5.5 三元一次方程组（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组，涵盖定义、解法及应用，通过古题“上禾、中禾、下禾得米”引入，衔接二元一次方程组知识，以消元思想为支架构建三元转二元再转一元的转化脉络。 其亮点在于古题导入培养数学眼光，消元解法训练数学思维，实际应用问题发展数学语言。如比例问题设k法、购物问题建模，梯度习题与流程总结助学生掌握化归思想，教师可高效开展分层教学与知识巩固。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第五章 二元一次方程组 5.5 三元一次方程组 2026年8月2日 北师大版八年级上册5.5三元一次方程组练习题 本套练习题紧扣5.5三元一次方程组核心知识点，涵盖三元一次方程（组）的定义、方程组的判定、解的检验、代入消元、加减消元解三元一次方程组等重难点。本节核心解题思想依旧是消元，通过逐步消元将三元转化为二元、再转化为一元一次方程求解。习题梯度清晰，基础题夯实概念与解题思路，中档题强化规范运算，拓展题提升综合解题能力，适配课堂巩固与课后专项练习。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 含有________个未知数，并且每个未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。 2. 由________个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解三元一次方程组的基本思路是________，先将三元一次方程组转化为________方程组，再进一步求解。 4. 解三元一次方程组常用的两种方法是________消元法和________消元法。 5. 若一组未知数的值能同时满足三元一次方程组中________方程，则这组值是该方程组的解。 6. 方程组中有某个方程缺少一个未知数时，优先利用该方程进行________消元，简化计算。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程属于三元一次方程的是（） A.x+y+3z=5 B.x²+y+z=2 C.xy+z=4 D.x+1/y+z=3 2. 解三元一次方程组的最终目的是化为（） A.二元一次方程组 B.一元一次方程 C.整式方程 D.分式方程 3. 下列属于三元一次方程组的是（） A.{x+y=1，y+z=2，x+z=3 B.{x+y+z=1，xy=2，y+z=3 C.{x+y=1，y²+z=2，x+z=3 D.{x+y+z=1，x=2，yz=3 4. 解三元一次方程组时，优先消去的未知数一般是（） A.系数最大的 B.系数最简单或已有缺项的 C.任意未知数 D.常数项对应的未知数 5. 检验三元一次方程组的解，需要代入（） A.任意一个方程 B.两个方程 C.所有三个方程 D.无需代入检验 三、中档解答题（每题10分，共30分） 1. 判断下列方程组是否为三元一次方程组，并说明理由：{x+y-z=5，2x-y=3，y+z=4}。 2. 用代入消元法解三元一次方程组：{x+y+z=6，x=1，y-z=2}。 3. 用加减消元法解简单三元一次方程组：{x+y=3，y+z=5，x+z=4}。 四、拓展提升题（20分） 解三元一次方程组：{3x+y+z=10，x+3y+z=12，x+y+3z=14}，要求写出完整消元、求解、回代步骤。 参考答案及简要解析 一、填空题 1.三；2.三；3.消元、二元一次；4.代入、加减；5.所有；6.直接。核心：三元方程组核心是逐级消元，化繁为简。 二、选择题 1.A（B、C含二次项，D不是整式方程） 2.B（最终化为一元一次方程求解） 3.A（其余选项含高次项或乘积项） 4.B（优先消简单未知数，减少计算量） 5.C（需满足全部方程才是方程组的解）。 三、解答题 1.是三元一次方程组，含有x、y、z三个未知数，所有未知数次数为1，均为整式方程。2.将x=1代入得{1+y+z=6，y-z=2}，解得y=3.5，z=1.5，解为{x=1，y=3.5，z=1.5}。3.三式相加化简得x+y+z=6，分别相减得z=3，x=1，y=2，解为{x=1，y=2，z=3}。 四、拓展题 三式相加得5x+5y+5z=36，化简得x+y+z=7.2，分别与原式相减，得2x=2.8、2y=4.8、2z=6.8，解得x=1.4，y=2.4，z=3.4。 核心知识点总结：三元一次方程组解题步骤：观察方程、确定消元对象、逐级消元（三元转二元、二元转一元）、求解回代、检验答案。优先消去缺项、系数简单的未知数，代入法适合有直接表达式的方程，加减法适合系数规整的方程，是方程组知识的拓展与综合应用。 知道三元一次方程组的定义，会解简单的三元一次方程组. 会用三元一次方程组解决简单的实际问题. 通过探索发现解三元一次方程组的基本思想仍是“消元”进一步体会数学的化归思想. 04 古题引入 有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾一束，中禾二束，下禾三束，可得米26斗；问上、中、下禾每束可得米多少斗？ 03 新知探究 探究一 三元一次方程组的概念 解：设每束上禾得米x斗、每束中禾得米y斗，每束下禾得米z斗 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26 观察方程组的特点： 几个未知数？未知项的次数是几？ 04 情境引入 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26 像这样 含有三个未知数的三个一次方程组成的 方程组叫三元一次方程组. 三个一次方程的公共解叫做三元一次方程组的解。 知识点1 三元一次方程（组）的有关概念 1.下列方程中，三元一次方程共有( ) ；；； 。 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 举一反三 6 2.下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 7 03 新知讲解 解三元一次方程组 探究二 3x+2y+z=39 ① 2x+3y+z=34 ② x+2y+3z=26 ③ 解：由①得：z=39-3x-2y ④ ④代入②③ 得： x-y=5 ⑤ 8x+4y=91 ⑥ 解由⑤⑥方程组成的方程组得： x= y= 削去z，三元一次变二元一次 例题1： 把x= ,y= 代入④得：z= x= 所以原方程组的解是： y= z= 03 新知讲解 解三元一次方程组 探究二 思考：如何检验方程的解是否正确？ 03 新知讲解 例2.解三元一次方程组 x+y=7 ① y+z=9 ② z+x=8 ③ 解：①+②+③得:2x+2y+2z=24 即 x+y+z=12 ④ ④－①得z=5 ④－②得x=3 ④－③得y=4 ∴三元一次方程组的解为 x=3 y=4 z=5 03 新知讲解 例题3 解方程组 x：y：z=2：3：5 x+y+z=200 解：设x=2k,y=3k,z=5k 将 x=2k， y=3k， z=5k 代入②得 2k+3k+5k=200, k=20 所以x=40,y=60,z=100 ∴三元一次方程组的解为 x=40 y=60 z=100 知识要点1 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 知识要点2 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元． 知识点2 三元一次方程组的解法 3.解方程组 时，第一次消去未知数的最佳方法是 ( ) C A.加减法消去，即， B.加减法消去，即， C.加减法消去，即， D.代入法消去，， 中的任何一个 返回 举一反三 14 4.［教材随堂练习 变式］解方程组： 解： 举一反三 15 由，可得 ，④ 由，可得 ，⑤ 由，可得，解得 ， 将代入④，可得 ， 解得，将， 代入②， 可得，解得，所以该方程组的解为 返回 举一反三 16 知识点3 三元一次方程组的简单应用 5.林芳、向民、艳君三名同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支 笔，2本笔记本，10本作文本，共用了19元。”向民说：“我买了2支笔， 3本笔记本，10本练习本，共用了20元。”艳君说：“我买了12本练习本， 8本作文本，共用了10元；作文本与练习本的价格是一样的。”请根据以 上内容，求出笔记本、笔、练习本的价格。 举一反三 17 解：设笔记本每本元，笔每支元，练习本或作文本每本 元。 由题意得 解得 答：笔记本每本4元，笔每支1.5元，练习本每本0.5元。 返回 举一反三 18 6. 三元一次方程组中 的值为( ) B A.10 B.11 C.12 D.13 返回 举一反三 19 7.［教材随堂练习 变式］ 一个三位数，个位、百位上的数字之和 等于十位上的数字的2倍，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字之 和大7，个位、十位、百位上的数字之和是9，求这个三位数。 解：设个位、十位、百位上的数字分别为,, 。 根据题意得 解得 所以这个三位数为234。 返回 举一反三 20 05 课堂小结 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 谢谢观看 THANKS $