工具。 如图为飞行时间质谱仪的简化原理图：真空环境中，粒子源P同时释放含甲、乙离子的混合粒子束（初速度可忽略），经过电压为U0的强加速电场后（加速时间可忽略），进入边长为L的正方形漂移区，最终到达紧靠在漂移区右侧的探测器Q。已知甲离子的质荷比为k1，乙离子的质荷比为k2，且k2＞k1。（质荷比为离子质量与电荷量之比，粒子间的相互作用忽略不计） （1）求甲、乙离子到达探测器Q的飞行时间差。（计算） （2）若要增大甲、乙离子的飞行时间差以提高质谱仪的分辨率，可行的措施是 　 　 。（多选） A.增大加速电场的电压U0 B.减小加速电场的电压U0 C.增大漂移区长度L D.减小漂移区长度L （3）若在漂移区的M、N板间加上偏转电压U1，请分析说明甲、乙离子的运动轨迹是否重合。（论证） 2、 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动 5．（2026•江津区校级模拟）细胞膜是由磷脂双分子层构成的富有弹性的半透膜（如图甲所示）。设运送粒子时，细胞膜内上、下表面的电荷量为定值，此时可将细胞膜视为面积很大的平行板电容器（如图乙所示），其间电场可视为匀强电场。某正粒子只在电场力作用下从膜的一个表面由静止开始运动到另一个表面，该过程中粒子运动的加速度大小a、运动时间t、到达另一表面时速度大小v、电场力做功W与膜两表面距离d的关系图像正确的是（　　） A．B．C．D． 6．（2026春•莎车县期末）如图所示，水平放置的平行金属板长为2d，两板间距离为d，在两板间加上电压U。一质量为m、带正电荷量为q的粒子，紧贴上极板从左端以水平初速度进入两板间，恰能从下极板的右端飞出两板间，不计粒子的重力，求： （1）粒子在两板间运动时的加速度大小； （2）粒子在平行金属板中运动的时间； （3）粒子进入两板间的初速度大小。 7．（2026•江西模拟）如图为某款细胞仪对细胞进行分类收集的原理图。含有不同类型细胞的小液滴从喷嘴喷出后穿过激光束、充电环时被充电，不同类型的细胞分别带上正、负电荷，在电极板间水平向右的匀强电场中发生偏转，最终被分别收集在A、B收集管中。下列说法正确的是（　　） A．带正电荷细胞的液滴会被收集在A收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能增加 B．带正电荷细胞的液滴会被收集在B收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能增加 C．带负电荷细胞的液滴会被收集在A收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能减小 D．带负电荷细胞的液滴会被收集在B收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能减小 3、 带电粒子在周期性变化的电场中偏转 （多选）8．（2024秋•眉山期末）如图甲所示，长为L的两块正对金属板A、B水平放置，两板接上如图乙所示随时间变化的交变电压UAB，电子流沿中心线OO′从O点以初速度射入板间，电子都不会碰到极板，已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A．两板间距 B．电子在t＝0时刻从O点射入时一定从中心线离开电场 C．电子在时刻从O点射入时偏离中心线距离离开电场 D．电子无论在哪一时刻从O点射入，离开电场时的速率一定为v0 9．（2025秋•济南月考）真空示波管的示意图如图甲所示，电子从灯丝K逸出（初速度为零），经灯丝与A板间的加速电压U1加速后，从A板中心孔沿M、N板的中心线KO射出，然后进入由两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入偏转电场时的速度与电场方向垂直，并恰好从金属板M的右边缘射出，打在荧光屏上的P点。已知两板间的距离为d，板长为L1，板右端到荧光屏的距离为L2，且L1＝d，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子受到的重力。 （1）求M、N两板间的电压大小U2； （2）求电子打在P点时的动能Ek； （3）若偏转电场两板间的电压按如图乙所示周期性变化，偏转电场的周期T与电子在偏转电场中运动的时间t满足tT（n＝1，2，3，…），要使电子经加速电场加速后，在t＝0时刻进入偏转电场后仍然打在荧光屏上的P点，试确定偏转电场电压U0与周期T之间的关系。 10．（2025秋•小店区校级月考）如图甲所示，平行金属板M、N水平固定放置，两板间加有如图乙所示的周期性变化的电压，M、N板右侧的BAC区域内有竖直向上的匀强电场，M、N板的右端均在竖直边AB上，A点到M板的距离为h，∠A＝37°质量为m、电量大小为e的电子由静止开始，经电压也为U0的电场加速后，连续不断地沿与M、N板平行的方向从两板正中间射入两板之间，所有电子都能从两板间飞出，且在两板间运动的时间均为2t0，t＝0时刻射入M、N板间的电子恰好从M板的右边缘飞出，已知U0，其中m，e，h，t。为已知量，不计电子的重力，求： （1）金属板的板长； （2）M、N板间的距离； （3）要使所有的电子均不能从AC边射出，BAC区域内的匀强电场的电场强度至少多大； （4）在（1）（2）的条件下，若将BAC区域改为垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，已知点A到M、N板右端的水平距离为0（即电子从板右端射出后立即进入磁场），AC的长度足够长，求从AC边界射出磁场的电子占电子数量的百分比。 11．（2025春•黄石期末）如图甲所示，在xOy坐标系中，在第Ⅱ象限放置了粒子射线管，粒子射线管由平行于x轴的平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成、细管C到两板的距离相等，且开口在y轴上（图中细管C与两板绝缘）。粒子源P靠近在A极板下方的左端，可以斜向下沿某一方向发射初速度为v0的带电粒子。A、B板长为L，当A、B板加上某一电压时，带电粒子刚好能以的速度水平进入细管C且以相同速度水平射出。然后进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中做半径为的匀速圆周运动，静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心O，且粒子经过处的电场强度大小均为。之后带电粒子垂直x轴进入第Ⅳ象限。第Ⅳ象限内存在电场强度大小不变、方向水平且随时间呈周期性变化的电场，若从此刻为计时零点，电场变化关系如图乙（图中，T为已知值，规定沿x轴正方向为电场正方向）。已知带电粒子的质量为m，重力不计。忽略电场的边缘效应。求： （1）带电粒子的电性和电荷量q； （2）金属板A、B间的电势差UAB。 （3）当t＝4T时，α粒子的坐标。 四、带电粒子在周期性变化的电场中做直线运动 （多选）12．（2026•德保县二模）近20多年来，中国的粒子加速器发展迅速，在规模和应用方向上走进了世界先进行列。加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用。如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管（漂移管）组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106m/s，进入漂移管E时速度为1×107m/s，电源频率为1×107Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的，质子的荷质比取1×108C/kg，则（　　） A．第n个漂移管与第n﹣1个漂移管的长度之比为n：（n﹣1） B．漂移管B的长度0.4m C．相邻漂移管间的加速电压为6×104V D．漂移管B之前还有9个漂移管 13．（2026•九龙坡区校级模拟）如图1所示，水平平行正对的两金属板M、N间加有如题6图2所示的电压。0～t0时间段内，一质量为m的带电油滴（可视为质点）静止在两板正中间P处。t＝2.5t0时刻，该油滴恰好能到达某金属板。不计空气阻力，重力加速度为g，油滴的质量与电荷量保持不变，则M、N两板的间距为（　　） A． B．gt2 C． D．2gt2 14．（2025秋•天津期中）某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，为了能让质子进入癌细胞，首先要实现质子的高速运动，该过程需要一种被称作“粒子加速器”的装置来实现。质子先被加速到较高的速度，然后轰击肿瘤并杀死癌细胞。如图所示，来自质子源的质子（初速度为零），经加速器加速后，形成细柱形的质子流。已知时间t内打在肿瘤上的质子数为N，加速器的加速电压为U，质子的质量为m，电荷量为e。求： （1）质子离开加速器时速度大小； （2）质子束的等效电流。 15．（2025秋•青秀区校级月考）在真空中存在着方向竖直向上、足够大且周期性变化的匀强电场E。将一个质量为m带电量为q（q＞0）的小球（可视为质点），从电场中的P点由静止释放，同时开始计时，小球先向上运动，经时间T后，小球恰好回到P点。已知电场的周期为T＝2t0，规定竖直向上为正方向，重力加速度为g，求： （1）匀强电场E的大小及小球上升的最大高度h； （2）已知t＝nt0（n取1，2，…），试确定小球t时刻的速度大小。 答案或解析 1、 带电粒子在恒定的电场中做加速（或减速）运动 1．（2026春•琼山区校级期末）如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、P点。平行板电容器充满电，与电源断开。由O点静止释放的电子恰好能运动到P点。现将C板向右平移到P′点，则由O点静止释放的电子（　　） A．运动到P点返回 B．运动到P和P′点之间返回 C．运动到P′点返回 D．穿过P′点 【分析】根据题意设置条件，结合动能定理，电容器板间电场的决定因素（电容器的动态分析问题）等知识分析解答。 【解答】解：设A、B两板间的距离为d1，B、C两板初始的间距为d2，A、B板间的电场强度为E1，B、C板间的电场强度为E2。电子从O点由静止释放，在A、B间的电场中受电场力加速，穿过M点进入B、C间的电场后，电场力方向与运动方向相反，电子做减速运动，恰好运动到P点时速度减为0。对该过程用动能定理可得eE1d1﹣eE2d2＝0；由于三块带电金属薄板的总带电量保持不变，A、B构成的电容器与B、C构成的电容器的带电量均保持恒定。对于平行板电容器，当带电量Q不变时，板间电场强度满足，其中σ为极板的面电荷密度，ε0为真空介电常数，S为极板正对面积。可见板间场强E仅与面电荷密度有关，和板的间距无关，因此将C板向右平移到P'后，A、B间的场强E1不变，B、C间的场强E2也保持不变。C板右移后电子的运动过程电子从O点再次由静止释放，在A、B间加速的过程和初始状态完全一致，到达M点时的动能和初始状态到达M点的动能相同。进入B、C间的电场后，由于场强E2不变，电子做减速运动的加速度也不变，电子从M点开始减速到速度为0时，运动的距离仍为d2，也就是恰好运动到P点时速度减为0，之后电子会在反向电场力的作用下开始返回；故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．（2026•金华模拟）离子推进器是用电场将等离子加速后喷出而获得前进动力的，如图所示：进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（离子初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束。已知每个正离子质量为m，电荷量为q，单位时间内飘入的正离子数目为n，则在加速过程中推进器获得恒定的推力F为（　　） A． B． C． D． 【分析】先通过电场力做功使离子获得动能，求出离子加速后的速度；再利用动量定理，分析单位时间内喷出离子的动量变化，得到离子受到的推力；最后根据牛顿第三定律，得出推进器获得的推力大小。 【解答】解：电场对粒子加速有 设向右为正方向，根据动量定理有m0v0＝Ft 其中m0＝nmt，Q＝nqt 整理得粒子获得恒定的推力F大小 根据牛顿第三定律，离子推进器获得恒定的推力F大小 故ABD错误，C正确。 故选：C。 3．（2026春•福州校级期末）美国科学家密立根通过油滴实验首次精确地测出了电子的电荷量，油滴实验的原理如图所示，两块水平放置的平行金属板与电源相连，上、下板分别带正、负电荷，油滴从喷雾器喷出后，由于摩擦带负电，经上板中央小孔落到两板间的匀强电场中，通过显微镜可以观察到它运动的情况，两金属板间的距离为d。（忽略油滴之间的相互作用力和空气对油滴的浮力及阻力） （1）调节两金属板间的电压，当U＝U0时，观察到某个质量为m1，的油滴恰好匀速竖直下落，求该油滴所带的电荷量。 （2）若油滴进入电场时的初速度可以忽略，当两金属板间的电势差U＝U1时，观察到某个质量为m2的油滴进入电场后做匀加速运动，经过时间t运动到下极板，求此油滴所带的电荷量。 【分析】（1）油滴带负电，匀速下落时受力平衡，重力与电场力大小相等，结合匀强电场场强与电压关系列式求解电荷量。 （2）油滴初速度为零向下匀加速运动，先由匀变速位移公式求出加速度，再依据牛顿第二定律，结合电场强度表达式联立求解电荷量。 【解答】解：（1）当U＝U0时，油滴恰好做匀速直线运动，满足 解得 . （2）当U＝U1时，质量为m2的油滴做匀加速运动，满足 联立解得此油滴所带的电荷量 答：（1）调节两金属板间的电压，当U＝U0时，观察到某个质量为m1，的油滴恰好匀速竖直下落，该油滴所带的电荷量为。 （2）若油滴进入电场时的初速度可以忽略，当两金属板间的电势差U＝U1时，观察到某个质量为m2的油滴进入电场后做匀加速运动，经过时间t运动到下极板，此油滴所带的电荷量为。 4．（2026•松江区二模）飞行时间质谱仪是现代化学、生物学与材料科学的重要分析工具。 如图为飞行时间质谱仪的简化原理图：真空环境中，粒子源P同时释放含甲、乙离子的混合粒子束（初速度可忽略），经过电压为U0的强加速电场后（加速时间可忽略），进入边长为L的正方形漂移区，最终到达紧靠在漂移区右侧的探测器Q。已知甲离子的质荷比为k1，乙离子的质荷比为k2，且k2＞k1。（质荷比为离子质量与电荷量之比，粒子间的相互作用忽略不计） （1）求甲、乙离子到达探测器Q的飞行时间差。（计算） （2）若要增大甲、乙离子的飞行时间差以提高质谱仪的分辨率，可行的措施是 　BC　 。（多选） A.增大加速电场的电压U0 B.减小加速电场的电压U0 C.增大漂移区长度L D.减小漂移区长度L （3）若在漂移区的M、N板间加上偏转电压U1，请分析说明甲、乙离子的运动轨迹是否重合。（论证） 【分析】（1）离子在强加速电场中从静止开始加速，获得的速度与质荷比的平方根成反比。进入漂移区后均做匀速直线运动，飞行时间与质荷比的平方根成正比。利用已知的加速电压和质荷比，可推导出飞行时间表达式，进而得到时间差与漂移区长度、加速电压及质荷比平方根差的关系。 （2）从第一问推导出的时间差表达式可知，时间差与漂移区长度成正比，与加速电压的平方根成反比。因此，增大时间差需要增大漂移区长度或减小加速电压。 （3）离子进入偏转电场后，沿初速度方向做匀速运动，垂直方向做匀加速运动，为类平抛运动。联立两方向运动方程可得到轨迹方程，该方程中不包含离子的质量和电荷量，即与质荷比无关。因此，在相同偏转电压和几何条件下，所有离子的轨迹相同。 【解答】解：（1）离子在加速电场中，根据动能定理有，解得离子进入漂移区的速度； 离子在长度为L的漂移区内做匀速直线运动，飞行时间；已知质荷比，代入得飞行时间。 则甲、乙两离子到达探测器Q的时间差。 由第一问推导出的时间差表达式可知，若要增大飞行时间差，应当增大漂移区长度L或者减小加速电场的电压U0。 （2）AB、增大加速电压U0会使时间差减小，减小加速电压U0则会使时间差增大，故A错误，B正确； CD、增大漂移区长度L会使时间差增大，减小长度L会使时间差减小，故C正确，D错误。 故选：BC。 （3）离子进入偏转电场后做类平抛运动。设极板间距为d，在沿初速度方向有x＝vt，在垂直初速度方向有。 联立解得离子的轨迹方程为，将加速后的速度平方代入得。 由于该轨迹方程中不包含离子的质量m和电荷量q，说明轨迹与离子的种类（质荷比）无关，仅由电场电压和极板几何尺寸决定，故甲、乙离子的运动轨迹重合。 答：（1）甲、乙离子到达探测器Q的飞行时间差为。 （2）可行的措施是BC。 （3）甲、乙离子的运动轨迹可推导出轨迹方程为，与离子质荷比无关，故运动轨迹重合。 2、 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动 5．（2026•江津区校级模拟）细胞膜是由磷脂双分子层构成的富有弹性的半透膜（如图甲所示）。设运送粒子时，细胞膜内上、下表面的电荷量为定值，此时可将细胞膜视为面积很大的平行板电容器（如图乙所示），其间电场可视为匀强电场。某正粒子只在电场力作用下从膜的一个表面由静止开始运动到另一个表面，该过程中粒子运动的加速度大小a、运动时间t、到达另一表面时速度大小v、电场力做功W与膜两表面距离d的关系图像正确的是（　　） A．B．C．D． 【分析】根据电容器的决定式、定义式以及电势差和电场强度的关系，结合运动学公式和牛顿第二定律分析求解。 【解答】解：已知极板带电量Q不变，平行板电容器Q恒定，由，结合C 得：E 可知：板间电场强度E与间距d无关，E恒定。 A．根据牛顿第二定律 E不变，则a是定值，a﹣d图像为水平直线，故A错误。 B．粒子初速度为0，匀加速：v2＝2ad 可得 v与成正比，不是过原点直线，故B错误。 C．由匀变速直线运动特点 得 t与成正比，不是过原点直线，故C错误。 D．电场力做功W＝F•d＝qEd qE为定值，W与d成正比，图像是过原点倾斜直线，故D正确。 故选：D。 6．（2026春•莎车县期末）如图所示，水平放置的平行金属板长为2d，两板间距离为d，在两板间加上电压U。一质量为m、带正电荷量为q的粒子，紧贴上极板从左端以水平初速度进入两板间，恰能从下极板的右端飞出两板间，不计粒子的重力，求： （1）粒子在两板间运动时的加速度大小； （2）粒子在平行金属板中运动的时间； （3）粒子进入两板间的初速度大小。 【分析】（1）根据牛顿第二定律及匀强电场的场强公式计算； （2）根据匀加速直线运动的位移时间关系计算； （3）根据匀速直线运动规律计算。 【解答】解：（1）根据牛顿第二定律可得qE＝ma 其中 解得 （2）竖直方向，根据匀加速直线运动规律有 解得 （3）水平方向，根据匀速直线运动规律有2d＝v0t 解得 答：（1）粒子在两板间运动时的加速度大小为； （2）粒子在平行金属板中运动的时间为； （3）粒子进入两板间的初速度大小。 7．（2026•江西模拟）如图为某款细胞仪对细胞进行分类收集的原理图。含有不同类型细胞的小液滴从喷嘴喷出后穿过激光束、充电环时被充电，不同类型的细胞分别带上正、负电荷，在电极板间水平向右的匀强电场中发生偏转，最终被分别收集在A、B收集管中。下列说法正确的是（　　） A．带正电荷细胞的液滴会被收集在A收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能增加 B．带正电荷细胞的液滴会被收集在B收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能增加 C．带负电荷细胞的液滴会被收集在A收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能减小 D．带负电荷细胞的液滴会被收集在B收集管中，且在电极板间运动的过程中，电势能减小 【分析】根据电荷的受力情况判断偏转的方向，结合电场力做功与电势能的关系判断电势能的变化。 【解答】解：AB.带正电荷细胞的液滴进入向右的匀强电场中受到向右的电场力，则向右偏转，落入A收集管中，电场力做正功，电势能减小，故AB错误； CD.带负电荷细胞的液滴进入向右的匀强电场中受到向左的电场力，则向左偏转，落入B收集管中，电场力做正功，电势能减小，故C错误，D正确。 故选：D。 3、 带电粒子在周期性变化的电场中偏转 （多选）8．（2024秋•眉山期末）如图甲所示，长为L的两块正对金属板A、B水平放置，两板接上如图乙所示随时间变化的交变电压UAB，电子流沿中心线OO′从O点以初速度射入板间，电子都不会碰到极板，已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间相互作用。下列说法正确的是（　　） A．两板间距 B．电子在t＝0时刻从O点射入时一定从中心线离开电场 C．电子在时刻从O点射入时偏离中心线距离离开电场 D．电子无论在哪一时刻从O点射入，离开电场时的速率一定为v0 【分析】本题为电子在交变电场中的偏转问题。电子沿中心线以恒定速度通过板间，运动时间恰为电压变化周期。分析电子在电场方向的分运动，根据板间距离需大于电子在半个周期内最大偏距的两倍，可得出板间距条件。电子在特定时刻射入时，需分段计算其在电场方向的速度变化与位移，利用对称性可求得离开电场时的偏距。由于电子在电场中受到的正反向电场力作用时间相等，根据动量定理可知离开时垂直于初速方向的速度分量为零，故速率等于初速。 【解答】解：A、电子在电场中的运动时间为，而，解得：t＝T。两板间距需满足，其中，解得：d，故A正确； B、电子在t＝0时刻从O点射入时，离开电场时偏离中心线的距离并非最大，故B错误； C、电子在时刻从O点射入时，沿电场方向的运动可分为四个阶段：第一阶段向正方向运动，位移；第二阶段继续向正方向减速运动，位移，速度减为零；第三阶段向负方向加速运动，位移；第四阶段向负方向减速运动，由对称性可知位移。则总位移为，即粒子偏离中心线的距离为，故C正确； D、电子在电场中运动时间为T，无论何时从O点射入，正向与反向电场作用时间均为。沿电场方向根据动量定理有qEt正﹣qEt负＝mv﹣0，且，解得：v＝0，即离开电场时沿电场方向的速度为零，故D正确。 故选：ACD。 9．（2025秋•济南月考）真空示波管的示意图如图甲所示，电子从灯丝K逸出（初速度为零），经灯丝与A板间的加速电压U1加速后，从A板中心孔沿M、N板的中心线KO射出，然后进入由两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入偏转电场时的速度与电场方向垂直，并恰好从金属板M的右边缘射出，打在荧光屏上的P点。已知两板间的距离为d，板长为L1，板右端到荧光屏的距离为L2，且L1＝d，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子受到的重力。 （1）求M、N两板间的电压大小U2； （2）求电子打在P点时的动能Ek； （3）若偏转电场两板间的电压按如图乙所示周期性变化，偏转电场的周期T与电子在偏转电场中运动的时间t满足tT（n＝1，2，3，…），要使电子经加速电场加速后，在t＝0时刻进入偏转电场后仍然打在荧光屏上的P点，试确定偏转电场电压U0与周期T之间的关系。 【分析】（1）电子在加速电场中从静止被加速，由动能定理建立加速电压U1与进入偏转电场的初速度v0的关系。进入偏转电场后，电子做类平抛运动，竖直方向为初速度为零的匀加速直线运动，利用板长L1与初速度v0求运动时间，结合竖直位移为d/2与牛顿第二定律求加速度，最终将加速度与偏转电压U2关联，即可求出U2。 （2）电子离开偏转电场时的动能等于其离开时的总动能。总动能由水平方向速度v0和竖直方向末速度vy共同决定。利用（1）中已求得的v0和偏转电场中的加速度与时间，可求出vy，再根据动能表达式即可求得打在P点时的总动能Ek。 （3）偏转电压周期性变化，电子在偏转电场中运动时间t满足t＝（2n+1）T/2，意味着电子在电场中经历了整数个半周期再加半个周期。电子在竖直方向上的运动由多个匀加速和匀减速阶段组成，但总位移仍需达到d/2才能从M板右边缘射出。利用竖直方向初速度为零的匀变速运动位移公式，将每个半周期内的位移进行累加，结合加速度与电压U0的关系，即可建立U0与周期T之间的关系式。 【解答】解：（1）设电子进入偏转电场时的速度大小为v0，偏转电场的电场强度大小为E，电子在偏转电场中运动的时间为t，加速度大小为a，则有，，，，，解得：U2＝2U1。 （2）设电子离开偏转电场时沿电场方向的速度为vy，则有vy＝at，，解得：Ek＝2eU1。 （3）电子在偏转电场中沿水平方向做匀速直线运动，则时间仍为。若n＞1，则电子在竖直方向上先做匀加速运动，后做匀减速运动，再做匀加速运动，如此反复，电子必须经过M板的右边缘才能打在P点，则有，，解得：。 答：（1）M、N两板间的电压大小为2U1。 （2）电子打在P点时的动能为2eU1。 （3）偏转电场电压U0与周期T的关系为。 10．（2025秋•小店区校级月考）如图甲所示，平行金属板M、N水平固定放置，两板间加有如图乙所示的周期性变化的电压，M、N板右侧的BAC区域内有竖直向上的匀强电场，M、N板的右端均在竖直边AB上，A点到M板的距离为h，∠A＝37°质量为m、电量大小为e的电子由静止开始，经电压也为U0的电场加速后，连续不断地沿与M、N板平行的方向从两板正中间射入两板之间，所有电子都能从两板间飞出，且在两板间运动的时间均为2t0，t＝0时刻射入M、N板间的电子恰好从M板的右边缘飞出，已知U0，其中m，e，h，t。为已知量，不计电子的重力，求： （1）金属板的板长； （2）M、N板间的距离； （3）要使所有的电子均不能从AC边射出，BAC区域内的匀强电场的电场强度至少多大； （4）在（1）（2）的条件下，若将BAC区域改为垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，已知点A到M、N板右端的水平距离为0（即电子从板右端射出后立即进入磁场），AC的长度足够长，求从AC边界射出磁场的电子占电子数量的百分比。 【分析】（1）电子经加速电场加速过程，根据动能定理，即可得到电子进入板间时的速度大小；电子在金属板间运动时，水平方向做匀速运动，即可得到金属板的板长； （2）根据电子在MN间运动的时间为2t0，可知从t＝0时进入的电子，离开金属板时的竖直方向分运动特点；结合匀强电场的场强决定式、运动学关系式，可得到极板间距； （3）根据电子离开金属板时的速度大小和方向，可知要使所有电子均不从AC边射出，电子的临界轨迹特点；根据电子在匀强电场中的受力特点，可得到水平方向、竖直方向分运动关系，得到电场强度的值； （4）画出电子的运动轨迹，根据几何关系和洛伦兹力提供向心力求从AC边界射出磁场的电子占电子数量的百分比。 【解答】解：（1）设电子经加速电场加速后的速度大小为v0，根据动能定理 解得 则板长为 L＝v0×2t0＝4h （2）从t＝0时刻进入M、N板间的电子在垂直于极板方向先做匀加速运动后做匀减速运动，设电子运动的加速度为a，则有 eE1＝ma1 又因为 根据题意有 解得M、N板间的距离为 （3）由于所有电子经过M、N板的运动时间均为2to，因此所有电子出M、N间电场时，速度均沿水平方向，且速度大小均为 要使所有电子均不从AC边射出，则从M板边缘飞出的电子在电场中的运动轨迹刚好与AC相切。设电场强度的大小为E2，则粒子在该电场中运动 的加速度为 根据题意，从M边缘飞出的电子运动到刚好与AC相切的位置时，速度与水平方向夹角为53°，如图 根据类平抛规律则有 水平方向 x＝v0t2 竖直方向 根据几何关系有 联立解得BAC区域内的匀强电场的电场强度至少为 （4）设从距离M板为d的P点进入磁场的电子轨迹恰好与AC相切，如图 此时满足的几何关系为 洛伦兹力提供向心力 解得轨道半径 解得 又因为 d＝2h 故从AC边界射出磁场的电子占比为 答：（1）金属板的板长为4h； （2）M、N板间的距离为2h； （3）要使所有的电子均不能从AC边射出，BAC区域内的匀强电场的电场强度至少； （4）从AC边界射出磁场的电子占电子数量的百分比为25%。 11．（2025春•黄石期末）如图甲所示，在xOy坐标系中，在第Ⅱ象限放置了粒子射线管，粒子射线管由平行于x轴的平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成、细管C到两板的距离相等，且开口在y轴上（图中细管C与两板绝缘）。粒子源P靠近在A极板下方的左端，可以斜向下沿某一方向发射初速度为v0的带电粒子。A、B板长为L，当A、B板加上某一电压时，带电粒子刚好能以的速度水平进入细管C且以相同速度水平射出。然后进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中做半径为的匀速圆周运动，静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心O，且粒子经过处的电场强度大小均为。之后带电粒子垂直x轴进入第Ⅳ象限。第Ⅳ象限内存在电场强度大小不变、方向水平且随时间呈周期性变化的电场，若从此刻为计时零点，电场变化关系如图乙（图中，T为已知值，规定沿x轴正方向为电场正方向）。已知带电粒子的质量为m，重力不计。忽略电场的边缘效应。求： （1）带电粒子的电性和电荷量q； （2）金属板A、B间的电势差UAB。 （3）当t＝4T时，α粒子的坐标。 【分析】（1）由电场力提供向心力计算； （2）由动能定理计算； （3）带电粒子做类平抛运动，由运动学公式计算。 【解答】解：（1）带电粒子在分析器中做匀速圆周运动，电场力指向圆心，所以粒子带正电。 由牛顿第二定律可得 解得q＝4e （2）带电粒子从P点运动到C入口的过程中，由动能定理得 且 联立解得 （3）带电粒子进入第Ⅳ象限做类平抛运动：沿x正方向做单方向周期性的匀加速、匀减速直线运动，沿y负方向做匀速直线运动。 x轴方向上，前内做匀加速直线运动，此段时间内的位移大小 电场力提供合外力qE0＝ma 得 由对称性可得，t＝4T时间内，粒子沿x正方向总位移为 故t＝4T时，α粒子的横坐标 y轴方向上，α粒子做匀速直线运动，y轴负方向上，t＝4T时间内粒子的位移大小 在t＝4T时，粒子的坐标为 答：（1）带电粒子带正电、电荷量为4e； （2）金属板A、B间的电势差为 （3）当t＝4T时，α粒子的坐标 四、带电粒子在周期性变化的电场中做直线运动 （多选）12．（2026•德保县二模）近20多年来，中国的粒子加速器发展迅速，在规模和应用方向上走进了世界先进行列。加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用。如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管（漂移管）组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106m/s，进入漂移管E时速度为1×107m/s，电源频率为1×107Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的，质子的荷质比取1×108C/kg，则（　　） A．第n个漂移管与第n﹣1个漂移管的长度之比为n：（n﹣1） B．漂移管B的长度0.4m C．相邻漂移管间的加速电压为6×104V D．漂移管B之前还有9个漂移管 【分析】A.根据运动学公式和动能定理判断第n个漂移管与第n﹣1个漂移管的长度之比； B.根据运动学公式求漂移管B的长度； C.根据动能定理求相邻漂移管间的加速电压； D.根据动能定理分析判断。 【解答】解：A.第n个漂移管的长度 由可知vn与n不成正比，故Ln与n不成正比，故A错误； B.漂移管B的长度为 解得LB＝0.4m 故B正确； C.质子由B管至E管，经过了三次电场的加速 代入数据解得 U＝6×104V 故C正确； D.若从静止开始加速，经过n次加速后进入漂移管B，由 代数据解得 可见漂移管B之前漂移管个数达不到9个，故D错误。 故选：BC。 （多选）13．（2025秋•昌吉州期末）两带电的平行板A、B水平放置，上极板A的中央有一小孔。如图甲所示，一带电油滴从小孔的正上方的O点处自由下落，穿过上极板A中央的小孔后，刚好不与下极板B相碰，在此过程中，油滴的速度v随时间t变化的关系如图乙所示．重力加速度为g，不计空气阻力，可知（　　） A．在t＝t0时，油滴刚好到达B板 B．在t＝3t0时，油滴刚好返回到O点 C．油滴受到的重力与电场力之比为2：3 D．O点到下极板B的距离为 【分析】油滴从O点自由下落至穿过小孔，此过程仅受重力，获得最大速度后进入电场，在电场力与重力共同作用下匀减速至速度为零。分析速度—时间图像，前段匀加速直线运动加速度为重力加速度，后段匀减速直线运动加速度由图像斜率确定，利用油滴刚好到达下极板且速度减为零的条件，结合图像面积表示位移，可分析各时刻油滴位置及受力比例关系。 【解答】解：根据速度—时间图像可知，油滴在0至t0时间内做初速度为零的匀加速直线运动，此时油滴处于自由下落阶段，加速度为g，末速度vm＝gt0； 在t0至3t0时间内，油滴进入两板间电场做匀减速直线运动，根据图像斜率可得加速度大小，解得：a＝0.5g。 AB、在t＝t0时刻，油滴速度达到最大，表明此时恰好通过小孔到达上极板A；在t＝3t0时刻，油滴速度减为零，依据“刚好不与下极板B相碰”的条件，可知此时油滴恰好到达B板，随后油滴将向上返回，其返回O点的时间远大于3t0，故AB错误； C、在t0至3t0的减速过程中，应用牛顿第二定律得Fe﹣mg＝ma，代入加速度a＝0.5g，解得电场力Fe＝1.5mg，则重力与电场力之比为mg：1.5mg，解得：该比值为2：3，故C正确； D、从O点到下极板B的总距离等于速度—时间图线与时间轴所围成的面积，即，解得：，故D正确。 故选：CD。 14．（2025秋•天津期中）某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，为了能让质子进入癌细胞，首先要实现质子的高速运动，该过程需要一种被称作“粒子加速器”的装置来实现。质子先被加速到较高的速度，然后轰击肿瘤并杀死癌细胞。如图所示，来自质子源的质子（初速度为零），经加速器加速后，形成细柱形的质子流。已知时间t内打在肿瘤上的质子数为N，加速器的加速电压为U，质子的质量为m，电荷量为e。求： （1）质子离开加速器时速度大小； （2）质子束的等效电流。 【分析】（1）质子离开加速器时的速度大小可以通过能量守恒关系求解。质子在加速电压作用下获得的电势能转化为动能，利用动能表达式与电势能变化相等建立方程，解出速度表达式即可。 （2）质子束的等效电流需要根据电流的定义进行计算。已知单位时间内到达肿瘤的质子数，将质子数与单个质子电荷量相乘得到总电荷量，再除以时间即可得到等效电流。 【解答】解：（1）质子在加速电压U作用下获得的电势能变化等于其动能增量（非相对论近似）：电势能变化eU，动能。由能量守恒得，解得：。故速度大小为。 （2）电流定义为单位时间内通过的电荷量，设时间t内有N个质子到达，总电荷量Q＝Ne。由电流定义式，代入得。亦可表示为粒子通量与单质子电荷e的乘积，即。 答：（1）质子离开加速器时的速度大小为。 （2）质子束的等效电流为。 15．（2025秋•青秀区校级月考）在真空中存在着方向竖直向上、足够大且周期性变化的匀强电场E。将一个质量为m带电量为q（q＞0）的小球（可视为质点），从电场中的P点由静止释放，同时开始计时，小球先向上运动，经时间T后，小球恰好回到P点。已知电场的周期为T＝2t0，规定竖直向上为正方向，重力加速度为g，求： （1）匀强电场E的大小及小球上升的最大高度h； （2）已知t＝nt0（n取1，2，…），试确定小球t时刻的速度大小。 【分析】（1）根据牛顿第二定律和上升与下落位移关系可求加速度和电场强度，根据位移与时间关系求解上升的高度； （2）利用列举法从n＝1开始列举，找出对的应的规律，最后总结即可。 【解答】解：（1）由牛顿第二定律得，有电场时有qE﹣mg＝ma1 撤去电场后mg＝ma2 从释放到回到出发点有 联立可得（即）， 有电场时上升的高度 撤去电场后上升的高度 小球上升的最大高度。 （2）在t＝nt0（n取1，3，5…即奇数）内，小球的加速度为 在t＝nt0（n取2，4，6，…即偶数）内，小球的加速度为﹣g 当t＝t0时， 当t＝2t0时， 当t＝3t0时， 当t＝4t0时， 当时，v5＝v4+at0＝﹣gt0 所以当t＝nt0（n取1，3，5…即奇数）时，小球的速度大小为 在t＝nt0（n取2，4，6…即偶数）内，小球的速度大小为。 答：（1）匀强电场E的大小为，小球上升的最大高度h为； （2）当（n取1，3，5…即奇数）时，小球t时刻的速度大小为，（n取2，4，6…即偶数）内，小球t时刻的速度大小为。 学科网（北京）股份有限公司 $