第三章 专题强化9 动态平衡问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一物理必修第一册学习笔记（教科版）

本高中物理讲义聚焦动态平衡问题，系统梳理图解法（构建矢量平行四边形或三角形）、解析法（列平衡方程用函数关系）、相似三角形法（力与几何三角形相似比例）三种方法，形成从直观到数学再到几何的递进学习支架。 资料通过足球挂墙面、轻绳悬挂重物等典型例题分步解析，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。课中辅助教师引导学生掌握方法，课后强化练帮助学生巩固不同情境问题，有效查漏补缺。

专题强化9　动态平衡问题 [学习目标]　1.掌握构建矢量平行四边形或三角形的方法，并能用图解法分析动态平衡问题(重点)。2.会用解析法、相似三角形法解决动态平衡问题(重难点)。 一、用图解法解决动态平衡问题 动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小或方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型。 如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使带有轻质光滑挂钩的物体C缓慢下降。当物体C缓慢下降过程中，两绳之间的夹角如何变化？请通过作图的方式来直观地展示出两绳拉力大小随夹角的变化规律。 答案　如图所示，作出矢量平行四边形，两拉力F1、F2的合力为F，由平衡条件可知F＝G，物体C下降的过程中，θ不断减小，则F1、F2不断变小。 例1　如图所示，用网兜把足球挂在竖直墙面上，悬绳对网兜的拉力为T，墙壁对足球的支持力为N，若不计墙面摩擦，缓慢增加悬绳的长度，下列选项正确的是(　　) A.T和N都增大 B.T和N都减小 C.T减小，N增大 D.T增大，N减小 答案　B 解析　对足球受力分析，如图甲，足球受重力G、悬线的拉力T和墙的支持力N；画出力的矢量三角形，如图乙，缓慢增加悬绳长度过程中，重力不变，支持力的方向不变，悬线与墙壁间的夹角减小，由图乙可知，T与N均变小，故选B。 例2　(多选)(2024·广安市高一期末)如图所示，轻质细绳AO与BO的一端系在半圆形支架上，另一端系于结点O，结点O下端用细绳悬挂一重物Q。初始时细绳AO与水平方向夹角为60°，细绳BO处于水平方向，结点O位于半圆的圆心处。现将细绳B端沿支架顺时针方向缓慢转动60°，细绳AO的位置保持不变，在此过程中下列说法正确的是(　　) A.细绳AO的拉力一直在变小 B.细绳AO的拉力先变小后变大 C.细绳BO的拉力一直在变大 D.细绳BO的拉力先变小后变大 答案　AD 解析　对结点O受力分析，如图所示，由矢量三角形可知，细绳AO的拉力一直在变小，细绳BO的拉力先变小后变大。故选A、D。 物体受三个力而处于动态平衡时，首先对物体进行受力分析，并依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。 (1)先画出大小、方向都不变的恒力； (2)再画出方向不变、大小可变的力，并把表示此力的线段适当画长一些； (3)明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2~3条矢量线段表示变化趋势。 注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。 二、用解析法解决动态平衡问题 例1中，如果不用图解法，能否通过平行四边形定则利用函数关系式，求出T、N如何变化？ 答案　由cos θ＝，得T＝，由tan θ＝得N＝mgtan θ所以，当增大悬绳的长度时θ变小，故T减小，N减小。 例3　(多选)如图所示，质量分别为M、m的甲、乙两个物体系在一根通过轻质光滑定滑轮的轻绳两端，甲放在水平地面上，乙被悬在空中，若将甲沿水平地面向左缓慢移动少许后，甲仍静止，则(　　) A.绳中张力变小 B.地面对甲的支持力变大 C.绳子对滑轮的力变大 D.甲所受的静摩擦力变大 答案　BD 解析　以物体乙为研究对象，得到绳子张力F＝mg。以物体甲为研究对象，受力分析如图所示。由平衡条件得地面对甲的支持力N＝Mg－Fcos α，静摩擦力f＝Fsin α，甲沿水平地面向左缓慢移动少许后α增大，由数学知识得N变大，f变大。由力的平行四边形定则知，绳子对滑轮的力变小，故选B、D。 解析法(数学方法)步骤： (1)对物体受力分析。 (2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。 (3)根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。 三、用相似三角形法解决动态平衡问题 在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力是变力，大小、方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。 例4　(2024·达州市高一开学考试)如图所示，半圆柱放于粗糙水平地面，圆心O的正上方固定一个光滑小定滑轮，轻质细线一端拴一光滑小球(可视为质点)，置于半圆柱面上的A点，另一端绕过定滑轮并用拉力T拉住，现缓慢地将小球从A点拉到B点，在此过程中，半圆柱对小球的支持力N以及细线对小球的拉力T的大小变化情况，以下说法正确的是(　　) A.细线对小球拉力T变大 B.半圆柱对小球支持力N变大 C.细线对小球拉力T变小 D.半圆柱对小球支持力N变小 答案　C 解析　对小球受力分析，如图所示，由相似三角形可得 ，F＝G 得N＝G，T＝G 缓慢地将小球从A点拉到B点过程中，OC、AO不变，CA变小，所以T变小，N不变。故选C。 利用相似三角形解决动态平衡问题： (1)在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形； (2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形； (3)确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式； (4)结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。 专题强化练 [分值：50分] 　[1~5题，每题4分] 1. (2024·雅安市高一期中)如图，用两根等长轻绳悬挂等高简易秋千。某次维修时将两绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变。木板静止时，F1表示木板所受绳子合力的大小，F2表示单根轻绳与木板拉力的大小，则维修后(　　) A.F1变小，F2变小 B.F1变大，F2变大 C.F1不变，F2变大 D.F1不变，F2变小 答案　C 解析　木板静止时两轻绳的拉力的合力大小等于木板的重力，有F1＝G，故F1大小不变；根据共点力的平衡条件可知2F2cos θ＝G，将两轻绳各剪去一小段，轻绳与竖直方向夹角θ变大，故cos θ减小，F2变大。故选C。 2. 如图所示，一光滑小球静止放置在固定的光滑半球面底端，用竖直放置的光滑挡板水平向右缓慢推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，挡板对小球的推力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是(　　) A.F1增大，F2增大 B.F1减小，F2减小 C.F1增大，F2减小 D.F1减小，F2增大 答案　A 解析　对小球受力分析，如图所示，根据平衡条件得，F1＝mgtan θ，F2＝，由于θ不断增大，故F1增大，F2增大，A正确。 3. (2024·巴中市高一月考)如图所示，用OA、OB两根轻绳将电灯悬挂于两墙壁之间，开始时OA水平。现保持O点位置和OB绳长不变，改变OA绳长，使绳末端A缓慢上移至A'点，此时A'O与BO之间夹角θ<90°，下列说法正确的是(　　) A.绳OA的拉力逐渐增大 B.绳OA的拉力逐渐减小 C.绳OB的拉力逐渐增大 D.绳OB的拉力逐渐减小 答案　D 解析　以结点O为研究对象，分析受力：重力G、绳OA的拉力FOA和绳OB的拉力FOB，如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出力的合成图如图，由图看出，FOA先减小后增大，FOB逐渐减小，当θ＝90°时，FOA最小。故选D。 4. (2024·资阳市高一期末)如图所示，某健身爱好者手拉着轻绳，在粗糙的水平地面上缓慢地移动，保持绳OB一直处于水平方向，在O点悬挂重物C，则(　　) A.若健身者缓慢向右移动，绳OA的拉力变小 B.若健身者缓慢向右移动，绳OB的拉力变大 C.若健身者缓慢向右移动，绳OA、OB拉力的合力变大 D.若健身者缓慢向右移动，健身者与地面间的摩擦力变小 答案　B 解析　对结点O进行分析，根据平衡条件可得FOAcos θ＝mg，FOAsin θ＝FOB，可得FOA＝，FOB＝mgtan θ，当健身者缓慢向右移动时，θ变大，则FOA、FOB均变大，绳OA、OB拉力的合力一定等于重物C的重力mg，保持不变，故A、C错误，B正确；对健身者进行分析，根据平衡条件可得，健身者与地面间的摩擦力和FOB大小相等，方向相反，即健身者与地面间的摩擦力变大，故D错误。 5. (2023·阿坝州高一期末)如图所示，轻杆的A端用铰链固定，定滑轮在A点正上方(滑轮与铰链大小及摩擦均可不计)，杆的B端悬挂一重物。现将跨过定滑轮的轻绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直位置前(　　) A.轻绳拉力F不变 B.轻绳拉力F增大 C.AB杆受力大小不变 D.AB杆受力减小 答案　C 解析　以B点为研究对象，分析受力情况，受悬挂重物的轻绳拉力T(等于重物的重力G)、轻杆的支持力N和绳子的拉力F，如图所示，由平衡条件得，N和F的合力与T大小相等，方向相反，根据三角形相似得，又T'＝G，解得F＝×G，N＝×G，将B端缓慢上拉时，AB、AO保持不变，BO变小，则N保持不变，F变小，故选C。 　[6~8题，每题7分] 6. (多选)(2024·甘孜州高一期中)如图所示，配有调节倾角的简易支架放在水平桌面上，上语文课时，某同学将一本古汉语字典放在支架的斜面上，若字典与支架斜面间的动摩擦因数为μ＝，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，缓慢地调节倾角θ使得字典与支架始终处于静止状态，则下列说法正确的是(　　) A.倾角θ增大，字典受到的摩擦力增大 B.倾角θ增大，字典受到的支持力增大 C.若字典始终处于静止状态，支架倾角的最大值θ＝30° D.若字典始终处于静止状态，支架倾角的最大值θ＝45° 答案　AC 解析　设字典的质量为m，字典受力情况如图所示，字典受到沿支架斜面向上的静摩擦力，静摩擦力等于重力沿支架斜面向下的分力，即f＝mgsin θ，随倾角θ增大，摩擦力增大，故A正确；支持力N＝mgcos θ，随倾角θ增大，支持力减小，故B错误；当字典受到的静摩擦力达到最大时，根据受力平衡可知，mgsin θ＝μmgcos θ，解得tan θ＝，即θ＝30°，故C正确，D错误。 7.(2023·凉山州高一期末)“奇迹石”是有名的旅游景点，这块有5 m3大的石头卡在两个巨大的岩石中间，吸引着世界各地的旅行者，如图甲所示。将该景观简化成如图乙的模型，右壁竖直，左壁稍微倾斜。设左壁与竖直方向的夹角为θ，石头的质量为m，忽略石头与山崖间的摩擦。若左壁对石头的压力大小为F1，右壁对石头的压力大小为F2，则(重力加速度为g)(　　) A.F1＝mgsin θ，F2＝mgtan θ B.F1＝，F2＝ C.若由于左侧崖壁风化使得θ减小，则F1减小 D.若由于左侧崖壁风化使得θ减小，则石头受到的合力增大 答案　B 解析　对石头受力分析，其受到重力mg、左壁的压力F1，右壁的压力F2，受力分析如图所示，可知F1＝，F2＝，A错误，B正确；由于左侧崖壁风化使得θ减小，sin θ和tan θ都减小，则左、右两壁对中间石块压力F1、F2增大，但由于石头受力平衡，所受合力仍然为零，不变，C、D错误。 8.(2023·成都市高一期中)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔并用手拉住，现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力N的大小变化情况是(　　) A.F减小，N不变 B.F减小，N减小 C.F不变，N增大 D.F不变，N减小 答案　A 解析　小球沿圆环缓慢上移可看成小球处于平衡状态，对小球受力分析，小球受重力G、F、N三个力，如图所示，由三角形相似，有，F'＝F，当A点上移时，半径不变，G不变，则N不变，AB长度减小，可知F减小，故A正确，B、C、D错误。 　[9分] 9.(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点，O为圆心，O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，绳OB与绳OA成α＝120°。现保持两绳之间的夹角α始终不变，将两绳同时缓慢顺时针转过60°，物体始终处于静止状态。在旋转过程中，绳OA的拉力F1的大小以及绳OB的拉力F2的大小的变化情况为(　　) A.F1一直增大 B.F1先增大后减小 C.F2一直减小 D.F2先减小后增大 答案　AC 解析　对结点O受力分析，并合成矢量三角形如图所示，根据图示可知，顺时针转动前(实线)到转动后(虚线)过程中，F1一直增大，F2一直减小。故选A、C。 学科网（北京）股份有限公司 $