第25章 换元法解一元二次方程 专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦换元法解复杂方程，通过典例示范与变式训练，构建“整体代换-降次转化”的系统性方法体系，强化转化思想与抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |换元法应用|15题（含2道示例题）|换元法（整体代换），将高次/复杂方程转化为低次方程，体现转化思想|从具体方程到换元思想的生成，建立“整体代换-降次转化-求解验证”逻辑链条，覆盖高次、分式等方程类型|

1. 已知方程 ，如果设，那么原方程化为关于的方程是 ． 设 ，则 ， 则原方程可化为 . 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 2. 用换元法解分式方程 ，如果设 ，那么原方程化为关于的整式方程是（ ）． A. B. C. D. A 由题意可得： ． 故方程两边同乘 得： ． 故选 ． 【知识点】解分式方程的一般步骤 3. 用换元法解方程 时，如果设 ，那么原方程可化成关于的整式方程，这个整式方程是 ． 设 ，则 1 学科网（北京）股份有限公司 所以原方程可变形为： 方程的两边都乘以 ，得 即 故答案为： ． 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 4. 用换元法解分式方程 时．如果设 ，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 由题意，设 ∴原方程化为： ，则 ， ， ∴整理得： ． 【知识点】换元法解分式方程 5. 解下列方程及不等式． （ 1 ）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． ． （ 2 ） ． （ 1 ） （ 2 ） ， ，画图见解析． ． （ 1 ） ① ② ，由①得， ， 由②得， ，故不等式组的解集为： ． 在数轴上表示为： （ 2 ）原方程可化为 ， 令 ，则原方程可化为 ，即 ，解得 或 ， 当 当 时， 时， 综上所述， ， ，解得 ，解得 ． ； ， 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 6. 解方程： ． ， ， ， ． 设 ．代入原方程，并整理得： ． 解得 由 ， ． 解得 ， ． 由 解得 ， ． 经检验，原方程的解是 ， ， ， ． 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 7. 解下列分式方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ． 或 ． （ 1 ）原方程可化为： 则有：则： ， ， ， 解得： ，经检验， 时分式方程的最简公分母不为 ， 故原方程的解为： （ 2 ）原方程可化为：则有： 则： ． ， ， 解得： ，经检验， ， 时分式方程最简公分母不为 ， 故原方程的解为： ． （ 3 ）令 ， ，则原方程可化为： 则有： 即 ， ， ， ∴ 则： 解得： 或 ， 或 ， 经检验， 或 ， 或 时分式方程最简公分母不为 ， 故原方程的解为： 或 ． 【知识点】解可化为一元一次方程的分式方程 8. 解下列方程： （ 1 ） ； （ 2 ） ． （ 1 ） （ 2 ） ． ， ， ， ． （ 1 ）去分母得， 整理得 ∴ ∴ 或 经检验， ∴原方程的解为 是原方程的增根，舍掉， ． 是原方程的解 （ 2 ）设 ，则原方程可变形为 经检验， ， ， ， 都是原方程的解 ∴原方程的解为 ， ， ，． 9. 方程 的所有的解的和为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 或 或 或 或 或 或 或 【知识点】解可化为一元一次方程的分式方程；解可化为一元二次方程的分式方程 令 的方程： ，原方程化为： 或者 ，故 ， ．代回可得关于 ；前一个方程的解为 ， ，后一 个方程无解，故所有的解的和为 ． 【知识点】换元法解分式方程 10. 解方程： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ， ， ， ． ， ， ． （ 1 ）原方程变形为 两边同乘以 ． ，并整理得 ． 解得 ， ． 经检验， 是增根． ∴原方程的解为 ． （ 2 ）设 解得由 ， ．代入原方程，并整理得： ． ． 解得 ， ． 由 解得 ， ． 经检验，原方程的解是 （ 3 ）原方程可变形为 ， ， ， ． ． 设 去分母后化为可解 进行换元可得 ， ， ， ， ． 【知识点】换元法解分式方程 11. 解方程： ； 和 原方程为： 设 解得当 当 ，则 即 或 时，有 时，有 经检验， 和 ，解得 ； ，解得 是原方程的解 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 12. 解方程： （只需求出有理数解） ， ． 令 观察知 ， ，解得 ， 或 ① 时，有 ，去分母得 ，无有理数解； ② 时，有 ，去分母得 ，解得 ， ． 经检验，原方程的有理数解为 ， ． 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 13. 方程 的解为（ ）． A. B. ， C. D. B 令 ，则原方程变为 ，去分母得 ， ∴ ∴ 当 ， ， 时，由 ． 得 ，此方程无实数解． 当 ∴ 时，由 ， 得 ， 经检验， 故选 ． ． ， 都是原方程的解． 【知识点】换元法解分式方程 14. 解方程： ． ． 方法一：令 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ， ， ， 解得， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 方法二：令 ． ，则原方程可化为 ，解得 ． 所以 经检验 ∴原方程的解为 ．即 ，解得 ， ． ， 都是原方程的解， ， ． 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 15. 解方程 （ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， C 令 ，则原方程可化为 ．即 都是原方程的解． ，解得 ． ， ． 所以 经检验 ， ，解得 原方程的解为 ． 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 16. 解方程． （ 1 ）． （ 2 ） ． （ 1 ） （ 2 ） ， ． 或 ． （ 1 ） （ 2 ）原方程可化为 ， 易知 当设 解得 方程成立； 时，有 ，则原方程可化为 . 即 ，解得 ． 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 17. 解方程： ． 或 ． 方法一：设 去分母，得整理，得 ，则原方程可化为 ， ， ， 解得 将 解得 ， 代入 或 ，得 ， ， 经检验， 或 是原方程的根． 方法二：设 ，则原方程可化为： ，解得， ， 故 ， 或 ． 方法三：下面提供一种更好的换元的解法，设 ，则原方程可化为： ， ， ，解得， ， ∴ 故 ， 或 ， ． 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 $ 1. 已知方程 ，如果设，那么原方程化为关于的方程是 ． 2. 用换元法解分式方程 ，如果设 ，那么原方程化为关于的整式方程是（ ）． A. B. C. D. 3. 用换元法解方程 时，如果设 ，那么原方程可化成关于的整式方程，这个整式方程是 ． 4. 用换元法解分式方程 时．如果设 ，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 5. 解下列方程及不等式． （ 1 ）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． ． （ 2 ） ． 6. 解方程： ． 7. 解下列分式方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 8. 解下列方程： （ 1 ） ； （ 2 ） ． 9. 方程 的所有的解的和为 10. 解方程： （ 1 ） 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ） （ 3 ） 11. 解方程： ； 12. 解方程： （只需求出有理数解） 13. 方程 的解为（ ）． A. B. ， C. D. 14. 解方程： ． 15. 解方程 （ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 16. 解方程． （ 1 ） （ 2 ） ．． 17. 解方程： ． $ 1. 为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设，则 ，原方程化为 ．① 解得， 当时， ，∴ ，∴ ； 当时， ，∴ ，∴ ． ∴原方程的解为 ， ， ， ． 解答问题： （ 1 ）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想． （ 2 ）解方程：． （ 1 ）换元 ; 整体 （ 2 ） ， （ 1 ）利用（换元）法达到了降次的目的，体现了（整体）的数学思想． （ 2 ） 令 ∴ ∴ （舍） 则原方程的解为 ， ． 【知识点】换元法求一元二次方程的根 2. 阅读材料： 为解方程 时，我们可以将 看作一个整体，然后设 ①， 那么原方程可化为 ，解得， ．当时， ，∴ ；当 时， ，∴ ；故原方程的解为 ，． 1 学科网（北京）股份有限公司 解答问题： （ 1 ）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，运用了 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想． （ 2 ）请利用以上知识解方程： ． （ 1 ）换元 （ 2 ） ， ． （ 1 ）∵将 看作一个整体，然后设 ，实际上是将 转化为了 ， ∴这一步是运用了数学里的转化思想，这种方法交换元法． 故答案为：换元． （ 2 ）设3x+5=y，则原方程变形为： ， 解得： 当 ， ． 当 ∴ 时， ， ；时， ， ， ， ． 【知识点】换元法求一元二次方程的根 3. 解方程： ． ， ． 方法一： ， ， ， ， ， ， ． 方法二： 令 原方程为： ， ， ， ， ， ， 或 ， ① ， ， 方程无解， ② ， ， ， ， 方程的解是 ， ． 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 【能力】运算能力 4. 解方程： ． ， ． 令 时，即时，即 ，则 ，解得 ，无实数根； ，解得 ， ； 当 当 ， ． 【知识点】换元法求一元二次方程的根 5. 解方程： ． ， ． 设 ，则原方程化为 ，代回可得： ． ， 即 即 ， 或 解得 ， ，可化为 ． ，用公式法解决， ， ， 故此方程无实数根． 综上方程解为： ， ． 【知识点】解一元二次方程 6. 方程的解为 ． 令 ， ，则 ， ， ， ∵ ， ∴ ， ． 【知识点】换元法求一元二次方程的根 7. 已知满足 ，则= . 令 整体换元带入，解方程可得 或 ， 而当 时， 无实数根，舍去． 故答案为 ． 【知识点】整体换元 8. 解方程： ． ， 原方程化简为 原方程变形为 ， ，令 ，① ．由 ，整理得 ，代入①，解得 ， ．由 ，解得 ，代入①，因 ，所以无实数解，故舍去． 【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程 9. 已知为实数，且满足，那么的值为 ． 令 ， 则 ∴当 ， 时， ， ， 方程有解， 当 时， 方程无解， 则 ． 【知识点】换元法求一元二次方程的根 10. 已知为实数，且满足 ，则的值为 ． 令 ， 得 ， 或 ， 有解时， ， 所以 ，故答案为 ． 【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数 11. 已知实数、 满足 ，则 的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 B 由题意知 ， ∴ ∴ 故选 ， ， （舍去）， ． 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 12. 已知 ，则的值为 ． ， 原方程可化为解得 或 ∵ ∴ ． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 13. 若实数、满足 ，则 ． 或 方法一：设 化简得： ，则原式可变形为： ，即 ， ， ， 得： 即 方法二：设 ， 或 ． 整理，得 分解得：解得： 的值是 ，则由原方程，得: ， ，即 ， ． 或 ． ， 则 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 14. 已知 ，则的值为 ． 把 看作一个字母，则可以设 即可求得 ， 则有 设 解得又∵ ∴ 的值． ，则有 ， ， ． ， 或 【知识点】非二项方程 15. 设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ． 设 ，则由原方程，得 ， 整理，得 解得 则 或 ， （舍去）． ， ∵ ， 是一个直角三角形两条直角边的长， ∴这个直角三角形的斜边长为 ． 【知识点】与三角形三边关系结合 $ 1. 为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设，则 ，原方程化为 ．① 解得， 当时， ，∴ ，∴ ； 当时， ，∴ ，∴ ． ∴原方程的解为 ， ， ， ． 解答问题： （ 1 ）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想． （ 2 ）解方程：． 2. 阅读材料： 为解方程 时，我们可以将 看作一个整体，然后设 ①， 那么原方程可化为 ，解得， ．当时， ，∴ ；当 时， ，∴ ；故原方程的解为 ，． 解答问题： （ 1 ）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，运用了 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想． （ 2 ）请利用以上知识解方程： ． 3. 解方程： ． 4. 解方程： ． 5. 解方程： ． 6. 方程的解为 ． 7. 已知满足 ，则= . 8. 解方程： ． 9. 已知为实数，且满足，那么的值为 ． 10. 已知为实数，且满足，则的值为 ． 11. 已知实数、满足 ，则的值为（ ）． 1 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. 或 D. 或 12. 已知 ，则 的值为 ． 13. 若实数 、 满足 ，则 ． 14. 已知 ，则 的值为 ． 15. 设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ． $