4.2 整式的加法与减法-【重难点手册】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

[变式7](1)根据题意可得，A套餐应付费 (20+0.15.x)元，B套餐应付费(45+ 0.1x)元. (2)把x=800代入， A套餐应付费20+0.15×800=140（元）， B套餐应付费45+0.1×800=125（元）. 所以采用B套餐更划算. 第四章整式的加减 4.1整式 m+1+2=6, [变式1]由题意知{ 解得 2n+5-m=6, m=3, .m3+n3=33+23=35. n=2, 4.2整式的加法与减法 [变式1](x3-2x2+x-4)+(2x3-5x+6) =x3-2x2+x-4+2x3-5x+6 =x3+2x3-2x2+x-5.x-4+6 =3x3-2x2-4x十2. (x3-2x2+x-4)-(2x3-5x+6) =x3-2x2+x-4-2x3+5x-6 =x3-2x3-2x2+x十5.x-4-6 =-x3-2x2+6x-10. [变式2].单项式x“y3与2x3y的和是一 个单项式，a=3,b=3, .xy3-2x3yb=x3y3-2x3y3=-x3y3. [变式3](1)3A+2B=3(2xy-x2)+2(y2十 3xy) =6xy-3x2+2y2+6xy =-3x2+12xy+2y2, 变式参考答案与提示 [变式4](1)方法一 原式=2x2-[6.x-4(-x2+2x-1)-8] =2x2-6x+4(-x2+2x-1)+8 =2x2-6x-4x2+8x-4+8 =-2x2+2x+4. 方法二原式=2x2-2(3x+2x2-4x十2-4) =2x2-2(2x2-x-2) =2x2-4x2+2x+4 =-2x2+2x十4. (2)原式=4(x-1)-3[2(x-1)-3(x-1)] =4(x-1)-3[-(x-1)] =4(x-1)十3(x-1) =7(x-1) =7x-7. [变式5]1.提示：由y=x-1得x-y= 1,y-x=-1,.原式=12+(-1)+ 1=1. [变式6]原式=2a2-3ab+b2-a2+ab 2b2=a2-b2-2ab.当a2-b2=5,ab=2时， 原式=5-2×2=1. [变式7]A 第四单元复习归纳 [变式1](6n+2). [变式2]A [变式3]m(2a-3)+2m2-4a=2ma-3m+ 2m2-4a=(2m-4)a+2m2-3m. 其值与a的取值无关，∴.2m一4=0， ∴.m=2. [变式4]3(x2-nx+2)-(mx2+2x-1)= 3x2-3n.x+6-mx2-2x+1=(3-m)x2 131重难点手册七年级数学上册®O 4.2 整式的加法与减法 重点和难点 课标要求 1.了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法 重点：掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项。 则，并且能够正确合并同类项 难点：多字母同类项的合并 2.能先合并同类项化简后求值. 01必备知识 理 知识点 1 同类项的概念 知识点 2 合并同类项 概念 概念 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同 同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作 的项叫作同类项.几个常数项也是同类项 合并同类项 合并同类项 (1)同类项不一定是两项，也可以是三项、 合并同类项后，所得项的系数是合并前 四项或更多项，但至少为两项 合并同类项 各同类项的系数的和，字母连同它的指 (2)同类项的特征：“两相同，两无关”.“两 法则 数不变 相同”是指：①所含字母相同；②相同字母 识 的指数相同.“两无关”是指：①与单项式的 系数无关；②与单项式中字母的排列顺序 (1)合并同类项的依据是逆用分配律. 无关.例如，在一m2n3与2n3m2中字母的 (2)合并同类项法则可简记为“一相加， 排列顺序不同，但仍是同类项。 两不变”.其中，“一相加”是指各同类项 (3)所有的常数项都是同类项 的系数相加；“两不变”是指字母不变且 字母的指数也不变 例①下列各组单项式：①y与y2;②-ab (3)在多项式中合并同类项的一般步骤 知识解读 为：①准确找出同类项，并用相同的记 与2a263;③2x2y与5yx2;④-2026与0.其 号标出；②利用加法交换律和结合律移 中是同类项的有(). 动某些项的位置；③根据“一相加，两不 A.4组B.3组 C.2组 D.1组 变”的原则合并同类项；④写出合并后 解析①中，y与y2都只含有字母y,但指数分 的结果（若是多项式，一般按某一字母 的降幂或升幂排列) 别是1和2，故不是同类项.②中，一a2b3与2a2b3都 只含有字母a,b,且a的指数都是2，b的指数都是3， 例2合并下列多项式中的同类项： 故是同类项.③中，2x2y与5yx2都只含有字母x,y, 且x的指数都是2，y的指数都是1，故是同类项.④中， 2a%, (1)2a2b-3a2b+ 一2026与0都是常数，故是同类项.综上，②③④符合 (2)a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3. 题意。 图案B 爵团1原式=(2-3+2)26 66 第四章 整式的加减 =26 续表 内容 (2)原式=a3+(-a2b+ab)+(ab2-ab2)+b =a3+(-1+1)a2b+(1-1)ab2+b3 (1)整式加减的一般步骤：①如果有括 =a3+b3 号，先去括号；②如果有同类项，要合 知识点3 去括号法则 并同类项；③如果运算结果是多项式， 把这个多项式按某一字母的降（升）幂 内容 排列. (2)整式加减的一般步骤并不是固定 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号 知识解读 不变的，在具体运算中，也可以先合并 内各项的符号与原来的符号相同 去括号 同类项，再去括号. 法则 (3)整式加减的结果一定要化为最简， 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号 即最后结果中：①不能含有同类项； 内各项的符号与原来的符号相反 ②不能出现带分数，带分数要化成假 (1)去括号的依据是分配律； 分数；③一般按某一字母的降幂或升 (2)去括号只是改变式子的形式，不改变式 幂排列 子的值，它属于多项式的恒等变形，即“形变 而值不变”； 例4计算： 知识 (3)去括号法则中所说的“括号外的因数”， 解读 不仅仅是指括号外的数，还包括数前面的 1-3x+2y-1D4r-60 符号； (4)若括号前面有数字因数，去括号时应先 (2)5a2-[a2+(5a2-2a)] 把数字因数与括号内各项相乘，再去括号， 不要漏乘括号内的任何一项 圆团0-3(x+2y-1D-号4x-6y) =-3x-6y+3-2x+3y 例3去括号并合并下列多项式中的同 =-5.x-3y+3. 类项： (2)5a2-[a2+(5a2-2a)] (1)4a-(a-3b); =5a2-(a2+5a2-2a) (2)a+(3b-5a)-(a-2b); =5a2-(6a2-2a) (3)3(2xy-y)-2xy. =5a2-6a2+2a 解析(1)原式=4a一a十3b=3a+3b. =-a2+2a. (2)原式=a+3b-5a-a+2b=-5a+5b. ●变式1求x3-2x2+x-4与2x3-5x (3)原式=6xy-3y-2xy=4xy-3y. 十6的和与差 知识点 4 整式的加减 记方法 内容 解决整式加减与求值这类问题的大致步骤为： 先利用整式的加减化简整式，再把有关的数值代入 并计算，简记为“一化、二代、三计算”.在化简时要 整式加减的 一般地，几个整式相加减，如果有括号 注意去括号时是否变号，在代入时要注意，若所给 运算法则 就先去括号，再合并同类项 的值是负数，代入时要添上括号；若所给的值是分 数，或有乘方运算的，代入时也要添上括号， 重难点手册 七年级数学上册®① 02关键能力提升 题型1 利用同类项的概念求字母参数 提个醒 的值 (1)当括号前面有数字因数时，应先利用乘法 例5已知-2xy+1与8x2y3是同类 分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内 项，求a十b的值. 的任意一项。 点遐同类项中相同字母的指数相同。 (2)合并同类项时，只能把同类项合并，不是同 解析由题意得 2b=6,解得 =2, 类项的不能合并，合并常数项实际上就是有理数的 a+1=3, b=3. 加减运算.合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 故a十b=5. 题型3 去多重括号的方法 ●变式2已知单项式x“y3与2x3y的和 是一个单项式，求这两个单项式的差， 例7-[-(m-n)门去括号得( 记方法山 A.m-n B.-m-n C.-m+n D.m+n “回到定义中去”是一种常用的方法，本题可以 运用同类项的定义解题， 答案A 同类项定义中的“两同”： 例8计算：3a-[a-2(a-b)]+b. 一是所含的字母要完全相同； 解析方法一原式=3a-a十2(a一b)+b 二是相同字母的指数要分别相同. =3a-a+2a-2b+b 两者缺一不可 =(3-1+2)a+(-2+1)b =4a-b. 题型2“有序”进行整式的加减 方法二原式=3a-(a-2a+2b)+b 例6计算：（1)a+(5a-3b) =3a-(-a+2b)+b 2(a-2b); =3a+a-2b十b=4a-b. (2)-(2x2-3x-1)-2(x2-3x+5)+ ●变式4计算：(1)2x2-2[3x-2(-x2+ (x2+4x+3). 2x-1)-4]; 点遐去括号时应逐项有序进行，合并同类项 (2)4(x-1)-3[2x-3(x-1)-2]. 时，通常是按某一个字母的降（升）幂排列，还要做到 题型4整体思想的运用 不重不漏， 解析(1)原式=a+5a-3b-2a+4b 例9若当x=1时，多项式a.x3十bx十1 =(1+5-2)a+(-3+4)b 的值为5，则当x=-1时，多项式ax+b =4a+b. (2)原式=-2x2+3x+1-2x2+6.x-10+x2+ +1的值为 4x+3=(-2-2+1)x2+(3+6+4)x+(1-10+3) 点拨由已知可得a十b=4,可视a十b为一个 =-3x2+13x-6. 整体，再将它代入未知式求值 ●变式3已知A=2xy-x2,B=y2十 解析当x=1时，a.x3+bx+1=a十b+1=5, 3,求：13A+2B,(2)A-专. 得a十b=4. 所以，当x=一1时， 第四章 整式的加减 ar++1-2a(-1+(-1+1 把xy=-2,x十y=3代入， 则原式=8×3十(-2)=24-2=22. =-a+b)+1 例11已知a2+ab=4,ab+b2=一1，求 =()×4+1 a2-b2及a2+3ab+2b2的值. 解析，a2-b2=a2+ab-ab-b2=(a2+ =-1. ab)-(ab+62); 答案-1. .a2-b2=4-(-1)=4+1=5. 例10已知xy=-2,x十y=3,求整式 a2+3ab+2b2=a2+ab+2ab+2b2=(a2+ (3xy+10y)+[5x-(2xy+2y-3x)]的值. ab)+2(ab+b2), 解析 ∴.a2+3ab+2b2=4+2×(-1)=4-2=2. 原式=3xy+10y十(5x-2xy-2y十3x) ●变式5已知y=x-1,则(x-y)2+ =3xy+10y+5.x-2xy-2y+3x =5.x+3x+10y-2y+3xy-2xy (y一x)+1的值为 =8x+8y十xy ◆变式6化简求值：2a2-3ab+b2一 =8(x+y)+xy. (a2-ab十2b2),其中a2-b2=5,ab=2. 03热点考向 考向1 同类项的概念及运用 答案A 例14（经典·黔西南州中考）若7ab2与 例12(2026·武汉十一崇仁初级中学检 一a3b’的和为单项式，则y= 测)单项式m.xy3与xn+2y3的和是5xy3,则 解析若两单项式的和为单项式，则这两个单项 m一n的值为 x=3, 解析：单项式mxy3与x"+2y3的和是5xy3, 式必为同类项.即 .单项式mxy3与x"+2y3是同类项， y=2, n+2=1, 所以y=23=8. m+1=5, 答累8. n=-1, 考向72 合并同类项 解得 m=4, 例15(2025·天津中考)计算3x一x一5z ∴.m-n=4-(-1)=5. 图案5. 的结果为 例13(2024·内江中考)下列单项式中， 解析3x一x-5x=-3x. ab3的同类项是( 图案-3x. ) A.3ab3 B.2a263 例16（经典·武汉中考）计算3x2-x2的 C.-a2b2 D.ab 结果是( ). 解析根据同类项的定义，所含字母相同且相同 A.2 B.2x2 C.2x D.4x2 字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺 解析3x2-x2=2x2. 序无关，与系数无关 案B 69 重难点手册 七年级数学上册®① 考向3 去括号与整式的加减 位、个位上的数字分别为a,b,c,d,判断m是 否为99的倍数，并说明理由。 例17-(a一b十c)去括号，变形后的结果 (3)如果正整数P和Q满足P=Q3,则称 是( ) 正整数P是立方数，例如：27=33，则27为立 A.-a+b+c B.-a+b-c 方数.已知四位正整数m为“长久数”，记P= C.-a-b+c D.-a-b-c 解析根据去括号法则知原式=一a十b一c. 心g9,当P是立方数时，直接写出所有满是 答案B 条件的数m: 例18先化简，再求值：4xy一2xy 解析(1)是；是；不是， (-3xy),其中x=2,y=-1. (2)m是99的倍数.理由如下： 解析4xy-2xy-(-3xy)=4xy一2xy+3xy 由题意得a十c=9(1≤a≤9，且a为正整数)，b十 =5xy, d=9(0≤b≤9，且b为正整数)，c=9-a,d=9-b, 当x=2,y=-1时，原式=5×2×(-1)=-10. m=1000a+100b+100c+d 考向4整数的多项式表示 =1000a+100b+10(9-a)+(9-b) 例19阅读理解：设m是一个四位正整数， =990a+99b+99 如果它的千位与十位上的数字之和是9，百位 =99(10a+b+1), 与个位上的数字之和也是9，则称m为“长久 .10a十b十1为正整数， 数”.例如：2376的千位数字与十位数字的和 ∴m为99的倍数. 为2十7=9，百位数字与个位数字的和为3十 (3)2475,8118. 6=9,所以2376是一个“长久数”；2377的百 ●变式7一个三位数，将它各位上的数字 位数字与个位数字的和为3十7=10≠9，所以 倒序排列后得到一个新数，用新的三位数减去 2377不是一个“长久数” 原来的三位数.甲、乙、丙、丁四位同学计算的 (1)判断下列四位数是不是“长久数”，请 结果分别是297,397,461,567，四个结果中有 在横线上填“是”或“不是”；①1485 且只有一个正确，则四位同学中计算正确的是 ②5247 ;③4564 (). (2)设一个“长久数”m的千位、百位、十 A甲 B.乙 C.丙 D.丁 70