第4章 专题强化5 动态平衡问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一物理必修第一册学习笔记（鲁科版）

本讲义聚焦高中物理动态平衡问题这一核心知识点，系统梳理图解法（矢量平行四边形或三角形分析力的变化）、解析法（列平衡方程结合数学函数分析）、相似三角形法（力的矢量三角形与几何三角形相似求解）的解题脉络，搭建从直观作图到数学解析再到几何关联的学习支架。 该资料以科学思维中的模型建构和科学推理为特色，通过步骤化方法指导（如图解法明确三步骤、解析法强调四环节）和典型例题（如例1木板转动用图解法直观展示力的变化，例5用相似三角形法关联几何与力学），帮助学生建立动态平衡问题的分析模型。课中辅助教师清晰授课，课后通过多样化练习题巩固方法，助力学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

专题强化5　动态平衡问题 [学习目标]　1.通过建构矢量平行四边形或矢量三角形的方法，学会用图解法分析动态平衡问题(重点)。2.会用解析法、相似三角形法解决动态平衡问题(重难点)。 一、用图解法解决动态平衡问题 如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使带有轻质光滑挂钩的物体C缓慢下降。当物体C缓慢下降过程中，请通过作图的方式来直观地展示出挂钩两侧绳拉力大小随夹角的变化规律。 答案　如图所示，作出矢量平行四边形，两拉力F1、F2的合力为F，由平衡条件可知F=G，物体C下降的过程中，θ不断减小，则F1、F2不断变小。 例1　(来自教材)如图所示，一球置于木板与竖直墙面之间。设墙面对球的支持力大小为N1，木板对球的支持力大小为N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢转到水平位置。不计摩擦，在此过程中(　　) A.N1始终减小，N2始终增大 B.N1始终减小，N2始终减小 C.N1先增大后减小，N2始终减小 D.N1先增大后减小，N2先减小后增大 答案　B 解析　球受重力G、墙面对球的支持力N1、木板对球的支持力N2而处于平衡状态。由平衡条件知N1、N2的合力与G等大反向，画出多个平行四边形，如图，可知在θ增大的过程中，N1始终减小，N2始终减小，选项B正确。 例2　(多选)用轻绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上。悬点A固定不动，将悬点B从如图所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力大小的变化情况是(　　) A.绳OA上的拉力逐渐减小 B.绳OA上的拉力先减小后增大 C.绳OB上的拉力逐渐增大 D.绳OB上的拉力先减小后增大 答案　AD 解析　将绳AO、绳BO的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变绳OB拉力的方向，使FB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知FA逐渐减小，且方向不变，而FB先减小后增大，且方向不断改变，当FB与FA垂直时，FB最小，故A、D正确。 用图解法处理三个共点力的动态平衡问题时，通常其中一个为恒力(如重力)，另一个力方向不变，第三个力大小、方向都变化，通过作图分析各力的大小变化情况。 具体步骤为： (1)先画出大小、方向都不变的恒力； (2)再画出方向不变、大小可变的力，并把表示此力的线段适当画长一些； (3)明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2~3条矢量线段表示变化趋势。 注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。 二、用解析法解决动态平衡问题 如图所示，在目标一中用图解法展示出了两绳拉力大小随夹角的变化规律，当两绳间夹角为θ时，求两绳的拉力大小，并说明C下降时两绳拉力大小的变化情况。 答案　设物体C重力为G，两绳中拉力大小分别为F1、F2。物体C缓慢下降过程中，两绳夹角θ将变小，由平衡条件和几何关系可得2F1cos=G 解得F1=F2=，G保持不变，两绳夹角θ变小，则cos 变大，故绳上的拉力将变小。 1.动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小或方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型。 2.解析法(数学方法)步骤： (1)对物体受力分析。 (2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。 (3)根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。 例3　(2024·泉州市高一检测)如图，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球(大小不可忽略，轻绳延长线过球心)、一端连在水平台上的玩具小车上，小车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处匀速上升。则在球上升且未离开墙面的过程中(　　) A.墙面对球的支持力不变 B.绳对球的拉力不变 C.绳对球的拉力变大 D.球所受到的合力逐渐增大 答案　C 解析　对球受力分析，设球受到的重力为G，则绳对球的拉力大小为T、墙面对球的支持力大小为N，拉力T与竖直方向夹角为θ，球受三力作用处于平衡状态，球所受到的合力为零，则有T=，N=Gtan θ，球从较低处匀速上升，θ逐渐增大，墙面对球的支持力N、绳对球的拉力T均增大，故A、B、D错误，C正确。 例4　(多选)如图所示，质量分别为M、m的甲、乙两个物体系在一根通过轻质光滑定滑轮的轻绳两端，甲放在水平地面上，乙被悬在空中，若将甲沿水平地面向左缓慢移动少许后，甲仍静止，则(　　) A.绳中张力变小 B.甲对地面的压力变大 C.绳子对滑轮的力变大 D.甲所受的静摩擦力变大 答案　BD 解析　以物体乙为研究对象，得到绳子张力F=mg。以物体甲为研究对象，受力分析如图所示。由平衡条件得地面对甲的支持力N=Mg-Fcos α，静摩擦力f=Fsin α，甲沿水平地面向左缓慢移动少许后α增大，由数学知识得到N变大，f变大，根据牛顿第三定律知甲对地面的压力也变大。由力的平行四边形定则知，绳子对滑轮的力变小，故选B、D。 三、用相似三角形法解决动态平衡问题 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力是变力，大小、方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 例5　(多选)(2024·漳州市高一检测)如图所示，竖直杆OB顶端有光滑轻质滑轮，轻质杆OA自重不计，可绕O点自由转动，绳子固定在A点，OA=OB，当绳缓慢放下，使∠AOB由0°逐渐增大到90°的过程中(不包括0°)，下列说法正确的是(　　) A.OA杆上的压力先逐渐减小后逐渐增大 B.OA杆上的压力大小始终等于G C.AB绳上的拉力先逐渐增大后逐渐减小 D.AB绳上的拉力越来越大 答案　BD 解析　对A点受力分析，如图所示。 根据力的矢量三角形与几何三角形相似可知 == 且OA=OB，可得N=G 当绳缓慢放下，使∠AOB由0°逐渐增大到90°的过程中，OA杆上的压力大小始终等于G，故A错误，B正确； 当绳缓慢放下，使∠AOB由0°逐渐增大到90°的过程中，AB长度逐渐增大，AB绳上的拉力越来越大，故C错误，D正确。 利用相似三角形解决动态平衡问题 1.在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形； 2.构建与力的矢量三角形对应的几何三角形； 3.确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式； 4.结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。 专题强化练　 [分值：70分] [1~4题，每题4分] 1.(多选)(2024·莆田市高一阶段练习)如图所示，电线AB下系有一盏电灯，用绳子BC将其拉离墙壁。在保证电线AB与竖直墙壁间的夹角θ不变的情况下，使绳子BC由水平方向逐渐向上转动，转动过程中电线AB和BC绳始终在同一平面内，则电线AB和BC绳中的拉力的变化情况是(　　) A.电线AB的拉力逐渐减小 B.BC绳的拉力逐渐增大 C.电线AB的拉力先增大后减小 D.BC绳的拉力先减小后增大 答案　AD 解析　对电灯受力分析，由平行四边形定则可得，当保证电线AB与竖直墙壁间的夹角θ不变的情况下，使绳子BC由水平方向逐渐向上转动，则电线AB的拉力逐渐减小，BC绳中的拉力先减小后增大。故选A、D。 2.(2024·泉州南安市柳城中学高一月考)一只小鸟沿着较粗的均匀树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从A运动到B的过程中，下列说法正确的是(　　) A.树枝对小鸟的合力先增大后减小 B.树枝对小鸟的摩擦力先增大后减小 C.树枝对小鸟的摩擦力保持不变 D.树枝对小鸟的弹力先增大后减小 答案　D 解析　树枝对小鸟的合力是支持力和摩擦力的合力，由二力平衡得，合力与小鸟所受的重力等大反向，因小鸟所受重力不变，所以树枝对小鸟的合力不变，故A错误； 对小鸟进行受力分析如图所示 设摩擦力与竖直方向的夹角为θ，则树枝对小鸟的摩擦力 f=mgcos θ 小鸟从右向左缓慢爬行，θ先增大后减小，则摩擦力先减小后增大，树枝对小鸟的弹力N=mgsin θ 树枝对小鸟的弹力先增大后减小，故B、C错误，D正确。 3.(2024·福州市第四十中学高一月考)如图所示，A球被光滑的挡板B挡住而静止在光滑的斜面上，当挡板由如图位置逐渐变为水平的过程中，斜面对球的支持力N1和挡板对球的支持力N2的变化情况是(　　) A.N1先变小再变大，N2一直变大 B.N1先变小再变大，N2一直变小 C.N1一直变小，N2先变小再变大 D.N1一直变大，N2先变小再变大 答案　C 解析　以球为研究对象，分析受力情况如图 挡板从图示位置缓慢转到水平位置的过程中，球的合力保持为零，则挡板和斜面对球的支持力的合力与球的重力mg大小相等、方向相反，作出挡板在三个不同位置时的受力图，由图可知，斜面对球的支持力N1一直变小，挡板对球的支持力N2先变小再变大。故选C。 4.(2023·福州市高一期末)元代王祯所著《农书》写道：“戽斗，提水器也，……”戽斗是一种小型的人力提水灌田农具，形状像斗，两边绳，靠两人拉绳牵斗取水，如图所示，忽略绳子质量，戽斗处于平衡状态时，下列说法正确的是(　　) A.两人站得越远，人对每边绳子的拉力越大 B.两人站得越远，人对每边绳子的拉力越小 C.两人站得越远，两边绳子对戽斗的合力越小 D.两人站得越远，两边绳子对戽斗的合力越大 答案　A 解析　对戽斗受力分析，可知两条绳子与竖直方向夹角θ相同，提供大小相等的拉力，合力与戽斗的重力平衡，所以两人站的远近不影响绳子对戽斗的合力，C、D错误；由平衡条件可得2Fcos θ=mg，当两人站得越远，两绳夹角越大，两条绳子与竖直方向夹角θ越大，则绳中拉力F越大，A正确，B错误。 5.(8分)(来自教科教材)如图所示，把球夹在竖直墙A和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为N1，球对板的压力为N2。试分别用作图和解析的方法分析在将板BC逐渐放至水平的过程中N1和N2的变化情况。 答案　见解析 解析　解析法：如图甲所示，将球的重力mg分解为对墙的压力N1和对板的压力N2， 设木板与墙的夹角为θ， 易得N1=，逐渐放平过程中θ增大， 则tan θ增大，而减小，即N1减小； N2=，θ增大时，sin θ增大， 则减小，即N2减小。 图解法：作出一组N1、N2变化动态矢量图如图乙所示，易知，N1、N2均减小。 [6~9题，每题6分] 6.如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N。在运动过程中(　　) A.F增大，N增大 B.F减小，N减小 C.F增大，N减小 D.F减小，N增大 答案　C 解析　对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示。根据共点力平衡条件有：N=Gcos θ，F=Gsin θ，其中θ为支持力N与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，θ变大，故FN减小，F增大，故选C。 7.(多选)(2024·厦门双十中学高一期末)如图甲所示为烤肠机，香肠放置在两根水平的平行金属杆中间，其截面图如图乙所示。假设香肠可视为质量为m的均匀圆柱体，烤制过程中香肠质量不变，半径变大。忽略摩擦及金属杆的热胀冷缩，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.香肠烤熟前金属杆1对烤肠的支持力大小为mg B.香肠烤熟后金属杆1对其支持力与竖直方向的夹角比烤熟前变大 C.香肠烤熟后金属杆1对其支持力比烤熟前变小 D.香肠烤熟后与烤熟前相比，两根金属杆对其合力不变 答案　CD 解析　对香肠进行受力分析如图所示，根据对称性有N1=N2 根据平衡条件有mg=2N1cos θ=2N2cos θ N1=N2= 令金属杆之间的距离为d，则sin θ= 可知，半径R变大，则θ减小，由分析可知，N1、N2均减小，选项A、B错误，C正确；香肠处于平衡状态，合力为零，则两根金属杆对其合力不变，始终与重力等大反向，D正确。 8.(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个表面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。则把A向右缓慢移动少许过程中，下列判断正确的是(　　) A.柱状物体A对球B的支持力增大 B.柱状物体A对球B的支持力减小 C.墙面对球B的弹力增大 D.墙面对球B的弹力减小 答案　BD 解析　以B为研究对象，设A对B的支持力与竖直方向的夹角为α，B球受到重力mBg、墙的弹力F和A的支持力NB，如图，根据平衡条件得F=mBgtan α，NB=，若把A向右移动少许后，α减小，tan α减小，cos α增大，则F减小，NB减小。故选B、D。 9.(多选)(2024·泉州市高一期中)如图所示，左右两根竖直杆之间有一段光滑的轻绳，轻绳两端分别固定在杆的A点和B点，轻绳上有一个光滑挂钩，挂钩下面挂了一物块。保持左侧杆和A点的位置不变，下列说法正确的是(　　) A.右侧杆不动，B点移到B2位置时，绳子张力变小 B.右侧杆不动，B点移到B1位置时，绳子张力不变 C.B点不动，将右侧杆移到虚线位置C时，绳子张力不变 D.B点不动，将右侧杆移到虚线位置D时，绳子张力变大 答案　BD 解析　根据对称性可知，挂钩两侧绳子与竖直方向的夹角相等，设为θ， 根据受力平衡可得2Tcos θ=mg 设轻绳两端点间的水平距离为x，绳子长度为L，由几何关系可得sin θ= 右侧杆不动，B点移到B2位置时，由于x和L均不变，则θ不变，绳子张力不变，故A错误；右侧杆不动，B点移到B1位置时，由于x和L均不变，则θ不变，绳子张力不变，故B正确；B点不动，将右侧杆移到虚线位置C时，由于x变小，L不变，则θ变小，cos θ变大，绳子张力变小，故C错误；B点不动，将右侧杆移到虚线位置D时，由于x变大，L不变，则θ变大，cos θ变小，绳子张力变大，故D正确。 10.(12分)(来自粤教教材)粗细均匀的电线架在A、B两根电线杆之间。由于热胀冷缩，电线由夏季到冬季缓慢变短，呈现如图所示的两种形状。若电线杆始终处于竖直状态，试分析夏、冬两季哪个季节电线对电线杆的拉力较大。 答案　见解析 解析　以整条电线为研究对象，受力分析如图所示，由共点力的平衡条件知，两电线杆对电线的拉力的合力与电线的重力大小相等，由几何关系得2Fcos θ=G，即F=， 相对于冬季，夏季时两杆正中部位电线下坠的距离h较大，则与杆相连部分电线的切线方向与竖直方向的夹角θ较小，F较小，可知冬季电线对电线杆的拉力较大。 [10分] 11.(多选)(2024·厦门第六中学高一期中)如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器底部中心O'处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球A相连，小球静止于P点，OP与水平方向间的夹角为θ=30°(sin 30°=0.5)。若将小球A替换为质量为2m的小球B，小球B将静止于M点(图中未画出)，重力加速度为g，则(　　) A.弹簧对小球A的作用力大于对小球B的作用力 B.弹簧的原长为R+ C.O'M的长度为 D.不论所放小球质量多大，小球静止时容器对其作用力总与其重力等大 答案　BD 解析　小球受到三个共点力而平衡，这三个力可以构成一个矢量三角形，当弹簧另一端与质量为m的小球A相连时可得== 当弹簧另一端与质量2m的小球B相连时可得== 设弹簧原长为L0，则T1=k T2=k 联立可得T1=mg L0=R+ N2=2mg，L2= 可知弹簧对小球A的作用力小于对小球B的作用力，不论所放小球质量多大，小球静止时容器对其作用力总与其重力等大，A、C错误，B、D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $