5.3.1 函数的单调性 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦函数的单调性与导数的关系，涵盖利用导数判断单调性、求单调区间、分析函数与导函数图象关系及已知单调性求参数等核心内容。课堂导入通过回顾必修第一册单调性证明方法，提出导数与单调性联系的问题，搭建新旧知识桥梁形成学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合数学抽象和数学运算核心素养，如例1多选题辨析导数符号与单调性，例8分类讨论参数范围。规律方法步骤化总结（定义域优先、解不等式等），帮助学生形成逻辑推理能力。学生能提升数学思维和解题能力，教师可获得系统教学资源和清晰教学路径。

第五章 5.3.1　函数的单调性 学习目标 1.理解函数的单调性与导数的关系.(数学抽象) 2.能利用导数判断或证明函数单调性,能利用导数求函数的单调区间.(数学抽象、数学运算) 3.理解函数图象与其导函数图象之间的关系.(数学抽象) 4.掌握已知函数单调性求参数取值范围的方法.(数学抽象、数学运算) 基础落实·必备知识全过关 知识点1　函数的单调性与导数的关系 在某个区间(a,b)内,如果　　　　,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;在某个区间(a,b)内,如果　　　　　,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.   定义域的非空子集　 f'(x)>0 f'(x)<0 微思考 1.如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特性? 提示 f(x)在该区间内是常数函数. 2.在区间(a,b)内,若f'(x)>0,则f(x)在此区间内单调递增,反之也成立吗? 提示 不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零. 也就是说f'(x)>0是y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件. 知识点2　函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系 一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)内: 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 较大 　　　  比较“　　　　”(向上或向下)  较小 　　　  比较“　　　　”(向上或向下)  较快 陡峭 较慢 平缓 微点拨 1.原函数的图象通常只看增减变化,而导函数的图象通常对应只看正负变化. 2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系. 微思考 “导数值越大,函数值变化得越快,导数值越小,函数值变化得越慢”,这种说法正确吗? 提示这种说法错误,正确说法应该是:导数的绝对值越大,函数值变化得越快;导数的绝对值越小,函数值变化得越慢. 重难探究·能力素养速提升 重难探究·能力素养速提升 问题1必修第一册中,我们学习了如何证明函数在某个区间上的单调性.根据导数的几何意义,函数的单调性与导数是否有联系? 问题2函数的单调性与其导函数的正负有内在联系,那么,我们能否由导函数的正负来判断函数的单调性呢? 探究点一 利用导数判断或证明函数的单调性 BCD 问题3函数的单调性与其导函数的正负有内在的联系,如何通过求导判断或证明函数的单调性? 【例1】 (多选题)(2026黑龙江哈尔滨期末)下列函数中,在(1,+∞)内单调递增的是(　 　) A.y= B.y=xln x C.y= D.y=x-sin x 解析 对于A,对函数y=求导得y'=, 当1<x<e时,y'>0;当x>e时,y'<0. 故函数y=在区间(1,e)内单调递增,在区间(e,+∞)内单调递减,A不符合题意; 对于B,对函数y=xln x求导得y'=ln x+1,当x>1时,y'>0. 故函数y=xln x在区间(1,+∞)内单调递增,B符合题意; 对于C,对函数y=求导得y'=,当x>1时,y'>0.故函数y=在区间(1,+∞)内单调递增,C符合题意; 对于D,对函数y=x-sin x求导得y'=1-cos x≥0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,且在区间(1,+∞)的任意子区间内y'=1-cos x不恒等于0.故函数y=x-sin x在区间(1,+∞)内单调递增,D符合题意.故选BCD. 规律方法　利用导数研究函数单调性的方法 利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的单调性. 探究点二 利用导数求函数的单调区间 问题4导函数的正负决定了原函数递增或递减,如何通过导函数求函数的单调区间? 【例2】 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=2x3-3x2;(2)f(x)=x2-ln x; 解(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=6x2-6x=6x(x-1). 令f'(x)>0,得x<0或x>1,令f'(x)<0,得0<x<1,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(1,+∞),单调递减区间为(0,1). (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-. 令f'(x)>0,得x>,令f'(x)<0,得0<x<. 所以函数f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,). (3)f(x)=;(4)f(x)=cos x+x,x∈(0,π). 解(3)函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),f'(x)=. 令f'(x)>0,得x>0,令f'(x)<0,得x<-1或-1<x<0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,-1)和(-1,0). (4)函数f(x)的定义域为(0,π),f'(x)=-sin x+. 令f'(x)>0,即-sin x+>0,解得0<x<<x<π; 令f'(x)<0,即-sin x+<0,解得<x<. 所以函数f(x)的单调递增区间是(0,)和(,π),单调递减区间是(). 规律方法　利用导数求单调区间的步骤与注意点 探究点三 函数与导函数图象间的关系 问题5函数的单调性与其导函数的正负有内在的联系,如何根据原函数(导函数)的图象,判断其导函数(原函数)的图象? 【例3】 (1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为(　　) D 解析 由函数的图象可知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正再为0,再负,再为0,再正,对照选项,应选D. (2)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 (　　) D 解析 原函数先减再增,再减再增,且单调递增区间与单调递减区间的分界点情形只有选项D符合,故选D. 问题6导数绝对值的大小反映了曲线的陡峭与平缓程度,那么如何根据导数值的变化情况分析原函数的图象情况呢? 【例4】 已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的大致图象是(　　) B 解析 由y=f'(x)的图象可知,在区间(-1,1)内f'(x)≥0恒成立,所以函数y=f(x)在区间[-1,1]上单调递增.又因为在区间[-1,0]上,f'(x)的值逐渐增大,在区间[0,1]上,f'(x)的值逐渐减小,因此函数y=f(x)在区间[-1,0]上增加的越来越快,在区间[0,1]上增加的越来越慢,故选项B符合题意. 规律方法　研究函数图象与导函数图象之间关系的方法 导函数f'(x)的图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f'(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)函数的单调性与导数的关系. (2)利用导数判断或证明函数的单调性. (3)利用导数求函数的单调区间. (4)函数与导函数图象之间的关系. 2.方法归纳:转化法,数形结合、分类讨论. 3.常见误区:(1)容易忽略定义域的限制;(2)当单调区间不止一个时,连接符号易出错;(3)易忽视求单调区间问题中区间的开闭情况. 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 知识点1 导函数图象和其原函数图象之间的关系 1.已知函数的图象如图所示，则其导函数 的图象 可能是( ) B A. B. C. D. 25 【解析】 26 2.已知是函数的导函数，且 的图象如图所 示，则 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 27 【解析】 28 3.（多选）[2026湖北黄冈段考]设是函数的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项可能正确的是 ( ) ABC A. B. C. D. 29 【解析】 对于A，当为二次函数，为一次函数时， 先增后 减，先正后负，故A可能正确；对于B，当轴上方曲线为 图象， 另一条曲线为图象时，始终单调递增， 始终为正，故B可能 正确；对于C，当轴上方曲线为图象，另一条曲线为 图象时， 始终单调递增， 始终为正，故C可能正确；对于D，无论谁作导 函数图象，谁作原函数图象，都无法同步，故D错误. 30 4.[2026上海市实验学校期中]函数, 的图象如图所示，的导函数为，则 的解集为______________. 【解析】 由题图可知，在区间上单调递减，在区间 上单 调递增，所以当时，，当时， .由 ，得或结合函数 的图象得 ，所以不等式的解集为 . 31 知识点2 利用导数研究函数的单调性 5.[2026甘肃酒泉期中]函数 的单调递减区间为 ( ) D A. B. C.， D. 【解析】 由题意得的定义域为 , ，，令 ，得 ，故函数的单调递减区间为 . 32 6.新定义 （多选）若定义在R上的函数对任意两个不相等的实数 , ，都有，则称函数为“ 函数”.下列函 数是“ 函数”的是( ) BC A. B. C. D. 33 【解析】 由可知是 上的增函数. A 由得,即函数 的单 调递增区间为, . B √ 恒成立. C √ 恒成立. D 其为偶函数，所以它不可能为 上的增函数. 34 7.求下列函数的单调区间. （1） ； 【解析】 . 令,得；令，得或 .故函 数的单调递减区间为, ，单调递增区间为 . 35 （2） ； 【解析】 函数的定义域为 . ,令,可得 . 当变化时，, 的变化情况如表所示. 3 0 单调递减 单调递减 单调递增 36 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 和 .（ 定义域优先，因此单调递减区间为和 ，而非 .此外切记单调区间不能用并集符号连接.） . . . . 37 （3） ； 【解析】 （ 导数非二次函数，但可以类比二次函数判断各区 间正负.）,令，可得或 . 当变化时，, 的变化情况如表所示. 0 0 0 单调递增 单调递减 0 单调递增 . . 38 所以函数的单调递增区间为和 ，单调递减区间为 . 39 （4） . 【解析】 函数的定义域为， ， 令，则等价于 ，因为 （ 若求导后无法直接得到导函数零点，可“二 次求导”.），所以在 上单调递减. 又，所以由解得 . . . . . 40 当变化时，, 的变化情况如表所示. 1 0 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . 41 8.已知函数, . （1）若，求曲线在点 处的切线方程； 【解析】 当时， ， 则 . 又，所以 ， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即 . 42 （2）讨论 的单调性. 【解析】 函数的定义域为 ， . ①当时，由,得或，由,得 ， 所以在和上单调递增，在 上单调递减； 43 ②当时，恒成立，所以在 上单调递增； ③当时，由,得或，由,得 ， 所以在和上单调递增，在 上单调递减. 综上,当时，在和上单调递增，在 上单调递 减； 当时，在 上单调递增； 当时，在和上单调递增，在 上单调递减. 44 知识点3 利用导数与函数单调性的关系求参 9.已知函数在区间上单调递减，则实数 的取值范 围为( ) A A. B. C. D. 【解析】 ，令,得 ，故 在上单调递减.由题意得解得 . 45 变式 已知函数在区间上不单调，则实数 的取值 范围为________________. 【解析】 ，令，得 或 .因为函数在区间上不单调，所以在 上有变号零点，所以或 ，解得 或 . 46 10.[2026北京朝阳区期中]若函数在区间 上单调，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 47 【解析】 由题知，，因为在区间 上单调， 所以或在上恒成立.当在 上恒成立 时，需使在上恒成立，所以在 上恒成立，易知 在上单调递增，所以，故，即 ；当 在上恒成立时，需使在 上恒成立，即 在上恒成立，此时，即 .综上， .故选A. 48 11.[2026江苏宿迁期中]函数在 上单调 递增，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 49 【解析】 当时，， ，由题意可 得在上恒成立，即在 上恒成 立，则.当时，， ， 由题意可得在上恒成立，即 在 上恒成立，则，即.又在 上单调递增，所以 ，解得 .（ 不要忽略分段处函数值的大小比较.）综 上，实数的取值范围是 . . . . . 50 12.已知函数在, 上存在单调递增区间，则实 数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 51 【解析】 的定义域为 ，则 ，.因为在, 上存在单调递增区间，所以 在区间,上有解，即 在上有解，因为，所以 ，所以 ，所以 . 13.若函数恰好有三个单调区间，则实数 的取值范 围是________________. 【解析】 .若函数 恰好有三 个单调区间，则有两个不同的零点，即 有两个不 同的根，所以解得且,故实数 的取值范围 是 . 53 14.已知函数.若 的单调递减 区间是，则实数的值为__；若在上单调递减，则实数 的 取值范围是______. 54 【解析】 .若的单调递减区间是 ,则0,4 是方程的两个根,即,解得,经验证符合题意.若 在上单调递减,则在上恒成立,即 对任意 恒成立,因为在上单调递减,所以 ,所以 ，又,所以,即实数的取值范围为 . 55 知识点4 利用导数与函数单调性的关系比较大小、解不等式 15.[2026江西抚州期中]已知函数，且 ， ， ，则( ) B A. B. C. D. 56 【解析】 由，可得.当 时， ，且，所以，在 上单调递增.因 为，即，所以 ，所以 ，即 . 16.[2026北京延庆区月考]已知定义在R上的函数的导函数为 ，若 恒成立，且，则 的解集为( ) D A.R B. C. D. 【解析】 设，（ 根据 构造函数.），因为 ，所以，所以 单调递减.又 ，所以的解集为，即 的解集 为 . . . 58 17.[2026陕西榆林段考]已知，， ，则( ) C A. B. C. D. 【解析】 ，，. 设 ， （ 将,变形，使其与形式相同，构造函数.）, 则 . 当时，，，所以在 上单调递减.因为 ， ，（ 利用对数运算将自 变量转化到同一单调区间.），，且 ，所以 ，即 . . . . . 59 18.[2026河北张家口段考]已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_ _____. 60 【解析】 因为，所以 ，设 ，则 ， 所以在上是增函数，所以在上是增函数.又 ，所以 当时，，即在 上单调递增.又 ，所以是偶函数，所以，所以实数的取值范围是 . 61 $