四川省广安加德学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

**基本信息** 高三10月月考数学卷聚焦函数、数列、三角函数、统计等核心知识，解答题融合独立性检验（第15题）与导数综合证明（第19题），体现数学思维的逻辑性与数学语言的应用表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数性质、三角函数定义|基础概念辨析，如第3题充要条件判断| |多选|3/18|函数奇偶性、三角函数图像|第9题狄利克雷函数考查抽象思维| |填空|3/15|不等式求解、基本不等式|第13题条件最值体现数学眼光| |解答|6/77|统计案例、数列、解三角形、导数|第15题独立性检验关联现实，第19题导数零点证明考查逻辑推理|

广安加德学校高2023级高三10月月考试题 数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（ ） A． B． C． D． 2．设集合，，若，则(　　) A．2 B．1 C． D． 3．设，是实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D． 充分必要条件 4．已知角的终边与单位圆的交点为，则等于(　　) A． B． C． D． 5．设，则（ ） . . . . 6．已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为(　　) A．3 B．18 C．52 D．54 7．已知，，，则的大小关系为(　　) A． B． C． D． 8. 设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（ ） A．的图象存在对称轴 B． C．当时， D．方程有四个实数根 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9．已知，下列关于的说法正确的是（ ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数，对任意恒成立 10．如图是函数的部分图象，则（ ） A． B． C． D． 11．已知方程有两个不同的根，则下列结论一定正确的是(　　) A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则不等式的解集是 。 13．已知，则的最小值是_______。 14．已知实数满足，，则___________。 四、解答题：本题共6小题，共77分。第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效? 附：。 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．已知等差数列的公差大于0，且，分别是等比数列的前三项。 （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和，若，求的取值范围。 17．已知的内角的对边分别为，且。 （1）求角； （2）若是的角平分线，，的面积为，求的值。 18．已知函数，将函数的图像向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图像。 （1）求的解析式； （2）求在上的单调递减区间及值域。 19．设为实数，且，函数。 （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足(注：是自然对数的底数)。 广安加德学校高2023级高三10月月考试题 1．答案：B。 解：因为，所以选B。 2．答案：B。 解：依题意，或，当时，解得，此时，，，0，，不符合题意； 当时，解得，此时，，，，，符合题意。故选B。 3．答案：C。 解：特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件。所以“”是“”的既不充分也不必要条件。故选C。 4．答案：C。 解法1：因为点P在单位圆上，所以2＋y2＝1，解得y＝±。当y＝时，sin α＝，tan α＝－，所以sin α·tan α＝－；当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，所以sin α·tan α＝－。综上知，sin α·tan α＝－。 解法2：因为点P在单位圆上，所以cos α＝－，又因为sin2 α＋cos2 α＝1，所以sin2 α＝，所以sin α·tan α＝sin α·＝＝＝－。 5．答案：A。 解：。故选A。 6．答案：D。 解：由题意可得：当时，，即， ① 当时，，即， ② 联立①②可得，则。故选D。 7．答案：A。 解：＝1， 因为在上单调递增，且，所以，又，即，所以。故选A。 8. 答案：D。 解：因为，所以是的图象存在对称轴，所以A正确。因为是奇函数，所以4是的周期，因为当时，，所以，所以B正确。因为是的图象存在对称轴，所以当时，，又因所以4是的周期，所以时，，所以C正确。因为是奇函数，所以时，，因为是的图象的对称轴，所以当时，，根据周期性可作出函数在定义域为上的图象。方程有四个实数根等价于的图象与直线的图象有四个交点，作出直线如下图，由图知的图象与直线的图象有五个交点，所以D错误。故选D。 9．答案：BCD。 解：因为函数，所以的值城为，故选项A不正确；因为函数，所以的定义城为，故选项B正确；对于选项C中，若自变量是有理数，则，若自变量是无理数，则，所以，则是偶函数，选项C正确；对于任意一个非零有理数，若是有理数，则+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故选项D正确。 10．答案：BD。 解：由图知函数的周期，所以。 当时，，由图知时函数的下降零点，所以，所以。所以。 当时，，由图知时函数的上升零点，所以，所以。所以。 综上所述，BD正确。 11．答案：AC 解：方程ax－2xln x＝x2＋3(a∈R)等价于方程x＋＋2ln x－a＝0，构造函数f(x)＝x＋＋2ln x－a， 则f′(x)＝1－＋＝＝， 当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 则f(x)min＝f(1)＝4－a，因此只需满足f(1)<0，即a>4. 当a>4时，f(2a)＝2a＋＋2ln(2a)－a＝a＋＋2ln(2a)>0， f＝＋3a－2ln a－a＝＋2(a－ln a)>>0， 由以上可知，当a>4时，f(x)分别在，(1，2a)上各有一个零点， 则方程ax－2xln x＝x2＋3(a∈R)有两个不同的根x1，x2，因此A正确，B错误； C中，构造函数g(x)＝f(x)－f＝－2x＋4ln x(x>0)，则g′(x)＝≤0， 因此g(x)在(0，＋∞)上单调递减，易知g(1)＝0， 假设0<x1<1<x2，则g(x2)<0，即f(x2)<f成立，又f(x1)＝f(x2)＝0，则f(x1)<f，因此x1>，即x1x2>1，因此C正确；D中，由ln x1＋ln x2－1>ln 2即ln(x1x2)>ln 2＋1＝ln(2e)，得x1x2>2e，不一定成立，故D错误。 12．答案：。 解法1：。所以的解集是。 解法2：作出函数的图象，则不等式的解集是的图象在直线及其上方部分对应的的取值集合。所以的解集是。 13．答案：。 解：,且，，当且仅当，即时取等号．的最小值为。 14．答案：。 解：所给的两个等式都无法直接求出和，故考虑同构，其中这个式子已经很简单了，所以将朝变形，令，则，代入可得，这就与同构了，设，则，所以和都是的零点，又，所以在上单调递增，从而，故，所以，因为，所以。 15．附：χ2=。 α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：(1)s=100+80=180，t=80+70=150。 (2)零假设H0:药物A对预防疾病B无效。 根据列联表中的数据可得χ2==≈6.734>6.635=x0.01。 根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为药物A对预防疾病B有效. 16．解：（1）设等差数列的公差为（）, 由，得， 又∵，，是等比数列的前三项，∴， 即，化简得， 联立解得，。∴。 （2）∵，，是等比数列的前三项， ∴等比数列的公比为3，首项为3。 ∴等比数列的前项和。 由，得，化简得，解得，。 17．解：（1） 。 (2)， ， 。 18．解：（1） ， 由题意得，化简得。 （2）由，可得。 当即时，函数单调递减。 ∴在上单调递减区间为。 ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴。 又， ∴，即在上的值域为。 19．解：(1)， ①若，则，所以在上单调递增； ②若，当时，单调递减，当时，单调递增。 综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间；时，函数的单调减区间为，单调增区间为。 (2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，令，则，记， 记，又，所以时，时，，则在单调递减，单调递增，，。即实数的取值范围是。 (3)解法1：有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数。由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，，注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，又由知，，要证，只需，且关于的函数在上单调递增，所以只需证，只需证，只需证，，只需证在时为正，由于，故函数单调递增， 又，故在时为正。从而题中的不等式得证。 解法2：有2个不同零点，不妨设，由得（其中），且。要证，只需证，即证，只需证。又，所以，即．所以只需证，而，所以，又，所以只需证。所以，原命题得证。 学科网（北京）股份有限公司 $