第二章 专题强化2 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一物理必修第一册学习笔记（教科版）

**基本信息** 聚焦匀变速直线运动核心公式，通过公式推导-适用条件-实验应用的递进逻辑，构建"概念理解-方法提炼-误差控制"的完整训练体系，强化物理观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平均速度公式|1推导+1辨析+1例题|公式法与图像法双证，"中间时刻速度=平均速度"适用条件界定|从基本公式推导到运动模型简化，突出"无加速度参量"问题的解题优势| |位移差公式|2推导+2例题|Δx=aT²及xm-xn=(m-n)aT²推论，多段位移差关系迁移|通过连续相等时间位移关系，建立加速度与位移测量的定量关联| |逐差法求加速度|1方法对比+1例题|六段/四段位移分组处理，误差均分原理应用|从偶然误差分析到实验数据优化，衔接纸带分析的科学探究要求|

专题强化2　匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式 [学习目标]　1.进一步理解匀变速直线运动的平均速度公式并会应用。2.理解位移差公式并能解决相关问题(重点)。3.能够利用纸带求加速度，并会按要求保留有效数字(重点)。 一、匀变速直线运动的平均速度公式 1.根据前面已学公式或方法证明：做匀变速直线运动的物体，某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，即。 答案　方法一：公式法 设初始时刻速度为v0，加速度为a，在一段时间t内，根据速度公式，在时刻，速度为＝v0＋a· 根据位移公式，在时间t内发生的位移x＝v0t＋at2，这段时间内的平均速度＝v0＋at，因此得证。 方法二：图像法 初速度为v0，加速度为a的匀变速直线运动的v－t图像如图所示，时间t内的位移x在数值上等于图中梯形OABD的“面积”。设时刻的速度为，若以此速度做匀速运动，时间t内的位移在数值上等于矩形OEFD的“面积”。由几何关系可知，图中△BCF与△ECA全等，可以设想把△BCF割下补到△ECA处，从而梯形OABD变成了矩形OEFD，二者“面积”相等，因此这段时间内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度的结论成立。 2.适合于所有的变速直线运动吗？ 答案　不适用。推导中所用v＝v0＋at，x＝v0t＋at2均来自匀变速直线运动中的公式，故只适用于匀变速直线运动。 1.匀变速直线运动的平均速度公式： (1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。 (2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用中间时刻瞬时速度公式及平均速度公式，即，。 2.三个平均速度公式的比较： 适用于任何运动； 及仅适用于匀变速直线运动。 3.平均速度公式的应用场景： 公式，不含有加速度且对应瞬时速度，与结合可得x＝t，在x、t、v0、v四个量中若已知三个量，可求第四个量。 例1　小张通过无人机来拍摄城镇的风景，携带摄像机的无人机质量m＝2 kg，t＝0时，无人机从地面由静止起飞，沿竖直方向做匀加速直线运动，t1＝6 s时无人机达到最大速度，此时距地面的高度为54 m，然后匀减速直线上升，t2＝15 s时无人机的速度恰好减为0，悬停在空中拍摄取景。求： (1)无人机上升过程中的最大速度； (2)无人机悬停时距地面的高度。 答案　(1)18 m/s　(2)135 m 解析　(1)无人机做匀加速直线运动阶段有 h1＝t1， 所以无人机上升过程中的最大速度为 vmax＝18 m/s (2)无人机做匀减速直线运动阶段有 h2＝(t2－t1)＝×9 m＝81 m， 所以无人机悬停时距地面的高度为 h＝h1＋h2＝54 m＋81 m＝135 m。 二、匀变速直线运动位移差公式 1. 如图所示，一物体做加速度为a的匀变速直线运动，取任意两个连续相等的时间T，它们的位移分别为x1、x2，通过A、B、C时的速度分别为v0、v1、v2，试推导x2－x1＝aT2。 答案　v1＝v0＋aT x1＝v0T＋aT2 x2＝v1T＋aT2 x2与x1的位移差： Δx＝x2－x1＝(v1－v0)T＝aT2 2.对于加速度为a的匀变速直线运动，若已知连续相等的时间T内通过的位移分别为x1、x2、x3、x4，则x4－x1＝　　　　。  答案　方法一　如图所示 设初速度为v0，第四段位移的初速度为v3，则 v3＝v0＋3aT x1＝v0T＋aT2 x4＝v3T＋aT2 x4－x1＝(v3－v0)T＝3aT2。 方法二　由x2－x1＝aT2 x3－x2＝aT2 x4－x3＝aT2 得x4－x1＝3aT2。 1.内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2。 2.推论：对于不连续的相等时间内的位移差，xm－xn＝(m－n)aT2，其中m>n。 例2　(多选)(2024·南充市高一期中)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　　) A.物体的加速度为20 m/s2 B.物体的加速度为25 m/s2 C.CD＝4 m D.CD＝5 m 答案　BC 解析　由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2，可得：a＝＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误。 例3　从斜面上某一位置每隔0.1 s由静止释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求： (1)小球的加速度的大小； (2)拍摄时小球在B点时的速度的大小； (3)拍摄时C、D间的距离xCD； (4)A点的上方滚动的小球还有几个。 答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m　(4)2个 解析　(1)由Δx＝aT2可知，小球加速度为 a＝ m/s2＝5 m/s2。 (2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，所以B点的速度等于AC段的平均速度，即 vB＝ m/s＝1.75 m/s。 (3)由于连续相等时间内位移差恒定， 所以xCD－xBC＝xBC－xAB，得xCD＝0.25 m。 (4)设A点处小球的速度为vA， 由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s， 所以A点处小球的运动时间为tA＝＝0.25 s， 所以在A点的上方滚动的小球还有2个。 三、用逐差法求加速度 一物体做匀加速直线运动，已知连续相等时间T内的六段位移如图所示。某同学计算物体加速度时，选取纸带上任意两段位移，利用公式x2－x1＝aT2计算物体的加速度，你认为这种方法有何不妥？ 答案　偶然误差较大，没有充分利用实验数据。 1.纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm－xn＝(m－n)aT2得，a1＝，a2＝，a3＝，a＝。 此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅有两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。 2.技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，时间间隔Δt＝3T，即a＝。 如图所示，类比写出已知连续4个相同时间T内的位移，利用逐差法求加速度的公式。 答案　a＝。 例4　如图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，选取的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图中注明了他对各计数点间距离的测量结果。所接电源是频率为50 Hz的交流电源。 (1)为了验证小车的运动是匀变速直线运动，请进行计算，并将数据填入下表内；(单位：cm) x2－x1 x3－x2 x4－x3 x5－x4 x6－x5 1.58 1.57 　  　  　  由此可以得出结论：小车的运动是　　　　　　　　　。  (2)两个相邻计数点间的时间间隔Δt＝　　　 s。  (3)小车的加速度的表达式a＝　　　　　　　　　(用题中的字母表示)，加速度a＝　　　　 m/s2(结果保留三位有效数字)；  (4)打计数点B时小车的速度vB＝　　　　 m/s；(结果保留三位有效数字)；  (5)实验时，由于电源的频率略小于50 Hz(T＝)，那么a的测量值将　　　　(填“偏大”“偏小”或“不变”)。  答案　(1)1.57　1.58　1.58　匀加速直线运动 (2)0.1　(3) 1.57　(4)0.517　(5)偏大 解析　(1)由纸带计数点的数据可知 x4－x3＝7.52 cm－5.95 cm＝1.57 cm x5－x4＝9.10 cm－7.52 cm＝1.58 cm x6－x5＝10.68 cm－9.10 cm＝1.58 cm 由此可以得出结论：在误差允许范围内，相邻相等时间内的位移差Δx相等，小车的运动是匀加速直线运动。 (2)每隔4个点取一个计数点，电源频率为50 Hz，所以两个相邻计数点间的时间间隔 Δt＝0.02 s×5＝0.1 s (3)小车的加速度的表达式 a＝ 代入题中数据可得a≈1.57 m/s2 (4)由中间时刻的瞬时速度等于平均速度可得，打计数点B时小车的速度 vB＝×10－2 m/s≈0.517 m/s (5)实验时，由于电源的频率略小于50 Hz，由T＝可知，T偏大，即打点周期变大，由以上计算可知，a的测量值将偏大。 专题强化练 [分值：60分] 　[1~6题，每题4分] 考点一　平均速度公式 1. 如图所示是我国航母战斗机在航母上的起飞过程。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所通过的位移为x，则该战机起飞前的运动时间为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由平均速度公式t＝x可知t＝，故A正确，B、C、D错误。 2. 一滑雪运动员不借助滑雪杖，以10 m/s的速度由坡底冲上一足够长的斜坡，当他返回坡底时测得速度大小为8 m/s。已知上坡和下坡两个阶段运动员均沿同一直线做匀变速直线运动，则运动员上坡和下坡所用的时间之比为(　　) A.5∶4 B.4∶5 C.2∶3 D.3∶2 答案　B 解析　设运动员上坡的路程为x，上坡时所用时间为t1，下坡时所用时间为t2，则有x＝(0＋v0)t1＝5t1，x＝(0＋v)t2＝4t2，联立解得t1∶t2＝4∶5，故选B。 3. (2023·成都市高一期末)如图，长100 m的列车匀加速通过长1 000 m的平直隧道，车头刚进隧道时速度是10 m/s，车尾刚出隧道时速度是12 m/s，则列车通过隧道所用的时间是(　　) A.81.8 s B.90.9 s C.100 s D.109.1 s 答案　C 解析　列车通过隧道的位移为 x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m 设所用时间为t， x＝t， m/s＝11 m/s 解得t＝100 s，故C正确。 考点二　位移差公式 4.(2024·绵阳市高一月考)利用打点计时器测定物体做匀变速直线运动的加速度时，在纸带上所打的一系列点，如图所示，各相邻的计数点的距离分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ…，各相邻的计数点的时间间隔为T，则下面各关系式中不正确的是(　　) A.xⅡ－xⅠ＝aT2 B.xⅢ－xⅠ＝2aT2 C.xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ D.xⅢ－xⅡ＝ 答案　D 解析　对于匀变速直线运动，连续相等时间内的位移之差是恒量，即Δx＝aT2，对应于该题有xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝aT2，而xⅢ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＋xⅡ－xⅠ＝2aT2，A、B、C正确，D错误。 5.(2024·宜宾市高一期中)一小球(可视为质点)沿固定斜面匀加速滑下，依次经过 A、B、C 三点，如图所示，已知AB＝18 m，BC＝30 m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s，则小球在经过A、C两点时的速度大小分别是(　　) A.6 m/s　12 m/s B.6 m/s　18 m/s C.3 m/s　5 m/s D.3 m/s　7 m/s 答案　B 解析　小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s，根据位移差公式有Δx＝at2 ，代入数据解得a＝ m/s2＝3 m/s2，小球经过B点的速度vB＝ m/s＝12 m/s，所以经过A点的速度大小vA＝vB－at＝6 m/s，经过C点的速度大小vC＝vB＋at＝18 m/s。故选B。 6.某质点由A经B、C到D做匀加速直线运动，历时6 s。前2 s和后2 s位移分别为AB＝8 m和CD＝12 m，该质点的加速度及经B点的瞬时速度大小分别是(　　) A.1 m/s2，5 m/s B.0.5 m/s2，4.5 m/s C.1 m/s2，10 m/s D.0.5 m/s2，9 m/s 答案　B 解析　由匀变速直线运动规律CD－AB＝2aT2 该质点的加速度a＝ m/s2＝0.5 m/s2 由匀变速直线运动规律Δx＝CD－BC＝BC－AB，则BC＝10 m，经B点的瞬时速度的大小 vB＝ m/s＝4.5 m/s，故选B。 7.(6分)实验中，如图所示为一次记录小车运动情况的纸带(左端与小车相连)，图中A、B、C、D、E为相邻的五个计数点，相邻的两计数点间的时间间隔T＝0.1 s。 (1)(2分)根据纸带可判定小车做　　　　运动。  (2)(4分)根据纸带计算B点瞬时速度vB＝　　　　，小车运动的加速度a＝　　　　。  答案　(1)匀加速直线　(2)1.38 m/s　12.6 m/s2 解析　(1)根据纸带上的数据可知xBC＝20.10 cm，xCD＝32.70 cm，xDE＝45.30 cm，故xBC－xAB＝xCD－xBC＝xDE－xCD＝12.60 cm，在相邻的相等时间间隔内的位移增量都相等，小车做匀加速直线运动。 (2)根据某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度可知，vB＝×10－2 m/s＝1.38 m/s。根据Δx＝aT2可得xDE－xBC＝2aT2，xCD－xAB＝2aT2，代入数据解得a＝×10－2 m/s2＝12.6 m/s2。 　[8、9题，每题6分] 8.(多选)(2024·达州市高一期中)物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第3 s内和第2 s内的位移之差为6 m，则可知(　　) A.第1 s内的位移是3 m B.第2 s末的速度是6 m/s C.物体运动过程中的加速度为2 m/s2 D.物体在前2 s内的平均速度是6 m/s 答案　AD 解析　根据Δx＝aT2，可得物体运动过程中的加速度为a＝ m/s2＝6 m/s2，故C错误；第1 s内的位移为x1＝a＝3 m，故A正确；物体第2 s末的速度为v2＝at2＝12 m/s，物体在前2 s内的平均速度为＝6 m/s，故B错误，D正确。 9.物体做匀减速直线运动，相继经过两段距离为24 m的路程，第一段用时2 s，第二段用时4 s，则物体的加速度是(　　) A.1 m/s2 B.－2 m/s2 C.6 m/s2 D.12 m/s2 答案　B 解析　第一段平均速度为v1＝ m/s＝12 m/s，第二段平均速度为v2＝ m/s＝6 m/s，根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，两个中间时刻的时间间隔为Δt＝1 s＋2 s＝3 s，加速度为a＝ m/s2＝－2 m/s2，故选B。 10.(6分)(2024·广安市高一期中)做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验时，某同学得到一条点迹清晰的纸带，从比较清晰的点起，每五个点取一个计数点(每相邻两个计数点间有四个实验点未画出)，分别标为0、1、2、3、4、5、6…，用刻度尺量得各计数点与计数点0之间的距离如图所示，已知打点计时器使用的电源的频率为50 Hz，则： (1)(2分)打点计时器每隔　　　　 s打一次点。  (2)(2分)打点计时器打计数点1时，小车的速度v1＝　　　　 m/s(结果保留两位有效数字)；  (3)(2分)小车的加速度a＝　　　　 m/s2(结果保留两位有效数字)。  答案　(1)0.02　(2)0.34　(3)0.88 解析　(1)打点计时器的打点时间间隔为 t＝ s＝0.02 s (2)相邻计数点的时间间隔为T＝5t＝0.1 s 打计数点1时，小车的速度为 v1＝ m/s＝0.34 m/s (3)小车加速度为 a＝ ＝×10－2 m/s2＝0.88 m/s2。 11.(12分)某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动，用自制“滴水计时器”计量时间。实验前，将该计时器固定在小车旁，如图甲所示。实验时，保持桌面水平，用手轻推一下小车。在小车运动过程中，滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴，图乙记录了桌面上连续6个水滴的位置。(已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴) (1)(4分)由图乙可知，小车在桌面上是　　　　(填“从右向左”或“从左向右”)运动的。  (2)(8分)该小组同学根据图乙的数据判断出小车做匀变速运动。小车运动到图乙中A点位置时的速度大小为　　　　 m/s，加速度大小为　　　　 m/s2。(结果均保留两位有效数字)  答案　(1)从右向左　(2)0.19　 0.037 解析　(1)小车在阻力的作用下，做减速运动，由题图乙知，从右向左相邻水滴间的距离逐渐减小，即速度减小，所以小车在桌面上是从右向左运动的。 (2)已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴，所以相邻两水滴间的时间间隔为T＝ s＝ s，所以A点位置的速度为vA＝ m/s≈0.19 m/s。根据逐差法可得加速度a＝≈－0.037 m/s2，故加速度的大小为0.037 m/s2。 学科网（北京）股份有限公司 $