2.3《一元二次方程的根与系数关系》教案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册
2.3 一元二次方程的根与系数关系
(韦达定理 Vieta's formulas)
教 案(教学设计)
教材版本 | 苏科版(2024)九年级数学上册 |
所属章节 | 第2章 一元二次方程 · 2.3 |
课 时 | 第1课时(共1课时) |
授课教师 | ________________ |
学 校 | ________________ |
学 年 | 2026—2027 学年 |
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一、教学内容分析
本节(苏科版2024 九上 第2章 2.3)在学完概念(2.1)与三种解法(2.2，含公式法、判别式)之后，进一步研究两根与系数间的内在联系，核心是韦达定理：x₁+x₂=
，x₁x₂=
.它既是对求根公式的再加工，也是后续应用与二次函数的重要铺垫，是培养「由特殊到一般」代数推理的典型载体与中考高频考点.
位置 | 内容 | 与本节关系 |
已学(前) | 2.1 概念；2.2 三种解法(含公式法、判别式) | 推导韦达可直接由求根公式相加、相乘得到 |
本节(中) | 2.3 根与系数关系(韦达定理) | 本课核心：定理内容、前提、基本应用 |
将学(后) | 2.4 用方程解决问题；九下 二次函数 | 应用建模与数形结合的自然延伸 |
二、学情分析
▶ 已学 · 本课 · 未学 已学：一元二次方程概念(2.1)；三种解法(2.2)，含公式法求根公式与根的判别式 b²-4ac；七年级已学乘法公式(平方差、完全平方). 本课：根与系数的关系(韦达定理)的发现、证明与基本应用. 未学：2.4 用一元二次方程解决问题(利润、增长率、面积等建模)；九年级下册二次函数(图像、待定系数)；圆、概率、统计等后续内容. |
维度 | 分析 | 教学对策 |
认知基础 | 已掌握解方程套路(配、因式分解、公式法)，熟悉字母运算与乘法公式. | 以已学公式法作对比，凸显韦达「不解方程」的简洁. |
可能困难 | 初次把「两根和、积」当整体代换易不适；易漏 a≠0 与 Δ≥0 前提；对称式变形易错. | 用「先化一般式、再验前提、后套公式」三步法；对称式先化再代. |
突破策略 | 经历「计算—猜想—证明—应用」全流程，在变式中体会本质、迁移运用. | 例题讲透 + 分层练习 + 易错警示，当堂反馈. |
三、教学目标(核心素养)
依据《义务教育数学课程标准》，结合本节内容，确定如下核心素养目标：
核心素养 | 具体目标 |
数学抽象 | 从具体方程求根的计算中，抽象出两根之和、两根之积与系数 a、b、c 的固定关系，建立韦达定理的符号表达. |
逻辑推理 | 经历「特殊计算—观察猜想—一般证明—应用」的代数推理过程，体会由特殊到一般、归纳与演绎的数学思想. |
数学运算 | 能不解方程直接运用韦达定理求两根的和与积；能求含根的对称代数式(如 x₁²+x₂²、 |
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直观想象 | 借助「先算后比」的表格，直观感知根与系数之间的对称关系，建立整体代换的直观经验. |
四、教学重难点
▶ 教学重点 韦达定理的内容、适用条件与基本应用(不解方程求两根的和与积). |
▶ 教学难点 ① 由求根公式推导和、积公式过程中的字母运算严谨性； ② 使用定理前的条件意识：先化一般式、确认 a≠0 且 b²-4ac≥0； ③ 把对称代数式转化为 x₁+x₂、x₁x₂ 的整体代换. |
五、教学方法与教具
教学方法：启发式教学、问题串探究、合作交流、讲练结合.以学生为主体，通过「师生速算对擂(数字魔术)」制造认知冲突，以问题串引导学生自主发现规律并完成证明.
教具准备：多媒体课件(含公式图与思维导图)、彩色板书、课堂分层练习单.
六、教学过程(40分钟)
教学环节 | 时间 | 核心任务 |
一、导入 | 约5分钟 | 师生速算对擂(数字魔术)，制造认知冲突，点明与公式法的联系 |
二、新授 | 约22分钟 | 探究规律→由求根公式推导韦达→例题精讲(3例) |
三、巩固 | 约8分钟 | 分层练习 A/B/C，当堂反馈 |
四、小结 | 约3分钟 | 梳理定理+前提+应用，思维导图归纳 |
五、作业 | 约2分钟 | 分层作业 A/B/C，明确要求 |
一、导入(约5分钟)
活动：师生速算对擂(数字魔术).请三位同学各报一个一元二次方程，另请同学用已学的公式法求根并算和、积；老师「只看系数、不动笔」直接报结果.三次对擂如下：
生报方程 | 学生算得(根) | 师生同报(和, 积) | 结果 |
x²-5x+6=0 | 2、3 | (5, 6) | 一致 |
x²+2x-3=0 | 1、-3 | (-2, -3) | 一致 |
x²-9=0 | 3、-3 | (0, -9) | 一致 |
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