第四章 基本平面图形重难点训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 本专项聚焦平面图形核心考点，以16类题型构建从概念辨析到综合应用的递进训练体系，融合规律公式与转化思想，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线与角基础|13题型|数量规律公式、中点/角平分线计算模型|从直线射线线段概念到角的分类、度量与运算，形成概念-计算逻辑链| |作图与应用|2题型|尺规作图规范、最短路径转化法|结合实际情境，培养空间观念与应用意识| |多边形与圆|2题型|截角分类讨论、对角线公式应用|从多边形性质到圆的度量，拓展几何认知维度|

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 基本平面图形 题型1 直线，射线，线段的数量问题 题型2 直线，射线，线段的联系与区别 题型3 点与线的位置关系 题型4 线段中点的有关计算 题型5 线段n等分点的有关计算 题型6 最短路径问题 题型7 作线段（尺规作图） 题型8 角的分类 题型9 方位角的表示 题型10 角的单位与角度值 题型11 角度的四则运算 题型12 角平分线的有关计算 题型13 角n等分线的有关计算 题型14 多边形截角后的边数问题 题型15 多边形对角线的条数问题 题型16 圆的周长和面积问题 【题型1 直线，射线，线段的数量问题】 1．盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 【答案】 【分析】先确定总站点数，车票与出发地和目的地的顺序有关，往返两站的车票为不同车票，计算所有不同顺序的两站组合数即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，线路两端分别为泰兴和太湖，加上中间的3个站点，总站点数为 个． ∵任意两站间往返车票不同， ∴每个站点可到达其余个站点， ∴不同车票的总数为． 2．如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有几个角（    ） A．378 B．406 C．435 D．465 【答案】D 【分析】由条件可以总结出从角的顶点画条射线，图中共有个角，即可得到答案 【详解】解：在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角； 从图（2）顶点画条射线，图中共有个角； …… 若从角的顶点画条射线，图中共有个角； ∴从角的顶点画条射线，图中共有个角． 3．如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……按照此规律，在内画10条射线时，则图中角的个数是（   ） A．65 B．66 C．67 D．68 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律的探究，解题的关键是找出角的个数与射线条数之间的数量关系． 先根据已知条件总结出在内画条射线时，角的个数的通用公式，再将代入公式计算结果． 【详解】解：在内画条射线时，图中共有条射线， 内部射线数 总射线条数 代入公式计算 实际角的个数 1 条 3 条 3 个 2 条 4 条 6 个 3 条 5 条 10 个 …… ∴角的个数为， 当时，． 故选：． 【直线，射线，线段的联系与区别】 4．下列说法中正确的个数为（    ） ①如果线段，，则线段； ②直线和直线是同一条直线； ③两点之间的所有连线中，线段最短． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线、线段，根据线段、直线的性质进行判断即可． 【详解】解：①如果线段，，则线段，因此①不正确； ②直线和直线是同一条直线，因此②正确； ③两点之间的所有连线中，线段最短，因此③正确． 综上所述，正确的结论有②③，共2个， 故选：B． 5．下列说法中，正确的是（     ） ①射线和射线是同一条射线；②若，则点B为线段的中点；③连接两点间的线段的长度叫做这两点之间的距离；④点C在线段上，M，N分别是线段，的中点．若，则线段． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查射线、线段中点、两点间距离的相关几何概念，需逐一分析每个说法的正误来得出答案．根据射线的定义、线段中点的定义、两点之间的距离的定义及线段的和差求解． 【详解】解：①射线和射线是两条射线；故①是错误的； ②若，当A、B、C共线时，则点B为线段的中点；当A、B、C不共线时，点B不是线段的中点；故②是错误的； ③连接两点间的线段的长度叫做这两点之间的距离，故③是正确的； ④点C在线段上，M、N分别是线段，的中点．则，，即可得到，若，则线段，故④是正确的； 故选：D． 6．如图，已知线段a，b和． (1)用直尺和圆规在的一边上作线段，在另一边上作线段，并作直线． (2)根据（1）中作出的图形，解答下列问题： ①用大写字母表示所有的线段：____________．     ②以点A为端点的射线共有____________条． 【答案】(1)见解析 (2)①,,② 【分析】（1）分析题意，利用尺规作一条线段等于已知线段的方法； （2）根据线段与射线的定义以及表示方法来解答即可. 本题主要考查了线段、直线和射线的作法及线段、射线的表示方法.作图的关键是掌握线段、直线、射线的定义． 【详解】（1）解：根据题意得图： （2）①用大写字母表示所有的线段：，， ②可以用字母表示的，以点为端点的射线有射线，，，共条 故答案为：①，，；②． 【点与线的位置关系】 7．O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 【答案】D 【分析】利用线段和的性质，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴O点在直线外或O点在线段的延长线上或O点在线段的延长线上， 即O点不在线段上， 故D选项符合题意． 8．已知线段，则点C的位置可能会出现以下的（    ）种情况． ①在线段上； ②在线段的延长线上； ③在线段的延长线上； ④在直线外． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差计算与两点之间的距离，分四种情况逐一讨论验证即可解题． 【详解】解：①若点在线段上 ，与矛盾，故①不可能． ②若点在线段的延长线上 设，则 由得： 解得，存在符合条件的点，故②可能． ③若点在线段的延长线上 设 ，则 由得： 解得，存在符合条件的点，故③可能． ④若点在直线外 根据两点之间，线段最短，可得，即， 因此可以等于，存在符合条件的点，故④可能． 综上，②③④共3种可能情况． 9．如图、已知直线l和点A、B，P． (1)用适当的语句表述点B与直线l的位置关系：______； (2)请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①画射线； ②连接，在线段的延长线上作线段，使； (3)连接，则______（填“”“”“”）成立的理由是______． 【答案】(1)点B在直线l上（直线l经过点B） (2) 解：①如图，射线即为所求． ②如图，线段即为所求． ． (3)，两点之间，线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、两点间的距离． （1）根据点与直线的位置关系可得答案； （2）①根据射线的定义画图即可；②以点P为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点C，则线段即为所求； （3）根据两点之间线段最短可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，点B在直线l上（直线l经过点B）， 故答案为：点B在直线l上（直线l经过点B）； （2）略 （3）解：， 成立的理由是：两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 【线段中点的有关计算】 10．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点．求的长． 【答案】 【分析】由线段中点的定义得出，，再由线段的和差关系即可得出的长． 【详解】解：，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ． 11．已知，，三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为__________． 【答案】或 【分析】本题分两种情况进行讨论，①当点在的延长线上时，②当点在的延长线上时，分别根据中点的性质求出的长，再结合线段和差关系求出的长即可． 【详解】解：①当点在的延长线上时， ，， ， ， 点是线段的中点， ， ； ②当点在的延长线上时， ，， ， ， 点是线段的中点， ， ， 综上所述，线段的长为或 12．已知，，是同一条直线上的三点，，分别是线段，的中点，，，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：①当点在的延长线上时， 是的中点， ， 是的中点， ， ； ②当点在线段上时， 是的中点， ， 是的中点， ， ； 综上所述，线段的长为或． 【线段n等分点的有关计算】 13．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【分析】本题考查了与中点相关的计算，线段的和差，线段n等分点的有关计算，熟练掌握与中点相关的计算是关键．设，可逐步求得，，，，即可逐步判断各个结论的正误． 【详解】解：设， ， ， 是的三等分点且， ，， ， ， 故①正确； 是线段的中点， ， ， 故②错误； 同时，，， ， 故③错误； ，， ， 故④正确； 正确结论的有①④． 故答案为：①④． 14．点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点、三等分点，关键是灵活利用知识点解题；分别考虑点在上的两种位置情况，利用线段中点、三等分点的性质，通过线段和差关系计算的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ①当时， ∵， ∴，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，线段的长为或， 故选：C. 15．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【最短路径问题】 16．操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【答案】(1)图见详解，两点之间线段最短 (2)图见详解 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，画线段，解题的关键熟练掌握线段的性质． （1）连接即可；根据两点之间线段最短进行解答即可； （2）将正方体前面的面和右侧面展开，连接即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． （2）解：如图，即为所求最短路线． 或 或 或 17．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，连接； (2)在射线上求作点M，使得（保留作图痕迹）； (3)请在直线上确定一点N，使点N到点M与到点D的距离之和最短，并写出画图的依据． 【答案】(1) 如图，线段即为所求； (2) 如图，点即为所求； (3)如图，点即为所求；依据：两点之间线段最短． 【分析】（1）画出直线，射线，连接，即可； （2）以点为圆心，的长为半径，画弧，交射线于点，即为所求； （3）连接，交于点，即为所求； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据两点之间线段最短，所以， 当三点共线时，最小，即点N到点M与到点D的距离之和最短； 【点睛】本题考查直线，射线，线段的作图，以及线段的性质．熟练掌握两点确定一条直线，射线向一边无限延长，两点之间线段最短，是解题的关键． 18．如图，已知点A，B，C，D． (1)按要求画图： ①连接AD，作射线BC； ②画点P，使PA＋PB＋PC＋PD的值最小； ③画点E，使点E既在直线CD上又在直线AB上． (2)填空：若点B是线段AE的中点，点F在直线AB上，BF＝1，AB＝3，则EF的长为 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析 (2)2或4 【分析】（1）①连接AD，作射线BC即可； ②连接AC、BD交于点P，此时PA+PB+PC+PD的值最小； ③作射线DC、射线AB交于点E，此时点E既在直线CD上又在直线AB上． （2）根据点B是线段AE的中点，点F在直线AB上，BF=1，AB=3，分两种情况即可求出EF的长． 【详解】（1）如图所示， （2）∵点B是线段AE的中点， ∴BE=AB=3， 点F在直线AB上，BF=1， 则EF的长为：BE-BF=2或BE+BF=4． 故答案为2或4． 【作线段（尺规作图）】 19．如图，点，，是不在一条直线上的三个点，且，过，两点作直线，并连接，． (1)尺规作图：延长至，使得点为的中点，作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，只保留作图痕迹，不用写做法） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，延长交该弧于点；以为圆心，为半径画弧，延长与该弧相交，并以该交点为圆心，为半径画弧，继续延长与第二条弧相交，该点即为点； （2）由点为的中点，求出、的长，继而可得、的长，最后由即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，点，射线，线段即为所求： （2）解：为的中点， ， ， ， ， ， ． 20．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 【答案】 线段即为所求： 【分析】先画出射线，在射线上截取，在射线上截取，在线段上截取即可解答． 【详解】略 21．已知线段、，请用尺规求作一条线段，使其等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】利用作图的线段等于已知线段表示线段的和差即可. 【详解】解：作射线，在其上顺次截取，在射线的反方向截取， 则线段即为所求.     . 【角的分类】 22．下列说法正确的是（  ） A．整数可分为正整数和负整数 B．两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和 C．多项式的项是 D．平角是一条直线 【答案】B 【分析】本题考查整数的分类、绝对值性质、多项式项的定义以及平角的概念． 逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：整数包括正整数、负整数和零，选项A忽略零，A错误； 设两个负数，则，即，又，∴，∴B正确； 多项式的项是，C错误； 平角是由两条射线组成的角，度数为，不是一条直线，D错误； 故选：B． 23．如图，为直线上一点，，是的角平分线，． (1)图中小于平角的角有_______个； (2)求的度数； (3)猜想是否平分，并说明理由． 【答案】(1)9 (2) (3) 平分． 理由如下： ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴，即平分． 【分析】此题考查角的计算问题，熟记平角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键． （1）根据角的数法进行解答即可； （2）根据角平分线的定义得出，再利用互补解答即可； （3）得出和的度数，再利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：小于平角的角有，，，，，，，，共9个， 故答案为：9. （2）∵为直线上一点， ∴； ∵，且是的平分线， ∴， ∴， （3）略 24．下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 【方位角的表示】 25．点A在点O的南偏东方向，点B在点O的北偏西方向，则，这两条射线构成的角（小于）的度数为 _________ ． 【答案】 【分析】根据方向角的定义画出示意图，利用平角的度数计算与所夹小于的角的度数． 【详解】解：根据题意，画出图形，设点O处正北方向所在射线为，正南方向所在射线为， 由方向角的定义可得：，， 因为正北方向与正南方向共线，所以， 因此． 26．如图，射线的方向是北偏西，若，则射线的方向是（   ） A．南偏西 B．西偏南 C．东偏北 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴射线表示的方向是南偏西， 故选：A． 27．已知小明的家在学校南偏东方向．如图，射线分别表示东、南、西、北方向，射线表示北偏东方向．如果点表示学校，画出从学校到小明家方向的射线． 【答案】见详解 【分析】本题考查方位角的概念，方位角的作图方法．通过明确方向基准，确定角度关系绘制射线是解题的关键． 根据射线表示正南方向，射线表示正东方向，“南偏东”是指从正南方向（射线）向东（射线）偏转，绘制射线． 【详解】解：如图，射线即为所求，以点为顶点，以射线为始边，向正东方向作一个的角，这个角的终边即为射线，即为从学校到小明家的方向． 【角的单位与角度值】 28．（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 29．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】度、分、秒之间进率为60，即，，，根据换算规则逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：对A选项：，故A错误； 对B选项： ，故B正确； 对C选项： ，故C错误； 对D选项：，故D错误． 30．计算：＝_______（结果用度、分、秒表示） 【答案】 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，先将括号内的被减数化为含度分秒的形式，计算括号内的减法，再将结果除以2，即可得到用度分秒表示的结果. 【详解】解： 【角度的四则运算】 31．已知，平分，求的度数． 【答案】或 【分析】首先判断的位置，存在两种情况：在内部，在外部，因为题目未明确的位置，所以需要分情况讨论．针对每种情况，根据角的和差关系计算出的度数．因为平分，所以利用角平分线的定义求出（或者）的度数．再根据角的和差关系，结合已知角的度数计算出的度数． 【详解】分两种情况： ①如图1，， ∵平分， ∴， ∴ ； ②如图2，． ∵平分， ∴ ∴． 综上，的度数为或． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 33．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时观测到轮船B在南偏东的方向，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向角，可得，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：如图， 由题意，得， 由余角的性质，得， 由角的和差，得． 【角平分线的有关计算】 34．如图所示，已知平分，且，是的平分线，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】根据角平分线的性质，得到，再利用角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵是的平分线， ∴． 35．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线，由于未确定的位置，需分两种情况讨论：在内部和在外部，结合角的和差定义与角平分线的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ， 平分，平分， ，， ； 当在外部时， ， 平分，平分， ，， ， 综上，或，或． 36．如图是一直线，分别是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义直接计算角度即可； （2）根据题意可得，再解出，进而求出即可． 【详解】（1）解：平分， ， 又， ， 同理． 又， ． （2）解：分别是的平分线， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ． 【题型13 角n等分线的有关计算】 37．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴， ∴， ∵图中所有的锐角之和为， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：． 38．射线是的三等分线之一，，则的最大度数为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等分线的有关计算．是的三等分线之一，因此可能是的三分之一或三分之二．根据，解出可能为或，最大值为． 【详解】解：设的度数为．由于是的三等分线之一，则有两种情况： 若为靠近的三等分线，则，解得； 若为靠近的三等分线，则，解得． 因此的最大度数为． 故答案为： 39．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线是的三等分线之一，，因此可能是或，但不可能是． 【详解】解：是的三等分线之一，且， 被分成三个相等的角，每个角为 的位置有两种可能：靠近时，；靠近时， 因为等于本身，作为三等分线应在角内部． 不可能为， 故选：C． 【题型14 多边形截角后的边数问题】 40．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 41．如图，四边形中去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 42．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【题型15 多边形对角线的条数问题】 43．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 44．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形共有___________条对角线． 【答案】20 【分析】本题考查了多边形的性质． 过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，据此求出边数n，再代入对角线公式计算． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得， 解得， 所以对角线总数为：． 故答案为：20． 45．过多边形的一个顶点最多可作5条对角线，则过一个顶点的对角线可将该多边形分为________个三角形． 【答案】6 【分析】本题考查多边形对角线，过n边形一个顶点有条对角线，这些对角线将这个n边形分成个三角形．根据过一个顶点有5条对角线，求出多边形边数，即可求对角线将这个n边形分成的三角形个数． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 解得：， ∴这5条对角线将这个8边形分成的三角形个数为：， 故答案为：6． 【题型16 圆的周长和面积问题】 46．如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长公式的应用．根据圆的周长公式分别表示出绳子绕球体大圆一圈时的周长和绳子增加1米后的周长，进而求出绳子与球体表面之间的空隙距离，再比较篮球和地球的空隙距离大小即可． 【详解】解：设球体的半径为，原绳长等于球体周长，即； 当绳子增长1米后，新绳长为， 设此时绳子围成的圆的半径为R，则有， ∴ ∴空隙距离为， ∴绳子与球体表面之间的空隙距离一样大， 故选：C． 47．一个圆沿着半径平均分成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是，这个圆的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式及面积公式，根据题意，长方形的长是圆周长的一半，宽是半径，设圆的半径为，列方程求解得到，再由圆的面积公式即可解答． 【详解】解：设圆的半径为， 把一个圆形平均分成若干份，剪开后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是， ，则， 这个圆的面积是． 故答案为：. 48．用三张同样大小的正方形铁皮（边长是），分别按下面三种方式剪出不同规格的圆片．（取3.14） (1)三种圆片中每个圆的周长分别是多少？ (2)剪完圆后，哪张铁皮剩下的废料多？ (3)根据以上计算，你发现了什么？ 【答案】(1)三种圆片中每个圆的周长分别是． (2)剪完圆后，三张铁皮剩下的废料一样多． (3)按此种方式剪出不同规格的圆片，剪完圆后，铁皮剩下的废料都一样多． 【分析】这道题考查的是正方形和圆的面积计算公式以及圆的周长计算公式的实际应用，要明确正方形的面积=边长×边长，圆的面积=圆周率×半径的平方，圆的周长=圆周率×直径． 根据圆的周长计算公式，即可分别求出三种圆片的周长；根据正方形和圆的面积计算公式，即可求出哪张铁皮剩下的废料多些. 【详解】（1）解： ， ， ， 答：三种圆片中每个圆的周长分别是5.652m，2.826m，1.884m； （2）， ， ， 答：剪完圆后，三张铁皮剩下的废料一样多； （3）按此种方式剪出不同规格的圆片，剪完圆后，铁皮剩下的废料都一样多． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 基本平面图形 题型1 直线，射线，线段的数量问题 题型2 直线，射线，线段的联系与区别 题型3 点与线的位置关系 题型4 线段中点的有关计算 题型5 线段n等分点的有关计算 题型6 最短路径问题 题型7 作线段（尺规作图） 题型8 角的分类 题型9 方位角的表示 题型10 角的单位与角度值 题型11 角度的四则运算 题型12 角平分线的有关计算 题型13 角n等分线的有关计算 题型14 多边形截角后的边数问题 题型15 多边形对角线的条数问题 题型16 圆的周长和面积问题 【题型1 直线，射线，线段的数量问题】 1．盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 2．如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有几个角（    ） A．378 B．406 C．435 D．465 3．如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……按照此规律，在内画10条射线时，则图中角的个数是（   ） A．65 B．66 C．67 D．68 内部射线数 总射线条数 代入公式计算 实际角的个数 1 条 3 条 3 个 2 条 4 条 6 个 3 条 5 条 10 个 【直线，射线，线段的联系与区别】 4．下列说法中正确的个数为（    ） ①如果线段，，则线段； ②直线和直线是同一条直线； ③两点之间的所有连线中，线段最短． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．下列说法中，正确的是（     ） ①射线和射线是同一条射线；②若，则点B为线段的中点；③连接两点间的线段的长度叫做这两点之间的距离；④点C在线段上，M，N分别是线段，的中点．若，则线段． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 6．如图，已知线段a，b和． (1)用直尺和圆规在的一边上作线段，在另一边上作线段，并作直线． (2)根据（1）中作出的图形，解答下列问题： ①用大写字母表示所有的线段：____________．     ②以点A为端点的射线共有____________条． 【点与线的位置关系】 7．O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 8．已知线段，则点C的位置可能会出现以下的（    ）种情况． ①在线段上； ②在线段的延长线上； ③在线段的延长线上； ④在直线外． A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图、已知直线l和点A、B，P． (1)用适当的语句表述点B与直线l的位置关系：______； (2)请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①画射线； ②连接，在线段的延长线上作线段，使； (3)连接，则______（填“”“”“”）成立的理由是______． 【线段中点的有关计算】 10．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点．求的长． 11．已知，，三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为__________． 12．已知，，是同一条直线上的三点，，分别是线段，的中点，，，则线段的长为________． 【线段n等分点的有关计算】 13．如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 14．点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 15．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【最短路径问题】 16．操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 17．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线，射线，连接； (2)在射线上求作点M，使得（保留作图痕迹）； (3)请在直线上确定一点N，使点N到点M与到点D的距离之和最短，并写出画图的依据． 18．如图，已知点A，B，C，D． (1)按要求画图： ①连接AD，作射线BC； ②画点P，使PA＋PB＋PC＋PD的值最小； ③画点E，使点E既在直线CD上又在直线AB上． (2)填空：若点B是线段AE的中点，点F在直线AB上，BF＝1，AB＝3，则EF的长为 ． 【作线段（尺规作图）】 19．如图，点，，是不在一条直线上的三个点，且，过，两点作直线，并连接，． (1)尺规作图：延长至，使得点为的中点，作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，只保留作图痕迹，不用写做法） (2)若，求的长． 20．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段，，c 求作：线段，使． 21．已知线段、，请用尺规求作一条线段，使其等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【角的分类】 22．下列说法正确的是（  ） A．整数可分为正整数和负整数 B．两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和 C．多项式的项是 D．平角是一条直线 23．如图，为直线上一点，，是的角平分线，． (1)图中小于平角的角有_______个； (2)求的度数； (3)猜想是否平分，并说明理由． 24．下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【方位角的表示】 25．点A在点O的南偏东方向，点B在点O的北偏西方向，则，这两条射线构成的角（小于）的度数为 _________ ． 26．如图，射线的方向是北偏西，若，则射线的方向是（   ） A．南偏西 B．西偏南 C．东偏北 D．北偏西 27．已知小明的家在学校南偏东方向．如图，射线分别表示东、南、西、北方向，射线表示北偏东方向．如果点表示学校，画出从学校到小明家方向的射线． 【角的单位与角度值】 28．（1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 29．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 30．计算：＝_______（结果用度、分、秒表示） 【角度的四则运算】 31．已知，平分，求的度数． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时观测到轮船B在南偏东的方向，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【角平分线的有关计算】 34．如图所示，已知平分，且，是的平分线，求的度数． 35．若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 36．如图是一直线，分别是的平分线． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数． 【题型13 角n等分线的有关计算】 37．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 38．射线是的三等分线之一，，则的最大度数为_________． 39．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【题型14 多边形截角后的边数问题】 40．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 41．如图，四边形中去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 42．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【题型15 多边形对角线的条数问题】 43．某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 44．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形共有___________条对角线． 45．过多边形的一个顶点最多可作5条对角线，则过一个顶点的对角线可将该多边形分为________个三角形． 【题型16 圆的周长和面积问题】 46．如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 47．一个圆沿着半径平均分成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形，这个长方形的长宽之和是，这个圆的面积是_____． 48．用三张同样大小的正方形铁皮（边长是），分别按下面三种方式剪出不同规格的圆片．（取3.14） (1)三种圆片中每个圆的周长分别是多少？ (2)剪完圆后，哪张铁皮剩下的废料多？ (3)根据以上计算，你发现了什么？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $