第二十七章《反比例函数》单元测试卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 《反比例函数》单元测试卷，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配单元复习，助力提升数学抽象与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义判断、图像象限、性质辨析|第4题结合增减性条件辨析，培养几何直观与推理意识| |填空题|8/24|解析式求解、图像面积、实际应用|第14题以机器狗速度为情境，体现科技前沿，发展模型意识| |解答题|8/66|综合应用（杠杆原理）、几何结合（正方形证明）、创新定义（倒数点、正旋点）|第25题通过函数图像探究方程根，第26题引入“正旋点”，培养抽象能力与创新意识|

第二十七章《反比例函数》单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 3．若函数的图象上有点，点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．随着的增大而减少 B．图像与坐标轴没有交点 C．图像经过第一、三象限 D．图像是双曲线 5．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻为时，电流I的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 7．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 9．如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 10．在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 12．已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 13．如图，反比例函数在第二象限的图象如图所示，点是图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为________． 14．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 15．如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 16．如图，正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 18．如图，在反比例函数的图像上有点、、、…，它们的横坐标依次为1、2、3、4… ，分别过这些点作轴与 轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次为、、…，请用含有 的代数式表示的值___________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 20．（6分）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 21．（6分）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．大伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)求动力F关于动力臂l的函数解析式． (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，轴于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线l（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）． (3)（2）中所作直线l与反比例函数（）的图象交于点B，与x轴交于点D，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形是正方形． 23．（8分）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 24．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 25．（10分）有这样一个问题，探究方程的实数根的个数．轩轩想起了曾经解决的一个问题：通过函数图象探究方程的实数根个数，他想到了如下的方法：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程的实数根的个数．他类比上述方法，借助函数图象的交点个数对方程的实数根的个数进行了探究．下面是轩轩的探究过程，请补充完成： (1) 方程的根（填“是”或“不是”） ； (2)方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标； (3)在同一坐标系中画出（2）中两个函数的图象； (4)观察图象可得，方程的实数根的个数是 个． 26．（12分）定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”． (1)已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________； (2)直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由． 参考答案 一、单项选择题. 1．D 解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 2．A 解：∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限 ∴ 反比例函数的比例系数满足 解得 ∵，选项中只有，其余选项均满足 ∴ m的值可能为0 3．A 解：将点代入中，得， 将点代入中，得， ∵， ∴． 4．A 解：A：反比例函数，，只有在每个象限内，随着的增大而减少，故该选项符合题意； B：∵，， ∴函数图像与坐标轴没有交点，故该选项不合题意； C：∵， ∴反比例函数图像经过第一、三象限，故该选项不合题意； D：反比例函数的图像都是双曲线，故该选项不合题意． 5．B 解：由题意设，则代入，得， ∴， 当电阻为时，． 6．A 解：∵ 点在正比例函数上 ∴ 将代入，得， 解得， 即交点坐标为 又∵ 点在反比例函数上， ∴ ， ∴ 反比例函数的解析式为． 7．B 解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 8．A 解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 9．D 解：如图， ∵直线与双曲线是关于原点的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形不可能是菱形或正方形， ∵只有当时，四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形一定是平行四边形． 10．B 解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 二、填空题． 11． 解：将代入， 可得，解得． 12． 解：∵反比例函数中，比例系数， ∴反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点，都在第三象限， ∴． 13． 反比例函数的图象的一支在第二象限， ， 轴，垂足为，的面积为5， ， ． 14．4 解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：， ∴， ∴当时，则． 15．3 解：设，过A作轴于D，则，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵，， ∴，即， 解得， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴ ． 16． 或 解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 17． 解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 18． 解：的横坐标依次为1、2、3、4…， 的宽都为1，的纵坐标依次为， 的高依次为， 可归纳总结出的高为， 故， 三、解答题. 19．（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 20．（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 21．（1）解：由题意得：， ∴动力F关于动力臂l的函数解析式为； （2）解：由（1）可知：， ∴当时，则， 答：撬动石头至少需要的力． 22．（1）解：∵反比例函数（）的图象经过点， ， ， ∴反比例函数的解析式为． (2)解：作图如下： (3)证明：如图，设与的交点为F． ∵点A的坐标为，轴，垂直平分， ∴点F的坐标为，，， ， 在中，当时，， ∴点B的坐标为， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形． 23．（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 24．（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 把点B的坐标代入得， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：由（1）和函数图象可得不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 25．（1）解：当时，， ∴不是方程的根． 故答案为：不是． （2）解：∵方程可变形为， ∴方程的根可以看作是函数与函数的图象交点的横坐标． 故答案为：；． （3）解：画出两函数图象，如图所示． （4）解：观察图象可知，函数与函数的图象没有交点， ∴方程的实数根的个数是0个． 故答案为：0． 26．（1）解：∵点的坐标为，若点的坐标为，根据旋转的性质得， ∴点关于点的正垂旋点坐标是； 如图所示，令点为点关于点旋转的正旋点，过点作轴于点， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴点关于点旋转的正旋点坐标是； （2）解：①如图1所示，假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； 当时，， 解得， ∴， ∴； ∵点的横坐标为6， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上一动点， ∴点的横坐标为， 将代入得， ， ∴点的坐标为； ②如图所示，作轴于点，轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标是，则， ∴，， ∴的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过点， ∴， ∴， 解得：． ∴的坐标为或； ③点不是点关于点的的“正旋点”，理由如下： 如图3，过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立解析式得， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为． ∵，， ∴， ∴点不是点关于点的的“正旋点”． 学科网（北京）股份有限公司 $