1.4.1《正方形的性质》分层作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 该同步练习通过三级分层设计，以“基础巩固-思维提升-中考衔接”为路径，全面覆盖正方形性质的核心知识点，兼顾概念理解与综合应用，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|正方形定义、性质（边、角、对角线）、边长与对角线计算、面积计算、全等三角形|以选择、填空为主，聚焦单一知识点辨析与基础运算，夯实几何直观与运算能力| |进阶思维题|折叠问题、最值问题、旋转综合、面积综合|以解答题为主，融入动态几何情境，提升推理能力与空间观念| |中考链接题|中考真题中的计算、证明题型|精选各地中考题，衔接测评要求，强化应用意识与模型观念|

北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 1.4正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 本节知识点总结 1. 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 正方形与菱形、矩形的关系： 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质。 3. 性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 4. 性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 5. 正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 6. 边长与对角线的关系：对角线 = 边长 × √2。 7. 正方形面积 = 边长² = ½ × 对角线²。 8. 正方形是轴对称图形，有四条对称轴（两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线）。 9. 正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 10. 正方形中常见的全等三角形：由对角线分成的四个等腰直角三角形全等。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 正方形性质的识别与判断 1．（2024秋·江苏南京·单元测）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．四条边相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 3．（2024秋·山东济南·月考）下列关于正方形的说法错误的是（　　） A．正方形的四个角都是直角 B．正方形的四条边都相等 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．正方形只有两条对称轴 题型02 正方形边长与对角线的计算 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）正方形的边长为4，则它的对角线长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 5．（2024秋·湖南长沙·期中）正方形的对角线长为6，则它的边长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．6 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若OA = 3，则正方形的边长为________。 题型03 正方形面积计算 7．（2024秋·河北石家庄·期末）正方形的边长为5，则它的面积为（　　） A．10 B．20 C．25 D．50 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）正方形的对角线长为4，则它的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 9．（2024秋·辽宁沈阳·月考）正方形的面积为18，则它的对角线长为________。 题型04 正方形中的全等三角形 10．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则图中全等三角形的对数为（　　） A．2对 B．4对 C．6对 D．8对 11．（2024秋·天津南开·单元测）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，且BE = CF。连接AE、BF交于点G。下列结论错误的是（　　） A．AE = BF B．AE⊥BF C．∠BAE = ∠CBF D．AG = BG 12．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，且CE⊥BF，垂足为G。求证：BE = AF。 题型05 正方形与菱形、矩形的关系辨析 13．（2024秋·广东深圳·月考）下列说法正确的是（　　） A．四条边相等的四边形是正方形 B．四个角都是直角的四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是正方形 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD B．AD∥BC，∠A = ∠C C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD D．AO = CO，BO = DO，AB = BC 15．（2024秋·福建福州·单元测）下列命题中，正确的是（　　） A．正方形是菱形，也是矩形 B．矩形是正方形 C．菱形是正方形 D．正方形不是平行四边形 题型06 正方形性质的简单证明 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 17．（2024秋·山东青岛·期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD上一点，且AE = DF。连接CE、BF交于点G。求证：CE = BF。 18．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过A作AF⊥DE于F。求证：△ADF ≌ △DEC。 题型07 正方形对角线性质的应用 19．（2024秋·北京海淀·月考）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若AB = 2，则△AOB的周长为（　　） A．2 + B．2 + 2 C．4 + D．4 + 2 20．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是OB上一点，且BE = BC，连接CE。求∠BCE的度数。 21．（2024秋·广东广州·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，E是OC上一点，OE = 1，连接BE。求BE的长。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，且BE = 1，连接DE，过C作CF⊥DE于F，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋·湖南长沙·期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接EF并延长交CD于G，连接AG。下列结论正确的有（　　） ① EG = BE + DG；② ∠EAG = 45°；③ △ADG ≌ △AFG A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，P是对角线AC上的动点，则PB + PE的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 4．（2024秋·河北唐山·期末）如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，将△CDE沿CE折叠，点D落在对角线AC上的点F处。则下列结论错误的是（　　） A．DE = EF B．∠DEC = ∠FEC C．AF = EF D．△AEF是等腰直角三角形 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC上一点，BE = 2，F是AB上一动点，将△BEF沿EF折叠，点B落在点B'处，连接AB'，则AB'的最小值为（　　） A．2 B．2 - 2 C．4 D．6 - 2 6．（2024秋·辽宁大连·期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF = 45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接EF。下列结论正确的是（　　） A．EF = BE + DF B．∠AEF = ∠AEB C．△AEF ≌ △AEG D．以上都正确 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）正方形ABCD的边长为4，E是AB的中点，连接DE，则DE的长为________。 8．（2024秋·天津和平·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，BE = 1，F是对角线BD上一动点，则EF + FC的最小值为______。 9．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，F是CD的中点，连接AE、BF交于点G，则AG的长为________。 10．（2024秋·广东广州·期末）如图，正方形ABCD中，E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在正方形内点F处，连接CF。若△CEF是等腰直角三角形，则BE : EC = ________。 11.（2024-2025九年级上·山东济南·期末）如图，边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且DF = 1，连接BE、EF、BF，则△BEF的面积为________。 （三）解答题 12．（2024秋·江苏南京·期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，且∠EAF = 45°。求证：EF = BE + DF。 13．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB上一点，AE = 1，F是BC的中点，将△EBF沿EF折叠，点B落在点B'处，连接DB'。求B'C的长。 三、中考链接题 1．（2024·江苏苏州·中考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上，且DE = 1，连接BE，则BE的长为（　　） A． B． C．2 D．3 2．（2024·浙江杭州·中考）正方形的对角线长为4，则该正方形的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（2024·山东济南·中考）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，作BF⊥AE于G，交CD于F。求证：AE = BF。 4．（2024·广东广州·中考）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB的中点，连接DE，过C作CF⊥DE于F，则CF的长为（　　） A． B． C． D．2 5．（2024·四川成都·中考）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，作∠DAE的平分线交CD于F。若AB = 4，BE = 3，则DF的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 6．（2024·陕西·中考）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF = BE，连接CE、CF。求证：CE = CF。 7．（2024·北京·中考）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过A作AF⊥DE于F，连接BF。求证：BF = AB。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 1.4正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 本节知识点总结 1. 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 正方形与菱形、矩形的关系： 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质。 3. 性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 4. 性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 5. 正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 6. 边长与对角线的关系：对角线 = 边长 × √2。 7. 正方形面积 = 边长² = ½ × 对角线²。 8. 正方形是轴对称图形，有四条对称轴（两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线）。 9. 正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 10. 正方形中常见的全等三角形：由对角线分成的四个等腰直角三角形全等。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 正方形性质的识别与判断 1．（2024秋·江苏南京·单元测）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．四条边相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，还具有矩形的性质（对角线相等、四个角都是直角）。 【详解】解： A. 四条边相等：菱形和正方形都有； B. 对角线互相垂直平分：菱形和正方形都有； C. 对角线相等：正方形有，菱形不一定有（菱形对角线不一定相等）； D. 对角线平分一组对角：菱形和正方形都有。 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质，还具有菱形的性质（对角线垂直、四条边相等）。 【详解】解： A. 四个角都是直角：矩形和正方形都有； B. 对角线相等：矩形和正方形都有； C. 对角线互相垂直：正方形有，矩形不一定有； D. 对角线互相平分：矩形和正方形都有。 故选：C。 3．（2024秋·山东济南·月考）下列关于正方形的说法错误的是（　　） A．正方形的四个角都是直角 B．正方形的四条边都相等 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．正方形只有两条对称轴 【答案】D 【分析】正方形有四条对称轴：两条对角线所在直线和两组对边中点连线所在直线。 【详解】解： A. 正确，正方形四个角都是直角； B. 正确，正方形四条边都相等； C. 正确，正方形对角线相等且互相垂直平分； D. 错误，正方形有四条对称轴，不是两条。 故选：D。 题型02 正方形边长与对角线的计算 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）正方形的边长为4，则它的对角线长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】B 【分析】正方形对角线 = 边长 × 。 【详解】解：设正方形边长为a，对角线为d， 由勾股定理：d² = a² + a² = 2a²， ∴d = a = 42。 故选：B。 5．（2024秋·湖南长沙·期中）正方形的对角线长为6，则它的边长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．6 【答案】B 【分析】由对角线求边长：边长 = = 对角线 × 。 【详解】解：设边长为a，对角线d = 6， 由d = a， 得a = = = 。 故选：B。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若OA = 3，则正方形的边长为___3_____。 【答案】3 【分析】OA是对角线的一半，先求对角线，再求边长。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC = 2OA = 6， 设边长为a，由AC = a， 得a = = = 3。 题型03 正方形面积计算 7．（2024秋·河北石家庄·期末）正方形的边长为5，则它的面积为（　　） A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】C 【分析】正方形面积 = 边长²。 【详解】解：S = a² = 5² = 25。 故选：C。 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）正方形的对角线长为4，则它的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】正方形面积 = ½ × 对角线²。 【详解】解：S = × d² = × 4² = × 16 = 8。 故选：B。 9．（2024秋·辽宁沈阳·月考）正方形的面积为18，则它的对角线长为___6_____。 【答案】6 【分析】由面积求对角线：S = d²，d = 。 【详解】解：∵S = d²， ∴d² = 2S = 2×18 = 36， ∴d = 6。 题型04 正方形中的全等三角形 10．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则图中全等三角形的对数为（　　） A．2对 B．4对 C．6对 D．8对 【答案】B 【分析】正方形对角线分成的四个等腰直角三角形都全等，共4对。 【详解】解：在正方形ABCD中， △AOB ≌ △BOC ≌ △COD ≌ △DOA， 这四个三角形两两全等，共有4对全等三角形。 故选：B。 11．（2024秋·天津南开·单元测）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，且BE = CF。连接AE、BF交于点G。下列结论错误的是（　　） A．AE = BF B．AE⊥BF C．∠BAE = ∠CBF D．AG = BG 【答案】D 【分析】证△ABE ≌ △BCF，得AE = BF，∠BAE = ∠CBF，再证AE⊥BF。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB = BC，∠ABC = ∠C = 90°， 在△ABE和△BCF中： AB = BC，∠ABE = ∠C，BE = CF， ∴△ABE ≌ △BCF（SAS）， ∴AE = BF，∠BAE = ∠CBF，A、C正确。 ∵∠BAE + ∠AEB = 90°， ∴∠CBF + ∠AEB = 90°， ∴∠BGE = 90°，即AE⊥BF，B正确。 AG = BG不一定成立，D错误。 故选：D。 12．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，且CE⊥BF，垂足为G。求证：BE = AF。 【答案】见详解 【分析】证△ABF ≌ △BCE，利用同角的余角相等得∠ABF = ∠BCE。 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB = BC，∠A = ∠ABC = 90°， ∴∠ABF + ∠CBF = 90°， ∵CE⊥BF，∴∠BGC = 90°， ∴∠BCE + ∠CBF = 90°， ∴∠ABF = ∠BCE（同角的余角相等）。 在△ABF和△BCE中： ∠A = ∠EBC，AB = BC，∠ABF = ∠BCE， ∴△ABF ≌ △BCE（ASA）， ∴AF = BE，即BE = AF。 题型05 正方形与菱形、矩形的关系辨析 13．（2024秋·广东深圳·月考）下列说法正确的是（　　） A．四条边相等的四边形是正方形 B．四个角都是直角的四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是正方形 【答案】C 【分析】考查正方形的判定，注意区分菱形、矩形与正方形的关系。 【详解】解： A. 错误，四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形； B. 错误，四个角都是直角的四边形是矩形，不一定是正方形； C. 正确，对角线相等的菱形是正方形（菱形+对角线相等=正方形）； D. 错误，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是正方形。 故选：C。 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（　　） A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD B．AD∥BC，∠A = ∠C C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD D．AO = CO，BO = DO，AB = BC 【答案】C 【分析】对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 【详解】解： A. 是矩形； B. 是平行四边形； C. AO = BO = CO = DO说明对角线相等且互相平分（矩形），AC⊥BD说明对角线垂直（菱形），矩形+菱形=正方形； D. 是菱形。 故选：C。 15．（2024秋·福建福州·单元测）下列命题中，正确的是（　　） A．正方形是菱形，也是矩形 B．矩形是正方形 C．菱形是正方形 D．正方形不是平行四边形 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，也是特殊的矩形，还是特殊的平行四边形。 【详解】解： A. 正确，正方形既是菱形又是矩形； B. 错误，矩形不一定是正方形； C. 错误，菱形不一定是正方形； D. 错误，正方形是特殊的平行四边形。 故选：A。 题型06 正方形性质的简单证明 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 【答案】见详解 【分析】利用正方形对角线相等且互相垂直平分的性质证明。 【详解】已知：正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O。 求证：△AOB、△BOC、△COD、△DOA是四个全等的等腰直角三角形。 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC = BD，AC⊥BD，AO = CO = ½AC，BO = DO = ½BD， ∴AO = BO = CO = DO， ∴△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是等腰直角三角形， 且AO = BO = CO = DO，∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°， ∴△AOB ≌ △BOC ≌ △COD ≌ △DOA（SAS）， 即正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 17．（2024秋·山东青岛·期末）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD上一点，且AE = DF。连接CE、BF交于点G。求证：CE = BF。 【答案】见详解 【分析】证△BCE ≌ △ABF。 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC = AB，∠ABC = ∠A = 90°， ∵AE = DF，AB = AD， ∴AB - AE = AD - DF，即BE = AF。 在△BCE和△ABF中： BC = AB，∠CBE = ∠A，BE = AF， ∴△BCE ≌ △ABF（SAS）， ∴CE = BF。 18．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过A作AF⊥DE于F。求证：△ADF ≌ △DEC。 【答案】见详解 【分析】利用正方形性质和同角的余角相等证明。 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD = DC，∠ADC = ∠C = 90°， ∴∠ADF + ∠CDE = 90°， ∵AF⊥DE，∴∠AFD = 90°， ∴∠DAF + ∠ADF = 90°， ∴∠DAF = ∠CDE（同角的余角相等）。 在△ADF和△DEC中： ∠AFD = ∠C，∠DAF = ∠CDE，AD = DC， ∴△ADF ≌ △DEC（AAS）。 题型07 正方形对角线性质的应用 19．（2024秋·北京海淀·月考）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若AB = 2，则△AOB的周长为（　　） A．2 + B．2 + 2 C．4 + D．4 + 2 【答案】B 【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA = OB = = 。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA = OB，△AOB是等腰直角三角形， OA = OB = = = ， △AOB的周长 = OA + OB + AB = + + 2 = 2 + 2。 故选：B。 20．（2024-2025九年级上·上海浦东·期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是OB上一点，且BE = BC，连接CE。求∠BCE的度数。 【答案】67.5° 【分析】正方形对角线与边的夹角为45°，△BCE是等腰三角形。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EBC = 45°（正方形对角线平分一组对角）， ∵BE = BC，∴△BCE是等腰三角形， ∠BCE = ∠BEC = ) = = 67.5°。 21．（2024秋·广东广州·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，E是OC上一点，OE = 1，连接BE。求BE的长。 【答案】 【分析】在Rt△BOE中，用勾股定理求BE。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为4， ∴AC = 4，OC = AC = 2， OB = OC = 2（正方形对角线相等且互相垂直平分）， ∵AC⊥BD，∴∠BOE = 90°， 在Rt△BOE中： BE² = OB² + OE² = (2√2)² + 1² = 8 + 1 = 9， ∴BE = 3。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，且BE = 1，连接DE，过C作CF⊥DE于F，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用面积法：△CDE的面积 = ½ × 正方形面积 = 8，也等于½ × DE × CF。 【详解】解：∵正方形ABCD边长为4， ∴S△CDE = × S正方形ABCD = × 16 = 8， DE = = = 5， 又S△CDE = × DE × CF， ∴8 = × 5 × CF， ∴CF = 。 故选：B。 2．（2024秋·湖南长沙·期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接EF并延长交CD于G，连接AG。下列结论正确的有（　　） ① EG = BE + DG；② ∠EAG = 45°；③ △ADG ≌ △AFG A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】利用折叠性质和HL证明△ADG ≌ △AFG，从而推出所有结论。 【详解】解：由折叠：AB = AF，BE = FE，∠AFE = ∠B = 90°， ∴∠AFG = 90° = ∠D， ∵AD = AB = AF，AG = AG， ∴Rt△ADG ≌ Rt△AFG（HL），③正确； ∴DG = FG， ∴EG = EF + FG = BE + DG，①正确； 由△ADG ≌ △AFG，得∠DAG = ∠FAG， 由折叠，∠BAE = ∠FAE， ∴∠EAG = ∠FAE + ∠FAG = ∠BAF + ∠DAF = ∠BAD = 45°，②正确。 三个结论都正确。 故选：D。 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，P是对角线AC上的动点，则PB + PE的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】B、D关于AC对称，PB = PD，PB + PE = PD + PE ≥ DE。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于对角线AC对称， ∴PB = PD， ∴PB + PE = PD + PE ≥ DE（两点之间线段最短）， 当P在DE与AC的交点时，取等号。 DE = = = ， ∴PB + PE的最小值为√5。 故选：A。 4．（2024秋·河北唐山·期末）如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，将△CDE沿CE折叠，点D落在对角线AC上的点F处。则下列结论错误的是（　　） A．DE = EF B．∠DEC = ∠FEC C．AF = EF D．△AEF是等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用折叠性质和正方形对角线性质分析各选项。 【详解】解：由折叠：△CDE ≌ △CFE， ∴DE = FE，∠DEC = ∠FEC，∠EFC = ∠D = 90°，A、B正确； ∵AC是正方形对角线，∴∠EAF = 45°， ∵∠EFA = 180° - ∠EFC = 90°， ∴△AEF是等腰直角三角形，D正确； AF = EF不一定成立（只有当AE = EF时才成立，但AE > DE = EF），C错误。 故选：C。 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC上一点，BE = 2，F是AB上一动点，将△BEF沿EF折叠，点B落在点B'处，连接AB'，则AB'的最小值为（　　） A．2 B．2 - 2 C．4 D．6 - 2 【答案】B 【分析】当A、B'、E三点共线，即∠AB’F=90°时，AB’的值最小。AB'最小值 = AE - EB’。 【详解】解：如图，由折叠：EB' = EB = 2， 当A、B'、E三点共线时，AB'最小，此时∠AB’F=∠B=90°， 最小值 = AE - EB'， 在Rt△ABE中 AE = = = = 2， ∴AB'最小值 = 2 - 2。 故选：B。 6．（2024秋·辽宁大连·期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF = 45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接EF。下列结论正确的是（　　） A．EF = BE + DF B．∠AEF = ∠AEB C．△AEF ≌ △AEG D．以上都正确 【答案】D 【分析】利用旋转性质证△AEF ≌ △AEG，从而推出所有结论。 【详解】解：由旋转：△ADF ≌ △ABG， ∴AF = AG，DF = BG，∠DAF = ∠BAG， ∵∠EAF = 45°，∠BAD = 90°， ∴∠BAE + ∠DAF = 45°， ∴∠BAE + ∠BAG = 45°，即∠EAG = 45° = ∠EAF， 在△AEF和△AEG中： AF = AG，∠EAF = ∠EAG，AE = AE， ∴△AEF ≌ △AEG（SAS），C正确； ∴EF = EG = BE + BG = BE + DF，A正确； ∠AEF = ∠AEG = ∠AEB，B正确。 故选：D。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）正方形ABCD的边长为4，E是AB的中点，连接DE，则DE的长为___2_____。 【答案】2 【分析】在Rt△ADE中用勾股定理。 【详解】解：∵正方形ABCD边长为4，E是AB中点， ∴AE = 2，AD = 4，∠A = 90°， ∴DE = = = = 2。 8．（2024秋·天津和平·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，BE = 1，F是对角线BD上一动点，则EF + FC的最小值为________。 【答案】 【分析】A、C关于BD对称，FC = FA，EF + FC = EF + FA ≥ AE。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴A、C关于对角线BD对称， ∴FC = FA（对称点到对称轴上一点的距离相等）， ∴EF + FC = EF + FA ≥ AE（两点之间线段最短）， 当F在AE与BD的交点时，取等号。 ∵AB = 4，BE = 1，∠ABE = 90°， ∴AE = = = ， ∴EF + FC的最小值为。 9．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，F是CD的中点，连接AE、BF交于点G，则AG的长为________。 【答案】 【分析】先证△ABE ≌ △BCF，得AE⊥BF，再用面积法求AG。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB = BC = 2，∠ABC = ∠C = 90°， ∵E是BC中点，F是CD中点， ∴BE = CF = 1， 在△ABE和△BCF中： AB = BC，∠ABE = ∠C，BE = CF， ∴△ABE ≌ △BCF（SAS）， ∴∠BAE = ∠CBF， ∵∠BAE + ∠AEB = 90°， ∴∠CBF + ∠AEB = 90°， ∴∠BGE = 90°，即AE⊥BF。 AE = = = ， S△ABE = × AB × BE = × 2 × 1 = 1， 又S△ABE = × AE × BG， ∴1 = × × BG，BG = = ， AG = = √( = = 。 10．（2024秋·广东广州·期末）如图，正方形ABCD中，E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在正方形内点F处，连接CF。若△CEF是等腰直角三角形，则BE : EC = ________。 【答案】 【分析】设BE = x，EC = y，利用折叠性质和等腰直角三角形性质列方程。 【详解】解：如图，当A、C、F三点共线时，△CEF为等腰直角三角形， 设BE = x，EC = y，则BC = x + y， 由折叠：FE = BE = x， ∵△CEF是等腰直角三角形，∠C = 90°， ∴EC = FC = y，EF = y， ∴x = y， ∴BE : EC = x : y = : 1 = √2。 11.（2024-2025九年级上·山东济南·期末）如图，边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且DF = 1，连接BE、EF、BF，则△BEF的面积为___5_____。 【答案】5 【分析】用正方形面积减去三个直角三角形的面积。 【详解】解：S正方形ABCD = 16， S△ABE = × 4 × 2 = 4， S△DEF = × 2 × 1 = 1， S△BCF = × 4 × 3 = 6， S△BEF = 16 - 4 - 1 - 6 = 5。 （三）解答题 12．（2024秋·江苏南京·期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，且∠EAF = 45°。求证：EF = BE + DF。 【答案】见详解 【分析】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，证△AEF ≌ △AEG。 【详解】证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABG。 则△ADF ≌ △ABG， ∴AF = AG，DF = BG，∠DAF = ∠BAG，∠ABG = ∠D = 90°， ∴∠ABG + ∠ABC = 90° + 90° = 180°， ∴G、B、E三点共线。 ∵∠EAF = 45°，∠BAD = 90°， ∴∠BAE + ∠DAF = 45°， ∴∠BAE + ∠BAG = 45°，即∠EAG = 45°， ∴∠EAF = ∠EAG。 在△AEF和△AEG中： AF = AG，∠EAF = ∠EAG，AE = AE， ∴△AEF ≌ △AEG（SAS）， ∴EF = EG = BE + BG = BE + DF。 13．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB上一点，AE = 1，F是BC的中点，将△EBF沿EF折叠，点B落在点B'处，连接DB'。求B'C的长。 【答案】； 【分析】建立坐标系，利用折叠性质列方程求解。 【详解】解：如图， 设A为坐标原点，AB在x轴上，AD在y轴上， 则A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)， ∵AE = 1，∴E(1,0)，EB = 3， ∵F是BC中点，∴F(4,2)，BF = 2。 设B'(x,y)，由折叠性质： EB' = EB = 3，FB' = FB = 2， ∴(x-1)² + y² = 9 ①， (x-4)² + (y-2)² = 4 ②。 ① - ②得：6x + 4y - 20 = 5，即3x + 2y = 12， ∴y = ，代入①： (x-1)² + = 9， 解得x = ，y = ， ∴B'C = = 。 三、中考链接题 1．（2024·江苏苏州·中考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上，且DE = 1，连接BE，则BE的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】在Rt△ABE中用勾股定理。 【详解】解：∵正方形ABCD边长为2，DE = 1， ∴AE = AD - DE = 2 - 1 = 1， 在Rt△ABE中： BE = = = 。 故选：B。 2．（2024·浙江杭州·中考）正方形的对角线长为4，则该正方形的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】正方形面积 = × 对角线²。 【详解】解：S = × d² = × 4² = × 16 = 8。 故选：B。 3．（2024·山东济南·中考）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，作BF⊥AE于G，交CD于F。求证：AE = BF。 【答案】见详解 【分析】证△ABE ≌ △BCF，利用同角的余角相等。 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB = BC，∠ABC = ∠C = 90°， ∴∠BAE + ∠AEB = 90°， ∵BF⊥AE，∴∠BGE = 90°， ∴∠CBF + ∠AEB = 90°， ∴∠BAE = ∠CBF（同角的余角相等）。 在△ABE和△BCF中： ∠BAE = ∠CBF，AB = BC，∠ABE = ∠C， ∴△ABE ≌ △BCF（ASA）， ∴AE = BF。 4．（2024·广东广州·中考）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB的中点，连接DE，过C作CF⊥DE于F，则CF的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】用面积法：△CDE的面积 = ½ × 正方形面积 = 8。 【详解】解：∵正方形ABCD边长为4， ∴S△CDE = × S正方形 = × 16 = 8， DE = = = = 2， 又S△CDE = × DE × CF， ∴8 = × 2√5 × CF， ∴CF = = 。 故选：A。 5．（2024·四川成都·中考）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，作∠DAE的平分线交CD于F。若AB = 4，BE = 3，则DF的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】过F作FG⊥AE于G，利用角平分线性质和面积法求解。 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB = 4， ∴AD = AB = BC = CD = 4，∠D = ∠C = 90°， ∵BE = 3，∴EC = BC - BE = 1， 在Rt△ABE中： AE = = = 5。 过F作FG⊥AE于G， ∵AF平分∠DAE，FD⊥AD，FG⊥AE， ∴FD = FG（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 设DF = x，则FG = x，FC = 4 - x。 S△ADF = × AD × DF = × 4 × x = 2x， S△AEF = × AE × FG = × 5 × x = (5/2)x， S四边形ADFE = S△ADF + S△AEF = 2x + (5/2)x = (9/2)x。 又S四边形ADFE = S梯形ADCE - S△EFC， S梯形ADCE = × (AD + EC) × CD = × (4 + 1) × 4 = 10， S△EFC = × EC × FC = × 1 × (4 - x) = 2 - ， ∴S四边形ADFE = 10 - (2 - ) = 8 + 。 ∴x = 8 + ， 4x = 8，x = 2， ∴DF = 2。 故选：C。 6．（2024·陕西·中考）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF = BE，连接CE、CF。求证：CE = CF。 【答案】见详解 【分析】证△CBE ≌ △CDF。 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC = DC，∠B = ∠CDA = 90°， ∴∠CDF = 180° - ∠CDA = 90°， ∴∠B = ∠CDF。 在△CBE和△CDF中： BE = DF，∠B = ∠CDF，BC = DC， ∴△CBE ≌ △CDF（SAS）， ∴CE = CF。 7．（2024·北京·中考）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，过A作AF⊥DE于F，连接BF。求证：BF = AB。 【答案】见详解 【分析】延长DE交AB延长线于G，证BF是Rt△AFG斜边中线。 【详解】证明：延长DE交AB的延长线于点G。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB = CD， ∴∠G = ∠CDE， ∵E是BC中点，∴BE = CE， 又∠BEG = ∠CED， ∴△BEG ≌ △CED（AAS）， ∴BG = CD = AB，即B是AG中点。 ∵AF⊥DE，∴△AFG是直角三角形， ∵B是AG中点， ∴BF = AG = AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。 学科网（北京）股份有限公司 $