第七章概率单元测试-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

北师大版高中数学第七章概率单元测试 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记录向上的点数，则一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是（    ） A． B． C． D． 2．投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C． D． 3．某航空制造企业对发动机精密配件开展两次探伤质检，配件首次探伤合格的概率为，首次探伤不合格的配件使用高精仪器复测，复测合格的概率为．配件只有两次检验都不合格才做报废处理，任意一次检验合格即可装机使用，则该配件可正常装机的概率为（    ） A． B． C． D． 4．下列事件中，是必然事件的是 （    ） A．13个人中至少有两个人生肖相同 B．长度为4，5，6的三条线段可以构成一个直角三角形 C．方程有两个不相等的实根 D．函数(且）在定义域上为增函数 5．已知事件A，B满足，，且A与B相互独立，记，，则（   ） A．0 B．0.24 C．0.14 D．0.1 6．用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 7．如图，一个电路中有，，三个电器元件，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，则下列事件：①；②；③；④；⑤；⑥.表示事件“电路一定是断路”的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为分 C．丙队积分为分的概率为 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（    ） A．至少一个红球；都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多一个红球；都是红球 10．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若，则事件与相互独立 C．若发生时一定发生，则 D． 11．从正整数数列的前项中任取3项，记3项和为偶数的概率为，则（    ） A． B．存在，使 C．存在无数多个，使 D．对任意正整数， 三、填空题第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，其中有次正面朝上，次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 13．已知古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，求______． 14．学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（13分）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率. 16．（15分）甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． (1)求甲进入面试环节的概率； (2)求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 17．（15分）某工厂生产的一批零件的长度（单位：）的频率分布直方图如下，已知零件长度在的频数为15． (1)求这批零件的总数，并估计该批零件长度的平均值； (2)估计这批零件长度的中位数； (3)用分层抽样的方法从长度在和的零件中抽取6个，再从这6个中随机抽取2个，求这2个零件长度不低于的概率． 18．（17分）甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率． 19．（17分）将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． $ 北师大版高中数学第七章概率单元测试 一、单选题 1．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记录向上的点数，则一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于骰子质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，因此抛掷两枚骰子共有36个样本点．一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍有，，，，，，共6个样本点，因此一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是． 2．投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C． D． 【答案】C 【详解】投掷均匀骰子的样本空间为，共6个等可能基本事件， 事件，事件，事件， A：，故与不互斥，A错误； B：，故与不对立，B错误； C：由古典概型得，，， 根据，得，故C正确； D：，D错误. 3．某航空制造企业对发动机精密配件开展两次探伤质检，配件首次探伤合格的概率为，首次探伤不合格的配件使用高精仪器复测，复测合格的概率为．配件只有两次检验都不合格才做报废处理，任意一次检验合格即可装机使用，则该配件可正常装机的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件表示首次探伤合格，表示复测合格， 则该配件可正常装机的概率为. 4．下列事件中，是必然事件的是 （    ） A．13个人中至少有两个人生肖相同 B．长度为4，5，6的三条线段可以构成一个直角三角形 C．方程有两个不相等的实根 D．函数(且）在定义域上为增函数 【答案】A 【分析】根据必然事件的定义逐个判断即可. 【详解】对于A，因为一共只有12个生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故A为必然事件； 对于B，不满足勾股定理，所以B为不可能事件； 对于C，因为方程的判别式，所以方程无实数根，故C为不可能事件； 对于D，当时，函数在定义域上是增函数，当时，函数在定义域上是减函数，故D为随机事件. 5．已知事件A，B满足，，且A与B相互独立，记，，则（   ） A．0 B．0.24 C．0.14 D．0.1 【答案】D 【详解】由题意得， 6．用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，用这三个数字组成无重复数字的三位数， 则样本空间，共有个样本点， 则，所以， 则． 7．如图，一个电路中有，，三个电器元件，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，则下列事件：①；②；③；④；⑤；⑥.表示事件“电路一定是断路”的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用事件的基本运算即可求解. 【详解】①表示元件A正常且元件B不正常；②表示元件A正常且元件C不正常； ③表示元件A不正常且元件B正常；④表示元件A不正常且元件C正常； ⑤表示元件A正常且元件B不正常或元件C不正常； ⑥表示元件A正常且元件B和C都不正常，故③④⑥表示电路一定是断路． 8．某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为分 C．丙队积分为分的概率为 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 【答案】C 【分析】由题意得四支队伍进行单循环比赛，共比赛6场，运用每场比赛结果相应概率，分析各选项比赛情况即可求解 【详解】四支队伍进行单循环比赛，共比赛场， 分别是甲与乙，甲与丙，甲与丁，乙与丙，乙与丁，丙与丁，每支球队比赛三场. 对于A，甲队积分为分，即甲队三场比赛全胜， 所以甲队积分为分的概率为，故A正确； 对于B，若甲队三场比赛全胜，则甲队得9分，乙队、丙队、丁队各剩余两场比赛，如果全部是平局，则乙队、丙队、丁队各得2分， 则总积分为分，故B正确； 对于C，丙队积分为分有2种情况，即胜1平0负2或者胜0平3负0， 若为胜1平0负2，则概率为， 若为胜0平3负0，则概率为， 所以丙队积分为分的概率为，故C错误； 对于D，甲队胜场且乙队胜场有3类情况： 第一种：甲胜乙，则甲已经胜一场，乙已经负一场，甲还需对丙、丁胜一场， 乙需对丙、丁全胜，则概率为， 第二种：甲平乙，则甲还需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 则概率为， 第三种：甲负乙，则甲已经负一场，乙已经胜一场，则甲还需对丙、丁全胜， 乙需对丙、丁胜一场，则概率为， 所以甲队胜场且乙队胜场的概率为，故D正确. 二、多选题 9．从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（    ） A．至少一个红球；都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】AD 【分析】依据互斥事件、对立事件的定义，逐一判断各选项中两个事件的关系即可. 【详解】对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”对应两个白球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故A正确； 对于B：“恰有一个红球”和“恰有一个白球”都对应一红一白，是同一事件，可同时发生，不互斥，故B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至多一个白球”即白球数小于等于，也包含一红一白、两个红球， 二者是同一事件，可同时发生，不互斥，故C错误； 对于D：“至多一个红球”即红球数小于等于，包含一红一白、两个白球，“都是红球”对应两个红球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故D正确. 10．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若，则事件与相互独立 C．若发生时一定发生，则 D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若发生时一定发生，则，则，故C不对． 对于D，,因为 因为，所以，故D正确. 11．从正整数数列的前项中任取3项，记3项和为偶数的概率为，则（    ） A． B．存在，使 C．存在无数多个，使 D．对任意正整数， 【答案】ACD 【分析】根据的奇偶性分别确定奇数和偶数的个数，再结合三个数和为偶数的两种情况计算概率. 【详解】前个正整数中，设奇数个，偶数个，则， 三个数的和为偶数，只有两种情况：三个都是偶数，或1个偶数2个奇数， 因此：，若为偶数，，则， 化简可得，所有偶数都满足， 若为奇数，，则， 化简可得， 在A选项中，是奇数，，代入得，正确， 在B选项中，由推导可得，所有都有，不存在，错误， 在C选项中，所有偶数都满足，存在无数个这样的，正确， 在D选项中，若为偶数：，，故， 若为奇数：，，和为， 对任意都成立，正确. 三、填空题 12．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，其中有次正面朝上，次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 【答案】/ 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，结果只有两种，正面朝上和反面朝上， 且两种结果出现的可能性相同， 所以掷一次硬币正面朝上的概率是． 13．已知古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，求______． 【答案】/0.5 【分析】由韦恩图结合古典概型概率公式求解即可． 【详解】由及，得， , . 则， 得． 14．学校一班级开展数字闯关小游戏，班长准备了编号为1，2，3，4的四张数字卡片，小张同学有放回地随机抽取3次，每次抽取一张，记前两次抽到数字的平均数为，三次抽到数字的平均数为，则的概率为________． 【答案】/ 【分析】先确定总基本事件数，根据题意列不等式并化简不等式， 分类讨论符合条件的事件数，确定概率. 【详解】有放回抽取3次，每次4种选择，总事件数为， 设三次抽取数字为，则前两次平均数， 三次平均数，代入， 得：， 整理得：，即， 由于是整数，所以为整数， 因此不等式等价于：， ：，共种（按和为讨论）； ：，共种； ：，共种； ：，共种. 符合条件的总事件数为. 因此. 四、解答题 15．不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． (1)记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． (2)记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，因此． （2）对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则，因为，所以， 所以． 16．甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． (1)求甲进入面试环节的概率； (2)求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）根据条件，先求出甲、乙各自进入面试环节的概率，再利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】（1）设事件为“甲答对第道题”，，则，，， 设事件为“甲进入面试环节”，则， 所以． （2）设事件为“乙答对第道题”，，则， 设事件为“乙进入面试环节”，则， 则，， 由（1）知，所以． 由题意可知，事件，相互独立，事件，相互独立， 设事件为“甲、乙两人恰有一人进入面试环节”，则， 所以． 17．某工厂生产的一批零件的长度（单位：）的频率分布直方图如下，已知零件长度在的频数为15． (1)求这批零件的总数，并估计该批零件长度的平均值； (2)估计这批零件长度的中位数； (3)用分层抽样的方法从长度在和的零件中抽取6个，再从这6个中随机抽取2个，求这2个零件长度不低于的概率． 【答案】(1)该批零件长度的平均值为. (2)这批零件长度的中位数为. (3)这2个零件长度不低于的概率为. 【详解】（1）长度在的频率为：，频数为15，所以这批零件的总数为， 各组频率依次为： 的频率：；的频率：； 的频率：；的频率：； 的频率：；的频率：. ， 该批零件长度的平均值为. （2）设这批零件长度的中位数为， 因为，，所以， ，解得. 即这批零件长度的中位数为. （3）因为的频率为：；的频率为：，则两组的频率之比为， 所以在内抽取的零件个数为，记为，； 在内抽取的零件个数为，记为，，，； 则抽取到的2个零件组成的样本空间为： 则，； 记事件为“取出的这2个零件长度不低于”， 则，， 故这2个零件长度不低于的概率为. 18．甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）确定道文化题甲作答正确与错误的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）①求出甲在文化测试中得分和其在体能测试中得分的概率，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； ②设甲的得分为，乙的得分为，求出、、、、、对应的概率，则，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）记事件甲恰好答对两道文化测试题， 则道文化题甲作答正确与错误的情况有：对对错、对错对、错对对， 故. （2）①若道文化题甲答对两道或全答对，概率为； 若甲在体能测试中得分，则道体能测试题甲全答对，其概率为. 记事件甲总分为分，则甲在文化测试中得分，在体能测试中得分， 或者甲在文化测试中得分，在体能测试中得分， 故； ②设甲的得分为，乙的得分为， 若，则甲在文化测试中和体能测试中得分均为分，则； ； 若，则甲在文化测试中和体能测试中得分均为分，则. 由题意可知，乙在文化测试中得分的概率为， 若，则乙在文化测试中和体能测试中得分均为分，则； 若，则乙在文化测试中得分，在体能测试中得分， 或者乙在文化测试中得分，在体能测试中得分， 则； 若，则乙在文化测试中和体能测试中得分均为分，则. 所以 ， 因此甲的总分高于乙的总分的概率为. 19．将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算，数字0的个数为11，得到概率. （2）考虑，，，四种情况，依次计算得到答案. （3）只需研究，按的十位区间分类，分别统计数字0和数字9的个数，先确定集合，再比较各个候选点处的大小． 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； （2）当时，这个数有位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，个四位数组成，； 综上所述：. （3）由集合的定义，只需考虑． 当时，数字0和数字9都没有出现，所以，从而． 当时，，所以，即． 当时，设，其中，． 从1写到时，个位上的0出现在10，20，…，中，共有个，因此． 个位上的9在不超过的数中出现次；当且仅当时，数又增加一个个位数字9． 在此范围内十位尚未出现9，所以． 于是当且仅当，即． 当时，设，其中． 此时数字0的个数为． 个位数字9在9，19，…，89中出现9次，十位数字9在90，91，…，中出现次， 所以，从而． 因此只有时，即． 当时，，所以． 当时，100又增加2个0，所以，而，故． 综上，． 当时，． 当，时，． 并且，所以随增大而增大． 因此这些点中的最大值为． 当时，． 因为，所以当时，的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $