辽宁省鞍山市第二十四中学等校2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题

机密女启用前 科日：数学 (试题卷) 注意事项： 1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确 填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息。确认无误 后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置。 2.考生须在答题卡上各题目规定答题区域内答题，超出答 题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。 4.本试题卷共6页，如缺页，考生须声明，否则后果自负。 姓 名 准考证号 机密★启用前 普通高中2025-2026学年度高三9月份质量监测 数学 命题人：鞍山市第二十四中学东靖翔 审题人：鞍山市第一中学 范珂铭 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列空间几何体中，名为圆台的是 B. C. D 2.已知：=+i-i-1 则：一三= 2i A.i B.-i C.-1 D.0 3.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),c=a+b,b⊥c,则= A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.不等式2x-3+k+1≤7的解集是 A.[-1,3] B.[-1,4] c.[0,4] D.(-∞，0]U[4,+w) 5.已知双曲线C:x2-y2=1与直线y=3x+2无交点，则m的取值范围为 (o) s传 c.(0,5) D.(5,+o) 高三数学（一模)第1页（共6页) 6.某校举办化学竞赛，竞赛试卷分为三大部分：无机化学、有机化学、结构化学。试题数目 分别为100、80、60。小钟作为参赛者之一，提交试卷后，收到反馈：“有机化学”正确率 0.84,“无机化学”正确率0.72，“结构化学”正确率0.44。现从他作答的试卷中随机选择 一题，则正确率为 A.0.69 B.0.80 C.0.56 D.0.67 7.已知f(x)= 3*+1)x 是偶函数，则a= a.3*-2 A.-2 B.-1 C.2 D.1 8.在△4BC中，C=2(A+B), 2cos24 =tamB,则AC+BC 2cosA+sin 24 24B A c v3 D.1 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列函数f(x)关于x=对称的是 A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=cos 2+ C.f(x)=√3sinx+cosx 10.已知函数f(x)=(a-0.5)x2-2ax+lnx,aeR,则 A.当a=2时，f(x)有极小值-2.5 B.无论a取何值，f(x)总存在单调递减区间 C.当a=0.5时，f(x)≤-1 D.若xe(1,+o),都有f(x)<0,则ae[-0.5,0.5] 1.已知裤圆c器+号-1a>)其左右顶点分别为2Q,左右能点分别为只兵4代，） 是椭圆c上一点，C的离心率为e,则 A.若在c上只存在2处点A的位置，使得△MRE,的面积为V3,那么P9=4 B.直线AP,AQ的斜率为kaD,kAg,那么kapkao=e2-1 C.若M为△MRR内切圆圆心，那么直线MR,MR的斜率之积为e -1 D.延长A交c于B,若a-2,os∠A号，那么 AF 3 高三数学（一模)第2页（共6页)》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12 的展开式中，各项系数中的最大值为 13.记Sn为数列{a,}的前n项和，已知2a,S.=G+1,则a2s= 14.已知a.3a3=1则a’= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为了解某地初中学生电子产品日均使用时长与视力的关系，从该地区40000名学生中抽取 500人，得到电子产品日均使用时长与视力的数据如表所示 电子产品日均使用时长 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5] 不近视人数 52 48 31 14 5 近视人数 8 12 66 125 139 (1)该地区40000名初中学生中电子产品日均使用时长少于1.5小时的人数约有多少； (2)是否有97.5%的把握认为“不近视”与“电子产品日均使用时长少于1小时”有关？ nad-be) 附：X=a+bc+d0(a+cb+d0 其中n=a+b+c+d,p(x2≥5.024)≈0.025. 高三数学（一模）第3页（共6页） 16.(15分) 已知△4BC是边长为6的等边三角形，O为AC中点，AP⊥CP,Q为PC靠近P的三等 分点。连接BO,BP,BQ.将△APC沿AC折起，使得PB=AB. (1)若AP=33,求翻折前Bg的值： (2)证明：翻折后，OB⊥平面APC; (3)若AP=CP,求翻折后二面角P-AB-Q的正弦值， B B 翻折前 翻折后 17.(15分) 已知函数f(x)=(x+2)e2x. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：x∈[-1,0]，f(x)+f(-1)x≥0； (3)若两个不相等实数，满足儿）-e,求证飞+，>-2. f(x2) 高三数学（一模）第4页（共6页） 18.(17分) 已知椭圆C:+片1a>b>0)和圆Cx+y2=r严>0).P是圆C,上一动点，连接 点A(1,1),P,延长AP(AP不平行于坐标轴)交圆C,于Q.B(0,2)是椭圆C上顶点，延 长BP,BO分别交椭圆C于M,V两点，BP=4,椭圆C离心率e=5 (1)求椭圆方程C,和圆方程C,; (2)求证：直线MW过定点. 高三数学（一模)第5页（共6页) 19.(17分) 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，其几何表述为：曲线y=f(x)上两端点A(a,f(a), B(b,f(b)间必存在一点P(5,f(),其切线与割线AB平行。现已知f(x)=2e*+2x-5, e21.p，fp)=0. (1)证明： 当n 时，0<f()<: (2)为得到卫的近似数值，我们使用牛顿-二分法：在 行上任取-个x,使得f()e 然后在点(x。,f(。)处作曲线y=f(x)切线，切线横载距为x.重复这一过程， 得到p近似数值数列一“牛顿数列”{x}(neN). (1)当x>p时，证明：x>xn1>卫， (iⅱ)由(i)可证得：“牛顿数列”{x}为递减数列，且neN,x>p在以(i) 的结论及上述推论为前提条件下，证明：0<x。-p< 1 2.16” y=f(x)/ y↑ f(xo) D B f(x f(x, b pX3 X2 拉格朗日中值定理图例 牛顿-二分法图例 高三数学（一模）第6页（共6页）》普通高中2025-2026学年度高三9月份质量监测 数学科参考答案 一、选择题： 15、DABCB 6-8、ACA 9、BCD 10、ACD 11、ABD 二、填空题： 13、45-2W506或2W506-45 14、 27 三、解答题： 15、(1)40000×52+48+31+8+12+66 500 17360· …………4分 (2) 电子产品日均使用时长 [0,1) [1,2.5] [0,2.5] 不近视人数 100 50 150 近视人数 20 330 350 总计 120 380 500 x=500x(330x100-20x50)25600 213.868>5.024…12分 150×350×120×380 1197 有97.5%的把握认为“不近视”与“电子产品日均使用时长少于1小时”有关…13分 16、（1)(方案一)过Q作QM⊥AB交AB于点M,如图 因为在△4PC中，∠APC=90°，AP=35,AC=6 所以PC=3,故QC=2,PQ=1 易知PQ=AM=1,故AP=MQ=3V3,MB=5 在△BQM中，∠QMB=90°，MQ=3V3,MB=5,则QB=2√13.·3分 (方案二)易知∠PCA=∠ACB=60°.故∠PCB=120° 由余弦定理可得： cosPCB-c+c-1-4+36- 20c BC 22×2×6 解得1gB=213 (本小题可能存在多种方式解答，计算正确且叙述无误即可给分) (2)O为AC中点，△4BC为等边三角形，则OB⊥AC,OB=3√3.同理OP=OA=OC=3. 因为翻折后PB=AB=6,又OB+OP=PB,所以OP⊥OB,OP,OAc平面APC,故 OB⊥平面APC.… …8分 (本小题可能存在多种方式解答，证明无误即可给分) (3)由(2)得，OB⊥OP,OB⊥AC,因为AP=CP,O为AC中点，所以OP⊥AC,以O 为坐标原点，分别以OA,OB,OP为x轴，y轴，二轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示 P(0,0,3),A3,0,0),C(-3,0,0),B(0,3√3,0) 因为厄-c,元-(30-)所以7顶-(10-0 故Q(-1,0,2)平面APB的一个法向量2=（√3,1，V3) 平面AQB的一个法向量2=(W3,1,2√3).设二面角P-AB-0的大小为0，则 cos0= 14，sin6=2 hn,5√万 。··…………·15分 2 14 (本小题可能存在多种方式解答，计算正确且叙述无误即可给分) 17,1)-去2，求导得r23 ………1分 当<时：)0：当>时：了()0 综上所述，于在(m》上单调递缩：f)在（多口上单闻递减…3分 (2)f-1)=e2,原间题等价于证明fy≥-ex⊙x+2≥-exe2-1,令 x+2 8(x)=ex ……5分 X+2 求导得g)=2z:+少>0，即g闲在10]上单调递减.x2-1=g)2g）-1, （x+2) 可知f(x)+f(-1)x≥0… …8分 （3)fs2-e→ej飞)=ef)… ……9分 f(x2) 令h(y=ef)=+2,则)=+ …11分 易知h(x)在(-n,-1)上单调递减；在(-1，+∞)上单调递增， 因为h(x)=h(x2),不妨设x<-l<x2… …12分 令)=)-(-2)牛2+e,求号得) (e2*2-1)(x+1) e .…13分 p'(-1)=0且当x>-1时，9(x)>0,故p(x)在(-1，+0)上单调递增.故p(x)>p'(-1)=0,即 h(x)>h(-2-x)在(-1，+o)上成立.则有h(x2)>h(-2-x2)→h(x)>h(2-x2)→x1>-2-x2 →x+x2>-2,得证 ···…·15分 18、(1) a2=b2+c2 le-c 5-9所以号+ -=1…… 0…2分 a B(0,2),B以x=4→C2:x2+y2=4…4分 (2）A(1,1),B(0,2),设BP:y=kx+2,OB:y=k,x+2,P0:y-1=t(x-1),t≠0， W:y=+l………5分 将直线BP与圆C,联立： 4k2-2k足 …6分 将人点线阳中，器-1=禁- 整理得：(t-3)k2+4k+t+1=0,同理(t-3)k3+4tk2+t+1=0 故飞，k2为方程(t-3)x2+4x+t+1=0①的两个根.………………7分 y=kx+2 将直线BP与椭圆C联立： +=1M 36k2- 36k2 …………9分 4+9k21 4+9k 94 将M点坐标代入直线0N中：2-36-k36十m 4+9k2 4+9k2 整理得：(9m+18)k2-36k+4m-8=0,同理(9+18)k-36k2+4-8=0 故k,k2为方程(9m+18)x2-36c+4m-8=0②的两个根……11分 ①⊙为同解方程，故各项系数成比例，即：9m+18=-36k_4m-8 →m=2-12 t-3 4tt+1 7 所以N=+22=号号故w过定点侣别 7 77 (本小题可能存在多种方式解答，计算正确且叙述无误即可给分) 19、()已知f()在R上单调递增，可得对任意xP,p+ 1 都有f(x)>f(p)=0 由f(p)=0,得f(x)=f(x)-f(p),由拉格朗日中值定理，可知存在5∈(p,x),使得 )=-D）)(-p小水名6)042列…3分 风为n=号所以p+。1+62.c+2小信-2小水经所以r号 综上所述，0<f()<4 …5分 (2)(i)证明xn>x: 在点（x,f(xn)处，曲线y=f(x)的切线方程为y-f(x)=f'xn)x-xn).令y=0,得 f区，即xh=xf'() x=%J() -.由于X>p,f)在R上单调通增，则)》>D)=0, 而fe2a+20,则0，所以文子，即3>…8分 f(x) 证明xa+1>P: 由于f(x)在R上单调递增，只需证f(x+1)>f(p)=0.曲线y=f(x)的切线方程为 心产化8=)令=0，得x文子即y=化-片才·禄据 的定义可知f'(xn)(x-xn)+f(xn)=0,令h(x)=f(x)-f(xn)-f'(xn)x-xn),x∈[xu,x], 则H(x)=f'(x)-f"(c,)=2e-2e≤0·于是hx)在[xx]上单调递减，而 h(x)=f(x)-f(xn)-f'(xn)(x-xn)=0.因此h(k)>0,又h(x)=f(x),即f(xm+i)>0 =f(卫），所以x1>卫…11分 综上所述，xn>X+1>卫. (i)由四在R上单调通增，0<f化)水行，可得x>P,x>p令)=-田，则 f'(x) =9).则当n<x<飞，时，w)=ef田=f因1f包寸。1 e*+2g++22481 …………………………………………………。……………………………………14分 根据拉格朗日中值定理，5∈(P,x)c(p,x)，xH-p=p()-p(p)=p'(传)，-p) N即吕信于果宝1时奇后冬台6一之 x4-1-p16 累乘可得卫1 11 龙，所以x-p<6卫26当=0时，。P2x162 1 综上所述，0<x。-卫< …………………17分 216