第一章空间向量与立体几何单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学选择性必修一空间向量单元测试，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查向量运算、空间距离、夹角及位置关系证明，适配单元复习，强化空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|法向量距离、向量表示（如四面体OABC中点M坐标）|基础概念与空间情境结合，考查空间观念| |多选|3|共面向量判断、法向量求解（如三点坐标求法向量）|多角度辨析，培养推理意识| |填空|3|向量共线参数计算、数量积运算|聚焦核心运算，强化运算能力| |解答|5|正方体中异面直线夹角、四棱锥面面垂直证明|综合应用，体现数学语言表达现实空间问题|

高中数学选择性必修一第一章空间向量单元测试 一、单选题 1．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 2．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．已知，若三向量共面，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 7．在空间四边形中，等于（   ） A． B． C． D． 8．在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（   ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 10．已知空间中三点，则（   ） A．向量与向量垂直 B．平面的一个法向量为 C．与的夹角余弦值为 D． 11．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 三、填空题 12．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 13．已知，则 等于_______ 14．已知向量，，，则_______. 四、解答题 15．已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 16．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.    (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 17．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 18．已知且 (1)求实数的值； (2)若，求实数的值． 19．在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点    (1)求与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数选择性必修一空间向量测试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C A A C B ABC AC 题号 11 答案 BC 1．D 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 2．B 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 3．A 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 4．C 【分析】由题意存在，使得，代入坐标，计算可求得的值. 【详解】若三向量共面，则存在，使得， 又因为， 所以，所以，解得， 故等于4. 故选：C. 5．A 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 6．A 【分析】由空间向量的加减结合相反向量的运算可得答案. 【详解】 故选：A 7．C 【分析】根据空间向量加减运算法则进行计算. 【详解】. 故选：C 8．B 【分析】根据空间向量共面的性质列式求解. 【详解】因为，且点P在平面内， 根据共面向量定理的推论，若空间四点共面，点为空间任意一点，则，且, ，解得 故选：B. 9．ABC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以共面，B正确； ，所以，C正确； ，D错误. 10．AC 【分析】计算数量积是否为0判断A，根据法向量的定义判断B，由向量夹角的坐标表示计算后判断C，坐标法求向量的模判断D． 【详解】由已知，则，所以，A对； 由，则，与不垂直，B错； 由，则，C对； 由，D错. 故选：AC 11．BC 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 12．0 【分析】方法一、根据题意，得到，根据A，C，D三点共线得，再利用向量相等的条件求解参数即可；方法二、假设为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即可. 【详解】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即， 即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底， 则在此基底下的坐标为，同理，， 则， 若A，C，D三点共线，则， 即，解得． 故答案为：0. 13． 【分析】根据空间向量加法、数量积的坐标运算求解即可. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】根据向量垂直的数量积表示求解. 【详解】因为向量，，， 所以，解得， 故答案为： 15．(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 16．(1) (2) 【分析】（1） 建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求线线夹角即可； （2） 利用线面平行，转化为求到平面的距离，即可利用点面距离的向量法求解公式求解. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 可得，， 可得， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （2）因为，平面，平面，故平面， 则直线到平面的距离与点到平面的距离相等. 因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则到平面的距离为， 因此直线到平面的距离为. 17．(1)取的中点为，连接， 因为， 所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，， 所以，即. (2)，，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为，则， 令，则，，可以求得面的一个法向量， 又因为，所以，平面平面. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，再由，即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，由，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 18．(1)2； (2). 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【详解】（1）， ， 设， ， 的值为2． （2）由（1），则， ， ， ． 19．(1)； (2). 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出对应的一个方向向量，应用向量法求异面直线的夹角； （2）根据（1），求出、平面对应的一个方向向量、法向量，应用向量法求点面距. 【详解】（1）如图建系，，，，，，    则，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为，则，令，则， 点到平面的距离. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $