第1章 反比例函数 单元检测卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 以2026春晚人形机器人、老花镜度数等时代与生活情境为载体，全面考查反比例函数概念、图像性质及综合应用，适配九年级新授课检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|9题|反比例函数图像上的点、与一次函数交点计算、图像比较|第7题结合老花镜度数与光斑距离，体现生活应用；第9题循环找点坐标，考查规律探究| |填空题|7题|函数值比较、实际问题解析式、几何面积计算|第14题以电流电阻关系为背景，强化模型意识；第16题阴影面积求和，渗透数形结合| |解答题|5题|一次函数与反比例函数综合、图像性质应用、实际问题解决|第21题探究人形机器人速度与质量关系，融合科技前沿，考查数学建模与运算能力|

第1章反比例函数检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 3．函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 4．如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别位于轴、轴的正半轴上，分别是的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 … 100 125 200 … 镜片与光斑的水平距离 … 1 0.8 0.5 … 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为，则这副老花镜的度数为（     ） A．75度 B．150度 C．250度 D．275度 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，反比例函数过边的中点E，连接，将沿折叠后，点C落在y轴的F处．若点F的坐标为，则k的值为（     ） A．4 B．5 C． D． 9．如图，取直线上一点，①过点作x轴的垂线，交于点；②过点作y轴的垂线，交于点；如此循环进行，按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 11．在压力大小不变的情况下，压强（单位：）与受力面积（单位：）是反比例函数关系．当时，．则压强与受力面积之间的函数表达式为_______． 12．已知直线交y轴于点，交轴于点，交双曲线于点，轴，垂足为，且，则_______． 13．如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 14．函数是解决现实世界诸多领域问题的重要模型，其中反比例函数让我们能定量分析“此消彼长”的关系，而不是凭感觉判断．当电压一定时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流是；若电流为时，电阻是_______． 15．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的边平行于轴，点在反比例函数的图象上，，，，将水平向右平移，当点落在反比例函数的图象上时，平移的距离为___________． 16．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 三、解答题 17．如图，已知一次函数的图像与坐标轴交于点，，与反比例函数的图像交于点，． (1)直接写出点，的坐标； (2)直接写出，的值，并求反比例函数的表达式； (3)连接，求的面积． 18．如图，反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数和正比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 19．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点． (1)求该一次函数的解析式； (2)设点在轴上，且，求点的坐标． 20．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； (3)如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 21．探索人形机器人的速度问题． 2026年央视春晚节目《武》中，二十余台宇树科技人形机器人与河南塔沟武校的少年们同台表演，完成了全球首次全自主人形机器人集群武术表演．其中“豫武”人形机器人的最快移动速度v（米/秒）与总质量m（千克）部分数据如下表所示： 总质量m（千克） 50 60 80 90 100 120 180 … 最快速度v（米/秒） 7.2 6 4.5 4 3.6 3 2 … 该机器人自身质量为70千克．在春晚彩排时，它需从A候场区出发，携带5千克的红缨枪道具前往B主舞台（全程约400米），卸下道具后立即原路返回A候场区（装卸时间忽略不计），此时该机器人完成任务． (1)根据学习经验，判断ν是m的哪种函数类型，并求出该函数表达式； (2)请在图中画出v与m的函数图象； (3)求该机器人完成任务所用的最短时间．（结果保留整数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章反比例函数检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C A B D C C D A 1．A 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 2．C 【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可． 【详解】解：因为点是函数与图像的交点， 将点代入，可得，变形得到， 将点代入，可得，移项得到， 所以． 3．A 【分析】根据图象即可求解． 【详解】解：观察图像可知，当时，x的取值范围是或． 4．B 【分析】先利用一次函数求出点的坐标，由推出点的坐标，再次利用一次函数求出点的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，最后利用割补法求出的面积． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ． 5．D 【分析】找到直线在双曲线上方时的自变量的取值范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围为或. 6．C 【分析】连接，易得四边形，均为矩形，矩形的面积等于四边形的面积，根据值的几何意义即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形，均为矩形， ∴， ∴四边形的面积， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵反比例函数过第一象限， ∴， ∴． 7．C 【分析】根据表格数据找出老花镜度数和镜片与光斑距离的关系，计算可得二者乘积为定值，成反比例关系，代入计算即可得到度数． 【详解】由表格已知数据计算得： ∵ ，，， ∴ 可得与满足关系， 当时，代入得， ∴ 这副老花镜的度数为250度． 8．D 【分析】设正方形的边长为，则，由折叠的性质并结合勾股定理求出，再代入反比例函数解析式计算即可得出结果． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵点为边的中点， ∴， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点F的坐标为， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， 将代入得． 9．A 【分析】根据题意可以写出点、、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ……， ∴四个点一个循环， ∴， ∴点的坐标与点的坐标相同，即． 10． 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 11． 【分析】先设反比例函数一般形式，再用待定系数法代入已知数值求出比例系数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设压强与受力面积之间的反比例函数表达式为，将代入表达式得： ， 因此压强与受力面积之间的函数表达式为． 12．6 【详解】先确定直线与坐标轴的交点坐标，则可计算出的面积，于是得到的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义即可得到的值． 【解答】解：把代入， 解得：， 把代入得， 解得：， ∴坐标为，点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴． 13．3 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴． 14．5 【分析】先求出反比例函数关系式，再将代入可得答案． 【详解】解：设反比例函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为． 当时，， 解得． 15． 【分析】根据点A在反比例函数的图象上，得出反比例函数的解析式，过点C作交于点D，依据勾股定理和所对的直角边是斜边的一半算出点C坐标，进而得出平移的距离． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 所以， 所以反比例函数， 因为，，， 所以，， 过点C作交于点D， 所以 所以， 所以， 所以， 所以点C纵坐标为，横坐标为， 在反比例函数中，当时，， 所以当点落在反比例函数的图象上时，平移的距离为． 16． 【分析】根据题意阴影矩形的一边长都为，将面积为的矩形向左平移到下方，则有：，最后利用计算即可． 【详解】解：等点，它们的横坐标依次为，，，…，n，， 阴影矩形的一边长都为，如图： 由题意得：轴，轴，轴，交于点， 将面积为的矩形向左平移到下方， ∴， 当时，，即， ， 根据反比例函数值的几何意义得：， ． 17．(1),， (2)，，． (3) 【分析】（1）分别把代入函数解析式即可求得点，的坐标； （2）把、代入一次函数即可求得，的值；进而确定点的坐标，进而求得反比例函数解析式； （3）先求得的长，然后结合图形求的面积即可． 【详解】（1）解：当时，，即． 当时，，解得：，即． 当时，，即． （2）解：将代入可得，即； 将代入可得，解得：； 将代入可得，解得：， 所以反比例函数解析式为． （3）解：如图： ∵， ∴，点A到y轴的距离为1， ∴的面积为． 18．(1)； (2)12 (3)或 【分析】（1）把点代入可得k的值，求得反比例函数的解析式，再把点代入可得m的值，求得正比例函数的解析式； （2）根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解； （3）根据图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把点代入（）得 ∴反比例函数的解析式为     把点代入（）得， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B， ， ∵点C与点A关于y轴对称， ， ，     ； （3）解：根据图象得不等式的解集为或． 19．(1) (2)或 【分析】（1）把，代入，求出，，代入求出，即可得出一次函数解析式； （2）设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，根据一次函数解析式得出，设，根据得出，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， ∴，， 解得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为． （2）解：如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于， ∵直线的解析式为， ∴当时，， 解得：， ∴ 设， ∵， ∴，即， 解得：，， ∴点的坐标或． 20．(1)； (2)； (3)①当时，随增大而减小 ②当时随增大而减小 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）点在坐标轴上，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，应分三种情况讨论：、，；根据三角形的面积公式求出当点在轴负半轴时，等腰三角形的面积； （3）根据函数图象写出该函数的两条性质即可． 【详解】（1）解：将代入， 可得：， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：点的坐标为， ， 当时，若点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当是等腰三角形，点在坐标轴上时，点的坐标为或或或或或或， 综上所述，以点，，为顶点的等腰三角形有个； ， ； （3）解：图象的性质：①当时，随增大而减小； ②当时随增大而减小； ③函数的图象关于原点对称； 21．(1)v是m的反比例函数， (2)函数图象如图： (3)机器人完成任务所用的最短时间为161秒 【分析】（1）由表格可知总质量越大，最快移动速度越慢，所以v是m的反比例函数，假设，根据待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据数据描点，再画出平滑曲线即可； （3）先求出机器人当时和当时的最快速度，再根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】（1）解：由表格分析知v是m的反比例函数， 设，将，代入，得， ∴该函数表达式为． （2）略 （3）解：当时，（米/秒）， 当时，（米/秒）， ∴秒， 答：机器人完成任务所用的最短时间为161秒． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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