5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二) 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦两角和差三角公式，通过基础与综合分层设计，实现从公式直接应用到实际问题解决的递进，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|单一公式应用、简单变形（如正切公式直接计算、已知三角函数值求角）|选择、填空为主，注重公式记忆与基本运算（如第3题正切差角公式变形）| |综合应用练|公式综合变形、实际情境应用（如三角形内角关系、建筑物距离计算）|解答题占比提升，强调推理与模型构建（如第15题结合几何图形建立三角模型）|

　　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)= (　　) A. B.- C.- D. 2.(5分)(2025·大理高一检测)已知tan(-α)=-3,则= (　　) A.-3　 B.3　 C.　 D.- 3.(5分)若α-β=60°,则tan α-tan β-tan αtan β= (　　) A.0　 B.1　 C.　 D.2 4.(5分)在△ABC中,内角A,B满足tan Atan B=3,则△ABC为 (　　) A.锐角三角形　 B.直角三角形 C.钝角三角形　 D.等腰三角形 5.(5分)已知sin α=且α是锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为 (　　) A. B. C. D. 6.(5分)(多选)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则 (　　) A.<α<　 B.β<<α C.<α<β　 D.<β<α 7.(5分)已知2tan θ-tan(θ+)=7,则tan θ=　　.  8.(5分)tan 15°+tan 105°=　　.  9.(5分)已知α,β为锐角,sin α=,sin(α-β)=-,则tan(α+β)=　　.  10.(10分)已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值. 【综合应用练】 11.(5分)(2026·枣庄高一检测)已知cos (-α)=,sin (+β)=-,α∈(,),β∈(0,),则sin (α+β)= (　　) A. B.- C. D.- 12.(5分)(多选)已知α,β均为锐角,且2sin(α+β)=3sin(α-β),则 (　　) A.tan α=5tan β B.5tan α=tan β C.若α+β=,则tan β= D.tan(α-β)的最大值为 13.(5分)已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为　　.  14.(10分)已知tan(α+β)=2,tan(β-α)=3. (1)求tan 2α的值; (2)求tan 2β的值. 15.(10分)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD. 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)= (　　) A. B.- C.- D. 【解析】选A.由题意可得 =tan (-)=tan ,所以. 2.(5分)(2025·大理高一检测)已知tan(-α)=-3,则= (　　) A.-3　 B.3　 C.　 D.- 【解析】选D.因为tan(-α)=-3,所以=-3,解得tan α=-2, 所以=-. 3.(5分)若α-β=60°,则tan α-tan β-tan αtan β= (　　) A.0　 B.1　 C.　 D.2 【解析】选C.由α-β=60°,可得:tan(α-β)=tan 60°=,又因为tan(α-β)=, 所以tan α-tan β=+tan αtan β,即tan α-tan β-tan αtan β=. 4.(5分)在△ABC中,内角A,B满足tan Atan B=3,则△ABC为 (　　) A.锐角三角形　 B.直角三角形 C.钝角三角形　 D.等腰三角形 【解析】选A.由A,B∈(0,π),且tan Atan B=3>0,得A和B均为锐角, 又tan C=-tan(A+B)=-=>0, 又C∈(0,π),所以C也为锐角,故△ABC为锐角三角形. 5.(5分)已知sin α=且α是锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.sin α=且α是锐角,可得cos α=,tan α=; 又tan β=-3,且β为钝角,故α+β∈(,). tan(α+β)==-1. α+β的值为. 6.(5分)(多选)已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+tan αtan β=,则 (　　) A.<α<　 B.β<<α C.<α<β　 D.<β<α 【解析】选AB.因为α为锐角,sin α-cos α=>0,sin α>cos α,tan α>1,所以<α<. 又tan α+tan β+tan αtan β=,所以tan(α+β)=, 所以α+β=,又α>,所以β<<α. 7.(5分)已知2tan θ-tan(θ+)=7,则tan θ=　2　.  【解析】因为2tan θ-tan(θ+)=7,所以2tan θ-=7, 即2tan θ-2tan2θ-tan θ-1=7-7tan θ,即2tan2θ-8tan θ+8=0, 即2(tan θ-2)2=0,解得tan θ=2. 8.(5分)tan 15°+tan 105°=　-2　.  【解析】tan 15°+tan 105°=tan(45°-30°)+tan(45°+60°)=+ =-2. 9.(5分)已知α,β为锐角,sin α=,sin(α-β)=-,则tan(α+β)=　-　.  【解析】因为α,β为锐角,所以0<α<,0<β<,所以-<α-β<,所以cos(α-β)>0. 因为sin α=,所以cos α=,tan α==2, 因为sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=, sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=-×(-)=, 所以cos β=,tan β==7. 所以tan(α+β)==-. 10.(10分)已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值. 【解析】因为tan β=-,tan(α-β)=, 所以tan α=tan[(α-β)+β]=, tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1. 因为tan α=>0,tan β=-<0,所以α∈(0,),β∈(,π),所以α-β∈(-π,0). 又因为tan(α-β)=>0,所以α-β∈(-π,-),2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). 又tan(2α-β)=1,所以2α-β=-. 【综合应用练】 11.(5分)(2026·枣庄高一检测)已知cos (-α)=,sin (+β)=-,α∈(,),β∈(0,),则sin (α+β)= (　　) A. B.- C. D.- 【解析】选A.因为α∈(,),则-α∈(-,0),且cos (-α)=,可得sin (-α)=-=-, 又因为β∈(0,),则+β∈(,), 且sin (+β)=-,可得cos (+β)=-=-, 所以sin (α+β)=sin [(+β)-(-α)-π]=-sin [(+β)-(-α)] =-sin (+β)cos (-α)+cos (+β)sin (-α)=-(-)×+(-)×(-)=. 12.(5分)(多选)已知α,β均为锐角,且2sin(α+β)=3sin(α-β),则 (　　) A.tan α=5tan β B.5tan α=tan β C.若α+β=,则tan β= D.tan(α-β)的最大值为 【解析】选ACD.由2sin(α+β)=3sin(α-β), 得2(sin αcos β+cos αsin β)=3(sin αcos β-cos αsin β), 即sin αcos β=5cos αsin β,由α,β为锐角,得cos α≠0,cos β≠0, 对于A,B,tan α=5tan β,A正确,B错误; 对于C,由α+β=,得tan(α+β)==1, 即5tan 2β+6tan β-1=0,而tan β>0,解得tan β=,C正确; 对于D,tan(α-β)=≤, 当且仅当5tan β=,即tan β=时取等号,D正确. 13.(5分)已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为　　.  【解析】由(tan α-1)(tan β-1)=2,可得tan α+tan β=tan αtan β-1,所以tan (α+β)==-1. 由α,β是锐角,可得α+β∈(0,π),所以α+β=. 14.(10分)已知tan(α+β)=2,tan(β-α)=3. (1)求tan 2α的值; 【解析】(1)tan 2α=tan [(α+β)-(β-α)]==-. (2)求tan 2β的值. 【解析】(2)tan 2β=tan [(α+β)+(β-α)]==-1. 15.(10分)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD. 【解析】如图,作AE⊥CD于点E. 因为AB∥CD,AB=9 m,CD=15 m,所以DE=9 m,EC=6 m. 设AE=x,∠CAE=α. 因为∠CAD=45°,所以∠DAE=45°-α. 在Rt△AEC和Rt△AED中,有tan α=,tan(45°-α)=. 因为tan(45°-α)=,所以,化简得x2-15x-54=0, 解得x=18,x=-3(舍去). 即两座建筑物之间的距离BD为18 m. 学科网（北京）股份有限公司 $