2.1 等式性质与不等式性质 学习任务单-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学习任务单聚焦等式性质与不等式性质核心内容，以实数大小比较充要条件为起点，衔接等式性质回顾，通过作差法、性质辨析、取值范围求解三大课堂探究构建学习支架，贯通课前预习、课中互动与课后巩固的完整学习脉络。 资料突出数学思维与数学语言的培养，目标明确区分性质的双向等价与单向推导，课堂探究通过易错命题举反例强化推理意识，习题分层设计，基础题夯实作差法步骤，提升题融入分类讨论发展抽象能力，参考答案规范解题过程，助力学生形成严谨的数学表达习惯。

2.1 等式性质与不等式性质 学习任务单 一、学习目标 1. 掌握实数大小比较的充要条件，熟练掌握作差法核心解题步骤，能比较各类代数式的大小； 2. 精准熟记等式、不等式的核心性质，明确区分性质的双向等价与单向推导，规避高频易错点； 3. 灵活运用不等式性质进行式子变形、真假命题判断、代数式取值范围求解，夯实本章基础考点。 二、重难点梳理 重点：作差法比较代数式大小、不等式八条核心性质的理解与应用、简单取值范围求解 难点：不等式性质的适用条件辨析、取值范围的精准求解、规避不等式变形易错陷阱 核心解题技巧： 1. 作差法三步核心：作差变形→判断符号→得出结论，变形常用配方、因式分解、通分； 2. 不等式变形谨记：正数不换号、负数必换号、减法转加法、除法转乘法； 3. 取值范围求解：仅可同向不等式相加，不可同向相减、相乘，需转换形式后运算。 三、课前预习（5分钟快速完成） 1. 实数大小比较核心依据（充要条件） 对任意实数a，b： a＞b ⇔ ______ ；a＝b ⇔ ______ ；a＜b ⇔ ______ 2. 等式核心性质回顾 对称性：若a＝b，则____；传递性：若a＝b，b＝c，则____； 可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c； 可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若c≠0，则a/c＝b/c。 3. 不等式八大核心性质（填空梳理） 性质1（对称性）：a＞b ⇔ ______ 性质2（传递性）：a＞b，b＞c ⇒ ______ 性质3（可加性）：a＞b ⇒ a＋c ____ b＋c 推论（同向可加）：a＞b，c＞d ⇒ ______ 性质4（可乘性）：a＞b，c＞0 ⇒ ac ____ bc；a＞b，c＜0 ⇒ ac ____ bc 性质5（同向正可乘）：a＞b＞0，c＞d＞0 ⇒ ______ 性质6（正乘方）：a＞b＞0，n为大于等于2的正整数 ⇒ ______ 性质7（正开方）：a＞b＞0，n为大于等于2的正整数 ⇒ ______ 四、课堂核心探究（15分钟师生互动） 探究1：作差法比较大小（本节核心方法） 通用标准步骤：作差 → 变形（配方/因式分解/通分） → 判断差值正负 → 得出大小结论 例题：比较 x²＋3 与 3x 的大小 探究2：不等式性质易错命题辨析（正误判断+举反例） 1. 若a＞b，则ac＞bc 2. 若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d 3. 若a＞b，则a²＞b² 4. 若ac²＞bc²，则a＞b 探究3：代数式取值范围求解 例题：已知 1＜a＜3，2＜b＜4，求 a＋b、a－b、2a－b 的取值范围 五、当堂限时训练 基础巩固 1. 用作差法比较大小：(x＋2)(x＋3) 与 (x＋1)(x＋4) 2. 比较 a²＋b² 与 2ab 的大小 3. 已知a＞b，用“＞”“＜”填空： a－3___b－3；2a___2b；－a___－b；a＋5___b＋2 4. 若0＜a＜1，比较 a、a²、a³ 的大小 5. 判断下列命题的真假： （1）若a＞b，c≠0，则ac＞bc （2）若a/c²＞b/c²，则a＞b 6. 已知2＜x＜5，求x＋2、2x、－x的取值范围 7. 求证：x²＋2＞2x 8. 已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d 能力提升 1. 已知1＜a＜4，2＜b＜5，求2a＋b、a－2b的取值范围 2. 用作差法比较 x³ 与 x²－x＋1 的大小 3. 已知a＞b＞0，比较 a²－b² 与 2ab－b² 的大小 4. 若0＜a＜b＜1，比较 和 的大小 六、课后作业 1. 系统整理等式、不等式所有性质，单独标注每条性质是双向等价还是单向推导，并摘抄3个典型易错反例； 2. 独立完成课堂全部基础巩固习题，规范书写解题步骤； 3. 选做2道能力提升题目，整理作差法、范围求解的解题笔记，总结易错点。 七、全套详细参考答案及解析 （一）课前预习填空答案 1. 实数大小比较：a－b＞0 ；a－b＝0 ；a－b＜0 2. 等式性质：b＝a ；a＝c 3. 不等式性质： 性质1：b＜a（双向等价） 性质2：a＞c（单向推导） 性质3：＞ ；a＋c＞b＋d（单向推导） 性质4：＞ ；＜（单向推导） 性质5：ac＞bd（单向推导，仅限正数） 性质6：aⁿ＞bⁿ（单向推导，仅限正数、n≥2正整数） 性质7：n次根号a ＞ n次根号b（单向推导，仅限正数、n≥2正整数） （二）课堂探究例题详细解析 探究1 例题解析：比较 x²＋3 与 3x 的大小 解：采用作差法 1. 作差：(x²＋3)－3x = x²－3x＋3 2. 变形（配方）：x²－3x＋3 = (x－3/2)² ＋ 3/4 3. 判断符号：对任意实数x，(x－3/2)² ≥ 0，因此(x－3/2)² ＋ 3/4 ＞ 0 恒成立 4. 结论：x²＋3 ＞ 3x 探究2 命题辨析解析 1. 若a＞b，则ac＞bc 解析：假命题。不等式可乘性受乘数正负影响，当c＜0时，不等式变号，ac＜bc。反例：3＞2，取c=-1，则-3＜-2，结论不成立。 2. 若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d 解析：假命题。不等式仅支持同向可加，不可直接同向相减。反例：2＞1，2＞0，a-c=0，b-d=1，0＜1，结论不成立。 3. 若a＞b，则a²＞b² 解析：假命题。该性质仅对正数成立，负数不满足。反例：1＞-2，但1²=1＜(-2)²=4。 4. 若ac²＞bc²，则a＞b 解析：真命题。由ac²＞bc²可推出c²≠0，即c²＞0，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，故a＞b。 探究3 范围求解例题解析 已知 1＜a＜3，2＜b＜4，求 a＋b、a－b、2a－b 的取值范围 解：① 求a＋b范围（同向不等式可加） ∵1＜a＜3，2＜b＜4，∴1+2＜a+b＜3+4，即3＜a＋b＜7 ② 求a－b范围（减法转加法，先求相反数范围） ∵2＜b＜4，∴-4＜-b＜-2，又1＜a＜3 同向相加得：1-4＜a-b＜3-2，即-3＜a－b＜1 ③ 求2a－b范围 ∵1＜a＜3，∴2＜2a＜6，又-4＜-b＜-2 同向相加得：2-4＜2a-b＜6-2，即-2＜2a－b＜4 （三）当堂限时训练详细解析 基础巩固 1解析： 作差：(x²+5x+6)-(x²+5x+4)=2，差值恒大于0，故(x＋2)(x＋3) ＞ (x＋1)(x＋4) 基础巩固 2解析： 作差：a²+b²-2ab=(a-b)²，平方数恒非负，即(a-b)²≥0 故a²＋b² ≥ 2ab（当且仅当a=b时取等号） 基础巩固 3解析： 依据不等式性质填空：＞、＞、＜、＞ 基础巩固 4解析： ∵0＜a＜1，不等式两边同乘正数a，不等号不变，可得0＜a²＜a； 同理，0＜a²＜a两边同乘a，得0＜a³＜a²，故a³＜a²＜a 基础巩固 5解析： （1）假命题，c为负数时，不等号变向，ac＜bc； （2）真命题，c²＞0，不等式两边同除正数，不等号不变。 基础巩固 6解析： 由2＜x＜5，可得：4＜x+2＜7，4＜2x＜10，-5＜-x＜-2 基础巩固 7解析： 证明：作差得x²+2-2x=(x-1)²+1 ∵(x-1)²≥0，∴(x-1)²+1＞0恒成立，故x²＋2＞2x，得证。 基础巩固 8解析： 证明：由c＜d，根据不等式对称性，得-c＞-d； 又a＞b，根据同向可加性，a+(-c)＞b+(-d)，即a－c＞b－d，得证。 能力提升 1解析： ∵1＜a＜4，∴2＜2a＜8，又2＜b＜5，同向相加得：4＜2a+b＜13 ∵2＜b＜5，∴-10＜-2b＜-4，结合1＜a＜4，相加得：-9＜a-2b＜0 能力提升 2解析： 作差：x³-(x²-x+1)=x³-x²+x-1=x²(x-1)+(x-1)=(x²+1)(x-1) ∵x²+1＞0恒成立，差值符号由x-1决定： x＞1时，差值＞0，x³＞x²-x+1；x=1时，差值=0，两式相等；x＜1时，差值＜0，x³＜x²-x+1 能力提升 3解析： 作差：(a²-b²)-(2ab-b²)=a²-2ab=a(a-2b)，已知a＞b＞0 a＞2b时，差值＞0，a²-b²＞2ab-b²；a=2b时，差值=0，两式相等；b＜a＜2b时，差值＜0，a²-b²＜2ab-b² 能力提升 4解析： 作差： - = ，∵0＜a＜b＜1，∴b-a＞0，ab＞0 差值恒正，所以 ＞ 学科网（北京）股份有限公司 $