第5章 专题强化10 动力学中的临界极值问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一物理必修第一册学习笔记（鲁科版）

本高中物理讲义聚焦动力学中的临界极值问题，系统梳理接触与脱离（加速度相同、相互作用力N=0）、相对静止或滑动（静摩擦力达最大）、绳子断裂或松弛（张力为零或达最大）三类临界条件，构建从概念理解到规律应用的学习支架，强化牛顿第二定律的综合运用。 该资料以典型例题为载体，通过分析临界状态（如例1中A、B分离的t=1.5s，例3中相对滑动的F=4N）培养科学推理与模型建构能力。课中辅助教师清晰讲授方法，课后练习题覆盖不同情境，帮助学生巩固临界条件分析，查漏补缺提升解题能力。

专题强化10　动力学中的临界极值问题 [学习目标]　1.掌握动力学临界、极值问题的分析方法，会分析几种典型临界问题的临界条件(重难点)。2.进一步熟练应用牛顿第二定律解决实际问题(重点)。 一、接触与脱离的临界问题 1.临界状态是某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态，有关的物理量将发生突变，相应的物理量的值为临界值。 2.接触与脱离的临界条件 (1)加速度相同。 (2)相互作用力N=0。 例1　(多选)(2023·福州一中高一期末)如图，光滑水平面上放置有紧靠在一起但并不黏合的A、B两个物体，A、B的质量分别为mA=2 kg、mB=3 kg，从t=0开始，推力FA和拉力FB分别作用于A、B上，FA、FB大小随时间变化的规律分别为FA=(7-2t) N，FB=(3+2t) N。则(　　) A.A、B两物体一直做匀加速直线运动 B.当FA=FB时，A、B两物体之间的弹力为零 C.t=1.5 s时，A、B两物体开始分离 D.t=6 s时，B物体的加速度为5 m/s2 答案　CD 解析　对整体根据牛顿第二定律得FA+FB=(mA+mB)a0，解得a0=2 m/s2，恰好分离时FA=mAa0，又FA=(7-2t) N，联立解得t=1.5 s，C正确；t=1.5 s时，A、B两物体开始分离，此时FA=(7-2t) N=4 N，FB=(3+2t) N=6 N，A、B两物体之间的弹力为零时，FA≠FB，B错误；t=6 s时，FB=mBa1，解得B物体的加速度a1为5 m/s2，D正确；分离后由于FA、FB是变力，则两物体的加速度均发生改变，A错误。 例2　(2023·厦门二中开学考试)如图所示，在光滑水平地面上有一个质量为M=2 kg，倾角为θ=37°的光滑斜劈A，钉在劈端的钉子上系着一条细线，线下端拴着一个质量为m=1 kg的小球B，静止时细线与劈面平行。用图示方向的水平恒力F拉斜劈，已知重力加速度大小为g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8(计算结果可保留分数、根号)。 (1)若B与A之间恰好无挤压时，求B的加速度大小以及拉力F的大小； (2)若F=24 N，求此时线对球的拉力大小； (3)若F=45 N，求此时线对球的拉力大小。 答案　(1) m/s2　40 N　(2)12.4 N　(3)5 N 解析　(1)当小球与斜劈之间恰好无挤压时，对小球受力进行正交分解，可得 Tsin θ=mg Tcos θ=ma 对整体有F=(m+M)a 解得此时B的加速度大小以及拉力F的大小为 a= m/s2，F=40 N。 (2)因为F=24 N<40 N 故小球没脱离劈面，根据平衡条件得 Tsin 37°+Ncos 37°=mg 根据牛顿第二定律得 F=(m+M)a Tcos 37°-Nsin 37°=ma 解得此时线对球的拉力大小T=12.4 N。 (3)因为F=45 N>40 N，小球已脱离斜面， 小球与劈面间无弹力，对整体有F=(m+M)a 对小球，有=ma 解得此时线对球的拉力大小为T=5 N。 二、相对静止或相对滑动的临界问题 如图，物块A放在物块B上，A、B质量分别为m、M，A、B间的动摩擦因数为μ，水平地面光滑，现用水平向右的力F拉B。 (1)若A、B没有发生相对滑动，求A、B的加速度大小。 (2)A、B未发生相对滑动时，A、B之间的摩擦力是滑动摩擦力，还是静摩擦力？随着F的增大，A所受的摩擦力如何变化？ (3)A、B发生相对滑动的临界条件是什么？ 答案　(1)对A、B整体：F=(m+M)a，a=。 (2)A、B未发生相对滑动时A、B之间的摩擦力为静摩擦力，对物块A：f=ma f=F，随着F增大，f增大。 (3)A所受摩擦力达到最大静摩擦力。 两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。 例3　(2024·泉州市泉港区第二中学期中)A、B两物体质量均为m=1 kg，静止叠放在光滑的水平地面上，A、B间的动摩擦因数为μ=0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10 m/s2。现对B施加一水平拉力F，下列说法正确的是(　　) A.只有当F>2 N，B才会运动 B.当F=3 N时，B的加速度大小为1 m/s2 C.当F>4 N时，A相对B滑动 D.当F=5 N时，A的加速度大小为2.5 m/s2 答案　C 解析　因水平地面光滑，水平拉力F较小时，A、B两物体一起向右加速，F=2ma，只要F>0，B就会运动，A错误；A、B两物体刚好相对滑动时F=2ma，μmg=ma，解得F=4 N。当F=3 N时，A、B两物体一起向右加速，F=2ma1，解得B的加速度大小a1=1.5 m/s2，当F>4 N时，A相对B滑动，B错误，C正确；当F=5 N时，A相对B滑动，μmg=ma2，解得A的加速度大小a2=2 m/s2，D错误。 例4　(2023·南平市高一期末)如图所示，质量相等的A、B静止叠放于光滑水平面上，某时刻起，对A施加一与时间成正比的水平外力F作用，即F=kt，已知常数k，A、B之间的最大静摩擦力fm，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，B足够长。则从开始施加F作用至A、B发生相对滑动的时间t为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意，可知当A、B之间的摩擦力未达到最大静摩擦力时，二者加速度、速度均相等，有F-f=ma，f=ma，联立可得f=F，当它们之间的摩擦力刚好达到最大静摩擦力时，有fm=F=kt，可得从开始施加F作用至A、B发生相对滑动的时间为t=，故选D。 三、绳子断裂或松弛的临界问题 绳子所能承受的张力是有限的，绳子断裂的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳子上的张力为零。 例5　一个质量为m的小球B，连接两根等长的细绳1、2，两端分别固定在车厢的A、C两点，如图所示。已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°，当车以加速度a=g(重力加速度为g)向左做匀加速直线运动时，求1、2两绳拉力大小分别为多大。 答案　mg　0 解析　设当绳2刚好拉直且无张力时，车的加速度向左且大小为a0，由牛顿第二定律得F1cos 45°=mg，F1sin 45°=ma0，可得a0=g。 因a=g<a0，故细绳2松弛，拉力为0，设此时细绳1与车厢前壁夹角为θ，有F1'cos θ=mg，F1'sin θ=ma，得F1'=mg。 专题强化练　 [分值：56分] 动力学中的连接体问题 [1~4、6、7题，每题4分] 1.如图所示，并排放在光滑水平面上的两物体的质量分别为m1和m2，且m1=2m2。当用水平推力F向右推m1时，两物体间的相互作用力的大小为N，则(　　) A.N=F B.N=F C.N=F D.N=F 答案　C 解析　当用F向右推m1时，对m1和m2整体，由牛顿第二定律可得F=(m1+m2)a；对m2有N=m2a=F；因m1=2m2，得N=。故选项C正确。 2.(2023·福建福州四中高一期末)如图所示，弹簧测力计外壳质量为m0，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩吊着一质量为m的重物。现用一竖直向上的外力F拉着弹簧测力计，使其向上做匀加速直线运动，则弹簧测力计的读数为(重力加速度为g)(　　) A.mg B.F C.F D.F 答案　C 解析　对整体受力分析，受重力和拉力F，由牛顿第二定律，得F-(m+m0)g=(m+m0)a，解得a=-g；对重物受力分析，受重力和弹簧测力计拉力，由牛顿第二定律，得T-mg=ma，解得T=，故选C。 3.(多选)(2024·漳州市高一期中)如图，水平向右的恒力F作用在物块B上，使得质量均为1 kg的物块A、B一起向右做匀速直线运动，已知A、B间，B与地面间的动摩擦因数均为0.1，取g=10 m/s2。则(　　) A.作用在B上的恒力F大小为2 N B.B对A没有摩擦力作用 C.A受到水平向右的摩擦力 D.地面对B的摩擦力水平向左，大小为1 N 答案　AB 解析　物块A、B一起向右做匀速直线运动，以A、B为整体，水平方向有F=f=μN，正压力为N=(mA+mB)g，可得F=f=2 N，故作用在B上的恒力F大小为2 N，地面对B的摩擦力水平向左，大小为2 N，故A正确，D错误；物块A、B一起向右做匀速直线运动，可知物块A水平方向受力平衡，A、B间无摩擦力，若A、B间有摩擦力，物块A将做匀变速直线运动，故B正确，C错误。 4.(多选)(2024·南平市高一期末)如图，质量为M的人用一个轻质光滑定滑轮将质量为m的物体从高处降下，物体匀加速下降的加速度为a，a<g，g为重力加速度。不计滑轮的摩擦，下列说法正确的是(　　) A.物体处于失重状态 B.物体处于超重状态 C.人对地面的压力为(M-m)g+ma D.人对地面的压力为(M+m)g-ma 答案　AC 解析　物体向下做匀加速运动，处于失重状态，选项A正确，B错误；对物体由牛顿第二定律mg-T=ma，对人T+N=Mg，解得N=g+ma，根据牛顿第三定律可知，人对地面的压力为N'=g+ma，选项C正确，D错误。 5.(4分)(2024·福州市高一期末)如图所示，一固定斜面上表面光滑，倾角为30°，斜面顶端固定一个光滑定滑轮。跨过定滑轮的轻质细线，一端竖直悬挂小球A，另一端连接物块B，细线的倾斜部分与斜面平行。用手按住物块B，整个系统处于静止状态。小球A的质量为m，物块B的质量为4m，重力加速度为g。现突然松开按住物块B的手，松手的瞬间，小球A的加速度大小为　　　；细线上的拉力大小为　　　(结果用题中所给的字母表达)。  答案　g　mg 解析　根据题意，可知小球A和物块B的加速度大小相等。松手的瞬间，设加速度大小为a，细线上的拉力大小为T；以A为对象，根据牛顿第二定律可得T-mg=ma 以B为对象，根据牛顿第二定律可得 4mgsin 30°-T=4ma 联立解得a=g，T=mg。 6.(多选)(2024·宁德市高一期末)如图所示，光滑水平面上有两物块A、B用一轻弹簧相连，mA=1 kg，mB=2 kg。用大小F=15 N的恒力作用在A上，使A、B保持相对静止一起向左做匀加速直线运动。已知弹簧的原长x0=10 cm，劲度系数k=500 N/m，则(　　) A.A、B一起加速时，加速度大小为5 m/s2 B.A、B一起加速时，A、B间的距离为13 cm C.撤去F瞬间，A的加速度大小为0 D.撤去F瞬间，B的加速度大小为5 m/s2 答案　AD 解析　A、B一起加速时，以A、B为整体，根据牛顿第二定律可得F=(mA+mB)a，解得加速度大小为a=5 m/s2，以B为对象，根据牛顿第二定律可得kx=mBa，解得弹簧的伸长量为x=0.02 m=2 cm，则A、B间的距离为xAB=x0+x=12 cm，故A正确，B错误；撤去F瞬间，弹簧的弹力保持不变，则A、B的加速度大小分别为aA==10 m/s2，aB==5 m/s2，故C错误，D正确。 7.(2024·泉州市高一期末)如图，绕过光滑定滑轮的绳子将物体A和B相连，绳子与桌面平行，物体A恰好不滑动。已知物体A的质量mA大于物体B的质量mB，A和B与桌面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，不计滑轮和绳子质量。现将A和B互换位置，绳子仍保持与桌面平行，则(　　) A.绳子的拉力大小为mBg B.绳子的拉力大小为mAg C.物体与桌面间的动摩擦因数为 D.物体A和B的加速度大小为g 答案　A 解析　如图所示物体A恰好不滑动，则fm=μmAg=mBg，解得μ=，故C错误；A和B互换位置后，设绳子的拉力大小为F，物体A和B的加速度大小为a，由牛顿第二定律得F-μmBg=mBa，mAg-F=mAa，解得a=g，F=mBg，故A正确，B、D错误。 动力学中的临界问题 [8~14题，每题4分] 8.(2022·江苏卷)高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10 m/s2。若书不滑动，则高铁的最大加速度不超过(　　) A.2.0 m/s2 B.4.0 m/s2 C.6.0 m/s2 D.8.0 m/s2 答案　B 解析　书放在水平桌面上，若书恰好相对桌面不滑动，则最大静摩擦力提供加速度即fm=μmg=mam，解得am=μg=4 m/s2，则高铁的最大加速度为4 m/s2，B正确，A、C、D错误。 9.(多选)一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连，小球某时刻正处于如图所示状态，设斜面对小球的支持力为N，细绳对小球的拉力为T，若某时刻T为零，则此时小车可能的运动情况是(　　) A.小车向右做加速运动 B.小车向右做减速运动 C.小车向左做加速运动 D.小车向左做减速运动 答案　BC 解析　小球和小车具有相同的加速度，所以小球的加速度只能沿水平方向，根据牛顿第二定律知，小球受到的合力方向水平；因该时刻拉力为零，小球受到重力和斜面对其向左偏上的支持力作用，二力的合力只能水平向左，所以小车应向左做加速运动或向右做减速运动，选项B、C正确。 10.(多选)(2024·龙岩市高一月考)如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1=4 kg、m2=1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1=0.5，A与水平地面之间的动摩擦因数为μ2=0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10 m/s2，在水平力F的推动下，A、B一起运动且B不下滑，则下列说法正确的是(　　) A.A、B不可能一起做匀速直线运动 B.B受到摩擦力一定为最大静摩擦力 C.力F的大小可能为120 N D.力F的大小可能为150 N 答案　AD 解析　由于B不下滑，对物块B进行受力分析知，水平方向受到向外的弹力，水平方向所受合外力不为零，所以物块B不可能做匀速直线运动，那么A、B不会一起做匀速直线运动，故A正确；若A、B整体加速度比较大，则A、B间作用力N=m2a比较大，则μ1N≥m2g，B受到摩擦力可能为静摩擦力，没有达到最大值，故B错误；根据题意对物块B进行分析得μ1N≥m2g，解得N≥20 N，由牛顿第二定律得N=m2a，解得a≥20 m/s2，对A、B整体有F-μ2g=a，代入数据解得F≥125 N，故C错误，D正确。 11.如图所示，质量为M的木板上表面水平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m的物块，物块与木板间及木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g。若要以水平外力F将木板抽出，则力F应大于某一临界值，该临界值为(　　) A.μmg B.μ(M+m)g C.μ(m+2M)g D.2μ(M+m)g 答案　D 解析　将木板抽出的过程中，物块与木板间的摩擦力为滑动摩擦力，对物块有μmg=mam，物块向右的加速度am=μg，要想抽出木板，必须使木板的加速度大于物块的加速度，即aM>μg，对木板根据牛顿第二定律得F-μ(M+m)g-μmg=MaM，解得F=μ(M+m)g+μmg+MaM>μ(M+m)g+μmg+μMg=2μ(M+m)g，选项D正确。 12.如图所示，质量分别为m、M的两物块A、B叠放在光滑的水平面上，m∶M=2∶1，A、B间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，用水平力分别作用在A、B上，如图甲、乙所示，恰能使A、B不发生相对滑动时，作用力大小分别为F1、F2。则F1∶F2等于(　　) A.1∶3 B.3∶1 C.1∶2 D.2∶1 答案　C 解析　对题图甲，A、B恰好不发生相对滑动时，有F1=(M+m)a1，μmg=ma1，对题图乙，A、B恰好不发生相对滑动时，有F2=(M+m)a2，μmg=Ma2，联立可得=，故选C。 13.(多选)(2023·福州市高一期末)用两根细线系住一小球悬挂于小车顶部，小车沿水平面做直线运动，球相对车静止。细线与水平方向的夹角分别为α和β(α>β)，设左边细线对小球的拉力大小为T1，右边细线对小球的拉力大小为T2，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.若T1=0，则小车可能在向右加速运动 B.若T2=0，则小车可能在向左减速运动 C.若T1=0，则小车加速度大小为 D.若T2=0，则小车加速度大小为 答案　AC 解析　若T1=0，小车具有向右的加速度，根据牛顿第二定律可得a==，则小车可能在向右加速运动，也可能在向左减速运动，故A、C正确；若T2=0，小车具有向左的加速度，根据牛顿第二定律可得a==，则小车可能在向左加速运动，也可能在向右减速运动，故B、D错误。 14.(2024·三明一中高一月考)水平路面上有一货车运载着5个相同的、质量均为m的光滑均质圆柱形工件，其中4个恰好占据车厢底部，另有一个工件D置于工件A、B之间(如图所示)，重力加速度为g。汽车以某一加速度向左运动时，工件A与D之间恰好没有作用力，此时工件C与B间的作用力大小为(　　) A.mg B.mg C.mg D.2mg 答案　C 解析　对D受力分析，当工件A与D之间恰好没有作用力时，D只受到重力、B对D的弹力作用，弹力方向垂直接触面(沿B、D的轴心连线方向)，弹力和重力的合力产生加速度，如图所示，根据牛顿第二定律得 F合=ma==mg，则当a=g时A与D之间恰好没有作用力。再把A、B、D作为整体受力分析，当汽车向左加速运动时，A相对于车有向右运动的趋势，所以车厢与A之间的弹力是0，C对B有水平向左的弹力，竖直方向上的支持力和重力平衡，对水平方向，则有C对A、B、D整体的作用力大小为F=3ma=mg，A、B、D错误，C正确。 学科网（北京）股份有限公司 $