2.3《一元二次方程的根与系数关系》教案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的根与系数关系（韦达定理），通过“师生速算对擂”导入，学生用公式法求根算和积，教师仅看系数秒报结果，制造认知冲突。前承已学的求根公式与判别式，后接方程应用及二次函数，构建知识脉络。 资料特色在于“计算—猜想—证明—应用”全流程，培养逻辑推理与数学抽象，分层练习（A/B/C）及拓展题提升数学运算能力。速算对擂激发兴趣，例题精讲突破对称式变形等难点，助力学生掌握整体代换，教师教学更高效，夯实代数基础。

2.3 一元二次方程的根与系数关系 (韦达定理 Vieta's formulas) 教 案(教学设计) 教材版本 苏科版(2024)九年级数学上册 所属章节 第2章 一元二次方程 · 2.3 课 时 第1课时(共1课时) 授课教师 ________________ 学 校 ________________ 学 年 2026—2027 学年 一、教学内容分析 本节(苏科版2024 九上 第2章 2.3)在学完概念(2.1)与三种解法(2.2，含公式法、判别式)之后，进一步研究两根与系数间的内在联系，核心是韦达定理：x₁+x₂=，x₁x₂=.它既是对求根公式的再加工，也是后续应用与二次函数的重要铺垫，是培养「由特殊到一般」代数推理的典型载体与中考高频考点. 位置 内容 与本节关系 已学(前) 2.1 概念；2.2 三种解法(含公式法、判别式) 推导韦达可直接由求根公式相加、相乘得到 本节(中) 2.3 根与系数关系(韦达定理) 本课核心：定理内容、前提、基本应用 将学(后) 2.4 用方程解决问题；九下 二次函数 应用建模与数形结合的自然延伸 二、学情分析 ▶ 已学 · 本课 · 未学 已学：一元二次方程概念(2.1)；三种解法(2.2)，含公式法求根公式与根的判别式 b²-4ac；七年级已学乘法公式(平方差、完全平方). 本课：根与系数的关系(韦达定理)的发现、证明与基本应用. 未学：2.4 用一元二次方程解决问题(利润、增长率、面积等建模)；九年级下册二次函数(图像、待定系数)；圆、概率、统计等后续内容. 维度 分析 教学对策 认知基础 已掌握解方程套路(配、因式分解、公式法)，熟悉字母运算与乘法公式. 以已学公式法作对比，凸显韦达「不解方程」的简洁. 可能困难 初次把「两根和、积」当整体代换易不适；易漏 a≠0 与 Δ≥0 前提；对称式变形易错. 用「先化一般式、再验前提、后套公式」三步法；对称式先化再代. 突破策略 经历「计算—猜想—证明—应用」全流程，在变式中体会本质、迁移运用. 例题讲透 + 分层练习 + 易错警示，当堂反馈. 三、教学目标(核心素养) 依据《义务教育数学课程标准》，结合本节内容，确定如下核心素养目标： 核心素养 具体目标 数学抽象 从具体方程求根的计算中，抽象出两根之和、两根之积与系数 a、b、c 的固定关系，建立韦达定理的符号表达. 逻辑推理 经历「特殊计算—观察猜想—一般证明—应用」的代数推理过程，体会由特殊到一般、归纳与演绎的数学思想. 数学运算 能不解方程直接运用韦达定理求两根的和与积；能求含根的对称代数式(如 x₁²+x₂²、的值；能由已知一根求另一根、由两根构造方程. 直观想象 借助「先算后比」的表格，直观感知根与系数之间的对称关系，建立整体代换的直观经验. 四、教学重难点 ▶ 教学重点 韦达定理的内容、适用条件与基本应用(不解方程求两根的和与积). ▶ 教学难点 ① 由求根公式推导和、积公式过程中的字母运算严谨性； ② 使用定理前的条件意识：先化一般式、确认 a≠0 且 b²-4ac≥0； ③ 把对称代数式转化为 x₁+x₂、x₁x₂ 的整体代换. 五、教学方法与教具 教学方法：启发式教学、问题串探究、合作交流、讲练结合.以学生为主体，通过「师生速算对擂(数字魔术)」制造认知冲突，以问题串引导学生自主发现规律并完成证明. 教具准备：多媒体课件(含公式图与思维导图)、彩色板书、课堂分层练习单. 六、教学过程(40分钟) 教学环节 时间 核心任务 一、导入 约5分钟 师生速算对擂(数字魔术)，制造认知冲突，点明与公式法的联系 二、新授 约22分钟 探究规律→由求根公式推导韦达→例题精讲(3例) 三、巩固 约8分钟 分层练习 A/B/C，当堂反馈 四、小结 约3分钟 梳理定理+前提+应用，思维导图归纳 五、作业 约2分钟 分层作业 A/B/C，明确要求 一、导入(约5分钟) 活动：师生速算对擂(数字魔术).请三位同学各报一个一元二次方程，另请同学用已学的公式法求根并算和、积；老师「只看系数、不动笔」直接报结果.三次对擂如下： 生报方程 学生算得(根) 师生同报(和, 积) 结果 x²-5x+6=0 2、3 (5, 6) 一致 x²+2x-3=0 1、-3 (-2, -3) 一致 x²-9=0 3、-3 (0, -9) 一致 老师都比同学算得更快，答案却完全一致.追问：老师没解方程，为何能「秒报」两根的和与积？系数 a、b、c 与两根的和、积之间，是否藏着一条「不解方程就能用」的规律？ ▶ 设计意图 用「魔术式对擂」制造强烈的认知冲突与好奇心：学生辛苦解方程，老师却能「隔空」报出结果，自然产生「想知道秘诀」的探究动机；同时以已学的公式法作对比，凸显新方法的简洁，自然引出「由系数直接看根的关系」这一课题，体现由特殊到一般. 板书课题：2.3 一元二次方程的根与系数关系(韦达定理). 二、新授(约22分钟) 活动一：特殊计算，观察猜想.完成下面的探究表，观察 x₁+x₂、x₁x₂ 与 a、b、c 的关系. 方程 a b c x₁ x₂ x₁+x₂ x₁x₂ x²-5x+6=0 1 -5 6 2 3 5 6 x²+3x-4=0 1 3 -4 1 -4 -3 -4 x²-7x+12=0 1 -7 12 3 4 7 12 引导学生归纳：x₁+x₂ =，x₁x₂ = .即两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 活动二：一般证明(推导).设一元二次方程 有两个实数根 x₁、x₂，且 b²-4ac≥0.由求根公式 将两根相加： 将两根相乘： 由此得到一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)： ▶ 韦达定理 若一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为 x₁、x₂，则 x₁+x₂ =，x₁x₂ = . 适用前提：① a≠0(保证是二次方程)；② b²-4ac≥0(方程有实数根). 注意：当两根相等(b²-4ac=0)时，公式仍然成立，此时 x₁=x₂=. 活动三：例题精讲(讲透).下面通过三道例题体会定理的用法与突破点. 例1 不解方程，求下列方程两根的和与积 ▶ 审题 先化为一般式，确认 a、b、c；第(3)小题判别式为0，两根相等，定理仍适用. ▶ 突破 直接套用 x₁+x₂=-b/a、x₁x₂=c/a，无需解方程，注意两根之和带负号. (1) 解：a=1，b=-3，c=-1，得 x₁+x₂ = 3，x₁x₂ = -1. (2) 解：a=2，b=3，c=-1，得 x₁+x₂ = ，x₁x₂ = . (3) 解：a=3，b=-6，c=3，得 x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = 1(两根相等). ▶ 小结 结果中的分数一律写真分数；两根之和的负号极易漏写，要养成「先写 再代入」的习惯. 例2 已知一根求另一根与参数 已知方程 的一个根是 -2，求方程的另一根及 k 的值. ▶ 审题 已知一个根，求另一根与未知系数 k. ▶ 突破 法1(代入)：把 -2 代入原方程求 k，再解；法2(韦达，更简)：先用两根之积求另一根，再用两根之和求 k. 解：设方程的另一根为 x₂.由韦达定理 又由 ▶ 小结 已知一根求另一根，优先用「积」；含参数时韦达往往比代入更简捷，且不易出错. 例3 求含根的对称代数式的值 不解方程，求方程 两根 x₁、x₂ 的 (1) x₁²+x₂²；(2) . ▶ 审题 求含两根的对称式，不能(也不必)先求出根. ▶ 突破 用恒等式把对称式转化为 x₁+x₂、x₁x₂ 的整体代换，先记住两个常用变形： 解：由韦达定理 (1) (2) ▶ 小结 「对称式→整体代换」是本节最大考点；务必先把目标式用 x₁+x₂、x₁x₂ 表示，再代入数值. ▶ 易错警示 ① 用韦达前先确认：方程为一般式且 a≠0；b²-4ac≥0(有实根). ② 两根之和带负号：x₁+x₂=，不是 . ③ 对称式变形公式要记牢，避免张冠李戴. 三、巩固(约8分钟，分层练习) 当堂完成下列分层练习(A基础 → B提升 → C拓展)，教师巡视，集中反馈易错点.建议：A层全员完成，B层多数完成，C层挑战. ◆ A层(基础·直接求两根的和与积) A1. 不解方程，求下列方程两根的和与积：(1) x²-4x+1=0；(2) 3x²-2x-1=0；(3) 5x²+2x=0. A2.(2025·河北改编)将方程 x(x+2)-3=0 化为一般式，求其两根之和与两根之积，并判断点(m,n)=(两根和,两根积)所在象限. A3. 不解方程，直接写出方程 2x²-3x-5=0 的两根之和与两根之积. ◆ B层(提升·已知一根求另一根/参数，逆用构造) B1.(2025·象州一模)方程 x²-mx+6=0 的一个根是 3，则另一个根是( )A.2 B.3 C.-5 D.6 B2.(2025·郑州二模)方程 x²+mx-3=0 的一个根是 3，则另一个根是( )A.1 B.-1 C.2 D.-6 B3. 已知方程 2x²+kx-4=0 的一个根是 -2，求方程的另一根及 k 的值. B4. 已知某方程的两根之和为 4、两根之积为 3，请写出一个满足条件的方程，并写出它的两根. ◆ C层(拓展·含根的对称式与变形) C1. 方程 x²-2x-3=0 的两根为 x₁、x₂，不求根，求 (x₁-1)(x₂-1) 的值. C2. 方程 3x²-4x-4=0 的两根为 x₁、x₂，不求根，求 (1) x₁²+x₂²；(2) 的值. C3. 方程 x²-5x+3=0 的两根为 x₁、x₂，不求根，求 |x₁-x₂| 的值(提示：先求 (x₁-x₂)². C4. 方程 2x²-3x-2=0 的两根为 x₁、x₂，不求根，求 + 的值. 四、小结(约3分钟) 师生共同梳理：① 韦达定理公式及适用前提；② 三类基础应用(不解方程求和积、已知一根求另一根、已知两根构造方程)；③ 易错提醒(先化一般式、两根和带负号、先用 b²-4ac≥0 判断).知识结构如下： 图 2.3-1 根与系数关系知识结构 五、作业(约2分钟布置) 层级 作业内容 要求 A层(必做) 课本习题 2.3 第1、2题(直接求两根和、积)；整理韦达公式与适用前提. 全员 B层(必做) 已知一根求另一根与参数的基础题 3 道；对称式 x₁²+x₂²、 各 2 道. 多数 C层(选做) 课本 2.3 复习题；尝试由两根 2+√3、2-√3 逆向构造原方程. 挑战 七、板书设计 采用「主板书 + 侧板书」布局，主板书呈现知识主干，侧板书记录易错提醒与生成性内容. 主板书(左中，知识主干) 侧板书(右侧，易错·生成) 2.3 根与系数关系(韦达定理) 一般式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 前提：a≠0 且 b²-4ac≥0 ─────────────── 定理： x₁+x₂ = x₁x₂ = ─────────────── 推导：由求根公式相加/相乘 ─────────────── 常用变形： x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ = ★ 易错提醒： · 两根之和带负号！ · 先化一般式，确认 a≠0 · 先用 b²-4ac≥0 判断有根 · 对称式先转化为和、积 ─────────────── ★ 例题留痕： 例2 韦达求另一根 例3 整体代换 ─────────────── ★ 学生生成： (随堂记录典型错解) ▶ 板书使用说明 主板书随教学推进分步呈现：导入后写课题与一般式，探究后写定理与前提，证明后补推导，例题讲完补常用变形；侧板书在练习反馈时实时填写易错点与学生生成内容，形成对比. 八、附加拓展提高(学有余力，对接核心素养) ▶ 说明 以下题目不重复于课堂巩固，供学有余力的学生深化，建议在课后或数学兴趣小组完成.每题标注所对接的核心素养，体会「知识→能力→素养」的进阶. 【核心素养：数学运算·逻辑推理】拓展1 已知方程 x²-3x-1=0 的两根为 x₁、x₂，不解方程，求 x₁³+x₂³ 的值. 【核心素养：数学抽象】拓展2(新定义·阅读理解) 定义：若一元二次方程 ax²+bx+c=0 的两根为 x₁、x₂，则称有序数对 (x₁+x₂, x₁x₂) 为该方程的「根系数对」. 已知方程 x²-(m+2)x+2m=0 的「根系数对」为 (5, 6)，求 m 的值，并写出该方程的两根. 【核心素养：逻辑推理·数学运算】拓展3 已知关于 x 的一元二次方程 x²-(2k-1)x+k²=0 有两个实数根，且两根同号.求 k 的取值范围，并说明两根同为正还是同为负. 【核心素养：直观想象·数学抽象】拓展4 一个矩形的长和宽分别是一元二次方程 x²-7x+10=0 的两个实数根.(1) 求这个矩形的周长与面积；(2) 结合数轴说明：两根与对称轴 x= 有怎样的对称关系？ 图 拓展4 矩形与数轴对称示意(数形结合) 【核心素养：综合·模型观念】拓展5(开放探究) 已知实数 m 使方程 x²-4x+m=0 有两个实数根 x₁、x₂，且 x₁²+x₂²=10.(1) 求 m 的值；(2) 在上述 m 下，是否存在整数 k 使得 + = k？若存在求 k，若不存在说明理由. 九、参考答案与详细解析 (一)课堂巩固分层练习 A1 (1) x²-4x+1=0：a=1,b=-4,c=1，x₁+x₂=4，x₁x₂=1；(2) 3x²-2x-1=0：a=3,b=-2,c=-1，x₁+x₂=，x₁x₂=；(3) 5x²+2x=0：a=5,b=2,c=0，x₁+x₂=，x₁x₂=0. A2(2025·河北改编) 化为一般式 x²+2x-3=0，则 m=x₁+x₂=-2，n=x₁x₂=-3，点(m,n)=(-2,-3) 横、纵坐标均为负，位于第三象限. A3 2x²-3x-5=0：a=2,b=-3,c=-5，x₁+x₂=，x₁x₂=. B1(2025·象州) 设另一根为 x₂，则 3·x₂=6，得 x₂=2，选 A. B2(2025·郑州) 设另一根为 x₂，则 3·x₂=-3，得 x₂=-1，选 B. B3 设另一根为 x₂.由韦达 x₁x₂=c/a=-4/2=-2，即 (-2)·x₂=-2，得 x₂=1；由 x₁+x₂= = ， 得 -2+1=，解得 k=2. B4 取 a=1，则方程为 x²-4x+3=0，两根为 1 和 3(答案不唯一，只要两根和 4、积 3 即可). C1 由韦达 x₁+x₂=2，x₁x₂=-3.(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=-3-2+1=-4. C2 由韦达 x₁+x₂=，x₁x₂=.(1) x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=；(2) ==. C3 由韦达 x₁+x₂=5，x₁x₂=3.利用恒等式 得 (x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=25-12=13，故 |x₁-x₂|=. C4 由韦达 x₁+x₂=，x₁x₂=-1.x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=，故 +==. (二)附加拓展提高 拓展1 由韦达 x₁+x₂=3，x₁x₂=-1.利用立方和公式 得 x₁³+x₂³=3³-3(-1)·3=27+9=36. 拓展2 由「根系数对」定义：x₁+x₂=m+2=5，x₁x₂=2m=6，两式均得 m=3(自洽，验证成立).此时方程为 ，两根为 2 和 3. 拓展3 方程有两实根需 Δ≥0： ≥0，得 ；两根同号 ⟺ x₁x₂=k²>0，故 k≠0.又 x₁+x₂=2k-1，当 k≤ 且 k≠0 时 2k-1<0，所以两根同为负数.综上：k≤ 且 k≠0，两根同为负. 拓展4 (1) 由 x²-7x+10=0 得 (x-2)(x-5)=0，两根为 2、5，故矩形周长==14，面积==10. (2) 由韦达 2+5=7，说明两根关于对称轴 x== 对称，即两根到对称轴距离相等——这正是「对称式」的几何来源. 拓展5 (1) 由韦达 x₁+x₂=4，x₁x₂=m；x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=16-2m=10，得 m=3(此时 Δ=16-12=4≥0，有两实根). (2) +==，不为整数，故不存在整数 k 使等式成立. 感谢聆听 · 敬请批评指正 2.3 一元二次方程的根与系数关系(韦达定理) 学科网（北京）股份有限公司 $