第2章 专题提升3 动态平衡和平衡中的临界极值问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·物理

**基本信息** 以动态平衡和临界极值为核心，构建“方法分类-模型建构-问题解决”的系统化训练体系，突出科学思维中的模型建构与科学推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动态平衡问题|8（4方法×2例）|解析法（正交分解列方程）、图解法（三力平衡/辅助圆模型）、相似三角形法（力与几何三角形相似）、正弦定理法（拉密定理）|从动态平衡概念出发，按受力特点分类方法，通过典例实现“方法-模型-应用”的逻辑闭环| |临界极值问题|2（3方法×综合例）|极限分析法（推向极端找临界）、数学分析法（函数关系求极值）、图解法（矢量图动态分析）|基于平衡条件，结合临界状态特征，通过三种方法实现极值问题的定量求解|

专题提升三　动态平衡和平衡中的临界极值问题 [复习目标] 1．掌握动态平衡问题的特点，熟练应用平衡条件对物体的动态变化做出分析。　2.根据问题特点，能够熟练应用解析法、图解法、相似三角形法和正弦定理法分析动态平衡问题。　3.应用平衡条件解决临界极值问题。 题型一　动态平衡问题 方法1　解析法的应用 1．动态平衡：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。 2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，应用正交分解的方法列方程，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 (2026·青海西宁市模拟)在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙面间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。现对B施加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的摩擦力为F3。若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中(　　) A．F1缓慢减小，F3缓慢增大 B．F1保持不变，F3保持不变 C．F2缓慢增大，F3缓慢增大 D．F2缓慢减小，F3缓慢减小 [解析]　设F2与水平方向夹角为θ，由牛顿第三定律可知，A对B的作用力F2′＝F2，对B在竖直方向有F2′sin θ＝mBg＋F，对B在水平方向有F1＝F2′cos θ，F增大，F2增大，F1增大，对整体水平方向有F3＝F1 ，可知F3增大，C正确，A、B、D错误。 [答案]　C (2026·山东菏泽市模拟)图甲是为了保护腰椎，搬起重物的正确姿势。搬起重物是身体肌肉、骨骼、关节等部位共同作用的过程，现将其简化为图乙所示的模型。设脚掌受地面竖直向上的弹力大小为FN，膝关节弯曲的角度为θ，该过程中大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F始终水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力F1和F2大致相等。人缓慢搬起重物的过程中，下列说法正确的是(　　) A．FN逐渐变大 B．F1逐渐变大 C．F逐渐变小 D．脚掌受地面竖直向上的弹力是因为脚掌发生形变而产生的 [解析]　人缓慢搬起重物的过程中，脚掌受到竖直向上的弹力与人和重物的总重力平衡，大小不变，A错误；设大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大小为F1，则他们之间的夹角为θ，F即为他们合力，则有2F1cos ＝F，对脚掌受力分析有FN＝F1sin ，联立可得F＝，人缓慢搬起重物的过程中，膝盖弯曲的角度θ变大，F1、F逐渐变小，B错误，C正确；脚掌受地面竖直向上的弹力是因为地面发生形变而产生的，D错误。 [答案]　C 方法2　图解法的应用 1．三力平衡模型 (1)模型特点：一个恒力，一个定力，一个变力。恒力：大小、方向都不变。定力：方向不变，大小变。变力：大小、方向都变。如图所示。 (2)解题思路：恒力反向、定力平移、变力旋转。 2．辅助圆模型 (1)模型特点：一个恒力，两个变力，但这两个变力方向间的夹角不变。如图所示。 (2)解题思路：画出力的矢量三角形的外接圆，以不变的力为弦，用“同弦所对的圆周角相等”的规律判断移动过程中各力的变化情况。 (2026·山西晋中市模拟)如图所示，斜面体abc固定在水平面上，有一挡板MN，延长线经过a点，在斜面和挡板MN之间有一光滑小圆柱Q，整个装置处于平衡状态。初始时∠NMc<90°，若用外力使挡板MN绕a点缓慢沿顺时针转动，且保证N、M、a三点始终共线，在挡板MN转到水平位置前，下列说法正确的是(　　) A．挡板MN对Q的支持力逐渐增大 B．挡板MN对Q的支持力先减小后增大 C．斜面体对Q的支持力先增大后减小 D．小圆柱Q所受的合力逐渐增大 [解析]　 对小圆柱受力分析如图所示，挡板MN转到水平位置前，小圆柱Q所受的合力为零且保持不变；挡板MN对小圆柱Q的支持力N2先减小后增大；斜面体对Q的支持力N1逐渐减小。 [答案]　B (2026·甘肃武威市期末)如图甲所示，挡板OM、ON与水平面的夹角均为60°，一表面光滑的球静置在两挡板之间。现将整个装置绕过O点垂直于纸面的轴顺时针缓慢转动到挡板OM竖直，如图乙所示，整个过程中两挡板间的夹角保持不变，下列说法正确的是(　　) A．挡板OM对球的作用力大小逐渐增大 B．挡板ON对球的作用力大小先增大后减小 C．转动前，挡板ON对球的支持力大小等于球所受重力大小的一半 D．转动后，挡板OM对球的支持力大小等于挡板ON对球的支持力大小的一半 [解析]　 对球进行分析，作出受力分析矢量图，利用辅助圆作图，如图所示，图中实线三角形为初始状态，虚线三角形为末状态，可知，挡板OM对球的作用力大小逐渐减小，挡板ON对球的作用力大小逐渐增大，故A、B错误；结合上述可知，转动前，两挡板的支持力夹角为120°，则挡板ON对球的支持力大小等于球所受重力大小，故C错误；由虚线三角形可知，转动后，挡板OM对球的支持力大小FM′＝FN′ cos 60°＝FN′，故D正确。 [答案]　D 方法3　相似三角形法的应用 1．方法特点 一个恒力，两个变力，找出几何三角形，如图所示。 2．解题思路 力的矢量三角形与几何三角形相似，进而由力的矢量三角形与几何三角形对应边成比例，判断未知力的大小和方向。 (2026·山东聊城市模拟)警用钢叉是一种常用的防暴器械，其前端为半圆形的叉头，后端为握柄，如图1所示。现将钢叉竖直放置，半圆环的圆心为O，小球a套在半圆环上，小球b套在竖直杆上，两者之间用一轻弹簧连接。初始时小球b在外力作用下静止在竖直杆上，此时小球a静止在离半圆环最低点较近处，如图2所示。现使小球b缓慢上移少许，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中弹簧始终在弹性限度内，则半圆环对小球a的弹力(　　) A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 [解析]　 对a球受力分析，如图所示，由几何关系可知，力的矢量三角形与△aOb相似，则有＝，在小球b缓慢上移过程中，Ob逐渐减小，Oa保持不变，则半圆环对小球a的弹力一直增大，故A正确。 [答案]　A (2026·四川广安市诊断)某智能机械臂应用模型如图所示，机械臂通过不可伸长的吊索OB和可以伸缩的液压杆OA吊起重物，其中A点通过铰链与竖直墙面连接。现缓慢调整液压杆OA，使吊索OB逐渐趋近水平，在此过程中(　　) A．OA的支持力逐渐增大，OB的拉力大小不变 B．OA的支持力先减小后增大，OB的拉力大小不变 C．OA的支持力逐渐增大，OB的拉力逐渐减小 D．OA的支持力大小不变，OB的拉力逐渐减小 [解析]　 对O点受力分析如图，根据相似三角形关系可知＝＝，缓慢调整液压杆OA，使吊索OB逐渐趋近水平，在此过程中，G不变，AB不变，则不变，OA变大，OB不变，可知FAO变大，FOB不变。 [答案]　A 方法4　正弦定理的应用 1．受力特点：物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变(通常是重力)，另两个力方向、大小都在变，但两力的夹角不变。 2．求解方法：通常能用辅助圆法求解的问题也可用拉密定理法(或正弦定理法)求解。 3．拉密定理：如图所示，同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任意一个力与其他两个力夹角正弦的比值相等，即＝＝。其实质就是正弦定理的变形。 如图所示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中(　　) A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 [解析]　 设两根绳子对圆柱体的拉力的合力为T，木板对圆柱体的支持力为N，从右向左看的受力分析示意图如图所示，在木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平过程中α角不变，γ角从90°逐渐减小到0°，β角从锐角逐渐增大到钝角，根据＝＝，sin γ逐渐减小，则T逐渐减小，sin β先增大后减小，则N先增大后减小，即圆柱体对木板的压力先增大后减小，设两根绳子之间的夹角为2θ，绳子拉力均为T′，则2T′cos θ＝T，可得T′＝，θ不变，T逐渐减小，则绳子拉力逐渐减小，故B正确，A、C、D错误。 [答案]　B 如图所示，送水工人用推车运桶装水，到达目的地后，工人抬起把手，带动板OA转至水平即可将水桶卸下。板OA、OB对水桶的作用力分别为F1、F2，若桶与接触面之间的摩擦不计，∠AOB为锐角且保持不变，在OA由竖直缓慢转到水平过程中(　　) A．F1一直增大 B．F1先增大后减小 C．F2先减小后不变 D．F2先增大后减小 [解析]　 对水桶初始状态受力分析，作出力的矢量三角形如图所示，分析可知，在转动过程中，F1与F2的夹角始终不变，因此F1与F2夹角的补角α始终保持不变，重力mg与F1之间的夹角逐渐增大，则可知重力mg与F1之间夹角的补角γ从90°开始逐渐减小，直至为0°，重力mg与F2之间的夹角为钝角，逐渐减小，当减小至90°时，板AO还未水平，将继续减小直至板AO水平，则可知重力mg与F2之间夹角的补角β逐渐增大，当增大至90°时将继续增大，根据正弦定理可得＝＝，可知为定值，而sin γ始终减小，则F2始终减小，但由于β角从锐角增大至90°后将继续增大一定角度，则sin β先增大后减小，因此可知F1先增大后减小。 [答案]　B 题型二　平衡中的临界极值问题 1．问题特点 (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态能够“恰好出现”或“恰好不出现”。在问题描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 (2)极值问题：一般是指在力的变化过程中出现最大值和最小值问题。 2．三种方法 极限分析法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小 数学分析法 通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值 (2024·山东卷，T2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　) A． B． C． D． [解析]　斜坡倾角越大，机器人越容易下滑，只要保证机器人在 30°倾角的斜坡上不下滑，在小于30°倾 角的斜坡上更不会下滑，对斜坡上的机器人受力分析，有μmg cos 30°≥mg sin 30°，解得μ≥，B正确。 [答案]　B (2026·广东肇庆市模拟)筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，小球静止。下列说法正确的是(　　) A．筷子对小球的最小压力是 B．当θ增大时，筷子对小球的最小压力一定不变 C．当θ减小时，筷子对小球的最小压力一定增大 D．要想用筷子夹住小球，必须满足μ>tan θ [解析]　 对小球受力分析，如图所示，小球受力平衡，竖直方向有2f cos θ＝mg＋2N sin θ，f≤fmax＝μN，解得N≥，故筷子对小球的最小压力为，A错误；根据Nmin＝，可知当θ增大时，筷子对小球的最小压力一定增大，当θ减小时，筷子对小球的最小压力一定减小，故B、C错误；要想用筷子夹住小球，则Nmin＝>0，则μcos θ－sin θ>0，即必须满足μ>tan θ，故D正确。 [答案]　D 学科网（北京）股份有限公司 $