5.2.3 简单复合函数的导数 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“简单复合函数的导数”，涵盖概念、求导法则及应用。课堂通过问题链（如ln(2x-1)求导、sin2x猜想法则）衔接导数四则运算，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心，通过“分解-求导-回代”三步法（如例2分步求导）强化理解，结合新情境（放射性衰变）和新定义（曲率）培养数学眼光与思维。学生提升抽象及运算能力，教师获得系统教学资源。

第五章 　5.2.3　简单复合函数的导数 学习目标 1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.(数学抽象、数学运算) 基础落实·必备知识全过关 知识点 简单复合函数的导数　 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成 　　　的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作　　　　　　.  2.复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 求导遵循原则:由外及里,层层求导 x y=f(g(x)) 微点拨 1.由y=f(u)和u=g(x)构成的复合函数中,y=f(u)称为外层函数,u=g(x)称为内层函数. 2.对复合函数求导时,中间变量要选择恰当,确保内、外层函数均为基本初等函数. 3.对每层函数求导时,注意分清是对哪个变量求导. 4.求导后要把中间变量换成关于自变量x的函数. 提示 是,函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1这两个函数复合而成的. 微思考 函数y=log2(x+1)是复合函数吗?若是,则是由哪些函数复合而成的? 重难探究·能力素养速提升 重难探究·能力素养速提升 问题1函数y=ln(2x-1)不能由基本初等函数通过四则运算得到,像这类函数如何求导数? 问题2函数y=sin 2x可以由二倍角公式转化为y=2sin xcos x,从而可以利用导数的四则运算求导.观察函数y=sin u与u=2x的导数,你能否猜想出复合函数的求导法则呢? 探究点一 分析复合函数的复合关系 问题3复合函数不能直接由一些基本初等函数通过四则运算得到,但为了研究复合函数的导数,需要对复合函数的复合关系进行分析,如何准确地对复合函数的内层、外层函数进行分析? 【例1】 指出下列复合函数中的复合关系: (1)y=(2x+3)4;(2)y=; 解(1)对于y=(2x+3)4,可令y=u4,u=2x+3,所以函数y=(2x+3)4由y=u4和u=2x+3复合而成. (2)对于y=,可令y=,u=cos x,所以函数y=由y=和u=cos x复合而成. (3)y=lo(3x2-2x-1); (4)y=. 解(3)对于y=lo(3x2-2x-1),可令y=lou,u=3x2-2x-1,所以函数y=lo(3x2-2x-1)由y=lou和u=3x2-2x-1复合而成. (4)对于y=,可令y=eu,u=sin v,v=x+,所以函数y=由y=eu,u=sin v以及v=x+复合而成. 规律方法　确定复合函数复合关系的方法 由外向内分析,最外层的主体函数结构应为基本初等函数的形式,各层也是基本初等函数,一层一层进行分析,最内层函数应该是关于自变量x的基本初等函数. 探究点二 复合函数的求导 问题4根据导数的四则运算及复合函数的求导法则,如何求复合函数的导函数? 【例2】 求下列函数的导数: (1)y=;(2)y=esin x; 解(1)设u=1-2x2,则y=u3, 所以yx'=yu'·ux'=(u3)'·(1-2x2)'=3u2·(-4x)=·(-4x)=-12x. (2)设u=sin x,则y=eu,所以yx'=yu'·ux'=(eu)'·(sin x)'=eu·cos x=esin xcos x. (3)y=sin(3x-);(4)y=5ln(4x-1); (5)y=; 解(3)设u=3x-,则y=sin u,所以yx'=yu'·ux'=(sin u)'·(3x-)'=3cos u=3cos(3x-). (4)设u=4x-1,则y=5ln u,所以yx'=yu'·ux'=(5ln u)'·(4x-1)'=5××4=. (5)因为y=,所以y'=. (6)y=xsin2(x-). 解(方法1)因为y=xsin2(x-)=x·cos(2x-),所以y'=[cos(2x-)]'=-[cos(2x-)]'=-[cos(2x-)+(-2)sin(2x-)]=cos(2x-) +xsin(2x-). (方法2)因为y=xsin2(x-),所以y'=sin2(x-)+x[sin2(x-)]'=sin2(x-)+x·2sin(x-)·[sin(x-)]' =sin2(x-)+x·2sin(x-)·cos(x-)=+xsin(2x-) =cos(2x-)+xsin(2x-). 规律方法　复合函数求导的步骤 探究点三　与复合函数有关的切线问题 问题5根据导数的几何意义,如何解决与复合函数有关的切线问题? 【例3】 设函数f(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=-x+1.求a,b的值. 解因为f(x)=x-x3eax+b,所以f'(x)=1-(3x2+ax3)eax+b, 因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1,所以f(1)=0,f'(1)=-1, 规律方法　解决与复合函数有关的切线问题的关键点: (1)求复合函数的导数,这是正确解答的前提,要注意把复合函数逐层分解,求导时不要有遗漏. (2)求切线方程,注意切线所过的点是不是切点. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)复合函数的概念. (2)复合函数的求导法则. (3)复合函数的导数的应用. 2.方法归纳:公式法、转化法. 3.常见误区:(1)求复合函数的导数时不能正确分解函数;(2)求导时不能分清是对哪个变量求导;(3)计算结果复杂化. 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 知识点1 简单复合函数的导数 1.设函数，则 ( ) B A.0 B.60 C. D. 【解析】 ,所以 . 20 2.已知函数的导函数是,且,则实数 ( ) B A. B. C. D.1 【解析】 由，得,则 ，解 得 .故选B. 21 3.新情境 [2026湖南师大附中开学考试]某放射性同位素的衰变过程中，同 位素含量（单位：贝克）与时间 （单位：天）满足函数关系 ，其中为时该同位素的含量.已知当 时，该放 射性同位素含量的瞬时变化率为，则 ( ) C A.贝克 B.贝克 C.贝克 D. 贝克 【解析】 由题得，因为 ， 所以，所以,所以 ，故 选C. 22 4.教材习题变式 已知函数满足 ，则 _____. 【解析】 因为 ，所以 ，解得 . 23 5.求下列函数的导数： （1） ； 【解析】 . （2） ； 【解析】 . 24 （3） ； 【解析】 所以 . 25 （4） ; 【解析】 . 所以 26 （5） . 【解析】 . 27 知识点2 简单复合函数的导数的应用 6.函数的图象在点 处的切线方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】 因为，所以 ，又 ，所以所求切线方程为 ,即 . 28 7.[2026陕西宝鸡段考]已知函数的图象如图所示，若 ， 则下列选项正确的是( ) A A. B. C. D. 29 【解析】 因为，所以 （ ），所以 （1）,,，所以 （1）, ，由题图结合导数的几何意义得 （1）， 所以 . . . 30 8.下列选项中可与曲线和的公切线 垂 直的直线方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】 设直线与曲线和 分别相切于 点，，又， ，所以 ，，所以解得 所 以，即公切线的斜率为1，故与垂直的直线的斜率为 ， 只有选项D符合. 31 9.新定义 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，其定义如下:若 是 的导函数,是的导函数，则曲线在点 处 的曲率.已知，则曲线 在 点 处的曲率为___. 0 【解析】 因为 ,所以 ,则 ,（1）,所以曲线 在点 处的曲率为 . 32 10.（多选）[2026福建龙岩期中]已知定义在上的可导函数 是偶函数， 且满足 ，则下列结论一定正确的是( ) ABD A.4是的一个周期 B.的图象关于点 中心对称 C.的图象关于直线对称 D. 33 【解析】 因为是上的偶函数，所以 ，又 ，所以，即 ， 所以，所以，所以 是 以4为周期的周期函数.因为，所以函数 的图 象关于点 对称 （ 若在定义域内恒满足，则 图象关于 点,0对称.），又函数为偶函数，所以函数 的图象关于点 对称，因为函数的周期为4，所以函数的图象关于点 中心对称. . . . . 34 因为，所以 （ .），即 ，所以函数的图象关于直线 对称. 因为，所以，即 ， 所以为奇函数，且定义域为，所以 ，又 ，所以，所以 ， 则，所以 是以4为周期的周期函数 （ 也可根据原函数与导函数周期性的关系直接得出.），所以 （24） . . . . . . . . . 则解得 所以a=-1,b=1. $