第二章 3 匀变速直线运动位移与时间的关系（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一物理必修第一册学习笔记（教科版）

3　匀变速直线运动位移与时间的关系

[学习目标]　1.理解匀变速直线运动位移与时间的关系，会用位移公式x＝v0t＋at2解决匀变速直线运动的相关问题(重点)。2.知道v－t图像中的“面积”与位移的对应关系，并会用此关系推导位移和时间关系式(重难点)。

一、匀变速直线运动位移与时间的关系

1. 物体做匀速直线运动，其v－t图像中图线与t轴围成的矩形面积有什么意义？

答案　做匀速直线运动的物体在时间t内的位移大小对应着v－t图线与t轴围成的矩形面积，即v－t图像中图线与t轴围成的矩形面积表示物体的位移大小。

2.如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v－t图像。

(1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中画出这5小段的位移之和。

(2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？

(3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用图丙中梯形的面积代表物体在这段时间的位移？

(4)梯形面积为多少？试结合vt＝v0＋at推导出位移x与时间t的关系。

答案　(1)位移为图中矩形面积之和，如图所示。

(2)乙图的情形更接近整个过程中的位移。

(3)可以。

(4)S＝t＝t＝v0t＋at2，则x＝v0t＋at2。

1.利用v－t图像求位移(如图)

v－t图像中，对应时间t的速度图像与两个坐标轴所围成的“面积”，在数值上等于在时间t内的位移值。

2.匀变速直线运动的位移与时间的关系式(位移公式)：x＝v0t＋at2。

注意：(1)公式只适用于匀变速直线运动。

(2)公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向。

3.当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比。

例1　(2024·内江市高一期中)(1)以36 km/h的速度行驶的列车开始加速下坡，在下坡路上的加速度等于0.2 m/s2，经过30 s到达坡底，求坡路的长度和列车到达坡底时的速度大小；

(2)若列车从36 km/h的速度开始减速，经过50 s停下来，列车在此过程的运动视为匀减速直线运动，求列车在此过程中运动的距离。

答案　(1)390 m　16 m/s　(2)250 m

解析　(1)设坡路的长度为x，列车到达坡底时的速度大小为v，初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，

加速度a＝0.2 m/s2，时间t＝30 s，

根据x＝v0t＋at2

得x＝10×30 m＋×0.2×302 m＝390 m

根据vt＝v0＋at

得vt＝10 m/s＋0.2×30 m/s＝16 m/s。

(2)设列车减速过程的加速度为a'，在此过程的位移为x'

a'＝ m/s2＝－0.2 m/s2

x'＝v0t'＋a't'2

＝10×50 m＋×(－0.2)×502 m

＝250 m。

例2　一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：

(1)物体在前3 s内的位移大小；

(2)物体在第3 s内的位移大小。

答案　(1)12.75 m　(2)3.75 m

解析　(1)取初速度方向为正方向

v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2

前3 s内物体的位移x3＝v0t3＋a＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m。

(2)同理，前2 s内物体的位移x2＝v0t2＋a＝5×2 m＋×(－0.5)×22 m＝9 m

因此第3 s内物体的位移

x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。

应用位移与时间的关系式解题的步骤：

(1)规定正方向(一般以初速度的方向为正方向)。

(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示。

(3)根据位移与时间的关系式或其变形公式列式、求解。

(4)根据计算结果说明所求量的大小和方向。

 

二、刹车中的位移问题

例3　(2024·乐山市高一期中)以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m(3 s末汽车未停止运动)。求：

(1)汽车的加速度；

(2)汽车制动后5 s内发生的位移大小；

(3)汽车在最后1 s内发生的位移大小。