第二章 专题强化2 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一物理必修第一册学习笔记（教科版）

专题强化2　匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式

[学习目标]　1.进一步理解匀变速直线运动的平均速度公式并会应用。2.理解位移差公式并能解决相关问题(重点)。3.能够利用纸带求加速度，并会按要求保留有效数字(重点)。

一、匀变速直线运动的平均速度公式

1.根据前面已学公式或方法证明：做匀变速直线运动的物体，某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，即。

答案　方法一：公式法

设初始时刻速度为v0，加速度为a，在一段时间t内，根据速度公式，在时刻，速度为＝v0＋a·

根据位移公式，在时间t内发生的位移x＝v0t＋at2，这段时间内的平均速度＝v0＋at，因此得证。

方法二：图像法

初速度为v0，加速度为a的匀变速直线运动的v－t图像如图所示，时间t内的位移x在数值上等于图中梯形OABD的“面积”。设时刻的速度为，若以此速度做匀速运动，时间t内的位移在数值上等于矩形OEFD的“面积”。由几何关系可知，图中△BCF与△ECA全等，可以设想把△BCF割下补到△ECA处，从而梯形OABD变成了矩形OEFD，二者“面积”相等，因此这段时间内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度的结论成立。

2.适合于所有的变速直线运动吗？

答案　不适用。推导中所用v＝v0＋at，x＝v0t＋at2均来自匀变速直线运动中的公式，故只适用于匀变速直线运动。

1.匀变速直线运动的平均速度公式：

(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。

(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即，。

2.三个平均速度公式的比较：

适用于任何运动；

及仅适用于匀变速直线运动。

3.平均速度公式的应用场景：

公式，不含有加速度且对应瞬时速度，与结合可得x＝t，在x、t、v0、v四个量中若已知三个量，可求第四个量。

例1　小张通过无人机来拍摄城镇的风景，携带摄像机的无人机质量m＝2 kg，t＝0时，无人机从地面由静止起飞，沿竖直方向做匀加速直线运动，t1＝6 s时无人机达到最大速度，此时距地面的高度为54 m，然后匀减速直线上升，t2＝15 s时无人机的速度恰好减为0，悬停在空中拍摄取景。求：

(1)无人机上升过程中的最大速度；

(2)无人机悬停时距地面的高度。

答案　(1)18 m/s　(2)135 m

解析　(1)无人机做匀加速直线运动阶段有

h1＝t1，

所以无人机上升过程中的最大速度为

vmax＝18 m/s

(2)无人机做匀减速直线运动阶段有

h2＝(t2－t1)＝×9 m＝81 m，

所以无人机悬停时距地面的高度为

h＝h1＋h2＝54 m＋81 m＝135 m。

二、匀变速直线运动位移差公式

1. 如图所示，一物体做加速度为a的匀变速直线运动，取任意两个连续相等的时间T，它们的位移分别为x1、x2，通过A、B、C时的速度分别为v0、v1、v2，试推导x2－x1＝aT2。

答案　v1＝v0＋aT

x1＝v0T＋aT2

x2＝v1T＋aT2

x2与x1的位移差：

Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2

2.对于加速度为a的匀变速直线运动，若已知连续相等的时间T内通过的位移分别为x1、x2、x3、x4，则x4－x1＝　　　　。 

答案　方法一　如图所示

设初速度为v0，第四段位移的初速度为v3，则

v3＝v0＋3aT

x1＝v0T＋aT2

x4＝v3T＋aT2

x4－x1＝(v3－v0)T＝3aT2。

方法二　由x2－x1＝aT2

x3－x2＝aT2

x4－x3＝aT2

得x4－x1＝3aT2。

1.内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2。

2.推论：对于不连续的相等时间内的位移差，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n。

例2　(多选)(2024·南充市高一期中)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　　)

A.物体的加速度为20 m/s2

B.物体的加速度为25 m/s2

C.CD＝4 m

D.CD＝5 m

答案　BC