5.3.1函数的单调性导学案(2) -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦函数单调性的导数应用，涵盖利用导数判断单调性的步骤、导数与增减快慢的关系及含参函数单调性问题。通过复习导数几何意义衔接前知，以知识要点表格和步骤归纳为支架，构建从具体到抽象的认知脉络。 资料亮点在于分层例题设计与系统方法归纳，通过含参函数分类讨论培养数学思维，规范单调区间表示强化数学语言，助力学生掌握导数工具解决复杂问题，提升逻辑推理与问题解决能力。

高中数学选择性必修二导学案 第五章 一元函数的导数及其应用 §5.3.1函数的单调性(2) 【导学】 导学目的 1．掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤． 2．探究函数增减的快慢与导数的关系． 3. 学会处理含参函数的单调性问题. 【重点】利用导数判断函数的单调性. 【难点】含参函数的单调性问题. 【知识要点】 函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递增 f ′(x)＜0 单调递减 判断函数y＝f (x)的单调性步骤 第1步：确定函数的定义域； 第2步：求出导数f ′(x)的零点； 第3步：用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越 大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越 小 慢 比较“平缓 ”(向上或向下) 【方法归纳】 用解不等式法求单调区间的步骤 1.确定函数的定义域；  2.求导函数；  3.解不等式＞0或＜0，并写出解集；  4.根据3的结果确定函数的单调区间. 利用导数研究含参函数 f（x）的单调区间的一般步骤 1.确定函数的定义域； 2.求导函数； 3.分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； 4.在不同的参数范围内，解不等式＞0和＜0，确定函数的单调区间. 方法归纳 1．判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性． 2．利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况： (1)区间端点大小不确定型 由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间． (2)区间端点与定义域关系不确定型 此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论． 【特别提醒】 (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立． 【典型例题】 题型一 形如的函数的单调性 【例1】（衔接教材P87L3）求函数的单调区间. 题型二 【例2】（衔接教材P89L4）设 题型三 研究含参数的函数的单调性 【例3-1】设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性． 【例3-2】已知函数，.讨论的单调性. 【例3-3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)是否存在正实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.  【例3-4】试求函数f (x)＝kx－ln x的单调区间． 题型四 利用函数的单调性求参数 【例4-1】已知函数f (x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围． 【例4-2】若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4-3】已知函数，（其中）．讨论的单调性. 题型五 含参函数的单调性问题 【例5-1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【例5-2】已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $