4.1 整式-【重难点手册】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

4 第四章 整式的加减 4.1整式 重点和难点 课标要求 1.理解单项式、多项式及与之对应的系数、次数 重点：理解、掌握单项式及多项式的概念，并且能准确找 的概念。 出对应的系数和次数 2.能准确熟练地确定一个整式的系数和次数， 难点：在多字母整式中正确区分单项式与多项式 3.能正确区分单项式和多项式. 01必备知识 理 知识点 单项式的有关概念 圆团单项式有-1必，，是6，字 3 概念 其中，一13b的系数为一13，次数为1； 表示数或字母的积的代数式叫作单项式， 单项式 号w的系数为行火数为3： 单独的一个数或一个字母也叫作单项式 2的系数为2，次数为0； 单项式 单项式中的数字因数叫作这个单项式的 的系数 系数 3a2b的系数为32，次数为3； 个单项式中，所有字母的指数的和叫作 5.x2y3 单项式 的系数为 3,次数为5 这个单项式的次数；对于一个非零的数， 的次数 规定它的次数为0 知识点 2 多项式的有关概念 (1)单项式只含乘积（包括乘方）运算，不 概念 含加减运算； (2)单项式的系数包括它前面的符号，且 多项式 几个单项式的和叫作多项式 只与数字因数有关； 多项式里，每个单项式叫作多项式 多项式的项 (3)单项式的次数只与字母因式有关，且 的项，不含字母的项叫作常数项 知识 是单项式中所有字母的指数的和； 多项式里，次数最高的项的次数，叫 (4)含有分母，且分母中含有字母的式子 多项式的次数 解读 作这个多项式的次数 不是单项式，如2不是单项式： (1)多项式的每一项都包含它前面 (5)一个单项式的次数是几次就叫作几次 的符号； (2)多项式的组成元素是单项式，若 单项式，如号a0巾a,6的指数的和是 一个式子中的某一单独的项不是单 5,则它是五次单项式 知识解读 项式，则这个式子就不是多项式（例 例①判断下列各式中哪些是单项式？如 如x十上就不是多项式)： 果是单项式，请指出它的系数与次数， (3)多项式的次数是多项式中次数 ,32a2b,3a一b,52y 最高项的次数，而不是所有项的次 3 数之和 62 第四章 整式的加减 在多项式中，含有字母的项的次数是几次 续表 就叫作几次项.如3a2b一2ab+b中，它的三次 概念 项是3a2b,二次项是-2ab,一次项是b. 用具体数值代替整式中的字母，根据整 多项式的排列：把一个多项式按某一字母 整式的值 式中运算关系得到的值叫作整式的值 的指数从大到小的顺序排列叫作降幂排列.反 之，则称为升幂排列 (1)一个式子如果不是整式，那么这个式 例2(2026·武汉外国语学校检测)将多 子一定不是单项式或多项式 (2)一个整式的值取决于两个因素： 项武y-红+号按守母y作升排到 ①字母的值，当字母取不同的值时，得到 知识解读 的整式的值一般也不同； 园团-4女+号y+3y ②多项式中的运算关系，当字母取同 个值时，对于不同的整式，得到的值一般 点评由于多项式中的项包括它前面的符号，因 也不同 此在排列时需把每一项的符号与该项一起移动， 易错点对多项式的有关概念理解不清 划重点0 例填空： (1)多项式是由单项式构成的，多项式中的项 (1)多项式2a2-5a+3的各项是 是单项式，多项式的次数就是多项式中次数最高的 (2)多项式3x4一x3y3+xy2一4的次数是 单项式的次数 ； (2)单项式和多项式的区别在于是否含有加减 (3)多项式x4十y3+25的次数是 运算 错解(1)2a2,5a,3.(2)13.(3)5. (3)判断一个式子是否为整式，关键要看它是 错因(1)将项一5a前的“-”漏掉了.(2)误 不是单项式或多项式 认为多项式的次数是所有字母的指数之和.(3)误 (4)分母中含有字母的式子不是整式. 把常数项25看成五次单项式： 正解(1)2a2,-5a,3. (2)6.(3)4. 例3判断下列各式是否为整式： 知识点 3 整式的概念 (1)-1;(2)x; w;(41 (3) -2 概念 (5)2x1 6 (6)x—2y 整式 单项式与多项式统称整式 解析(1)(2)(3)(5)(6)是整式，(4)不是整式. 」02关键能力 题型1用单项式、多项式表示数量关 例④用单项式填空，并指出它们的系数 系，并指出系数、项和次数 和次数： 用单项式、多项式表示实际问题中的数量 (1)某商店8月份营业额为m万元，9月 关系，并指出单项式的系数和次数，以及多项 份营业额比8月份增加了25%，则9月份的营 式的项和次数 业额为 万元； 重难点手册 七年级数学上册® (2)某品牌汽车原价为a元/辆，现按九折 题型2 运用整式的有关概念求字母的值 出售，若一周内销售了这种汽车b辆，则这周 整式的有关概念涉及单项式的系数与次 的销售额为 元 数，还有多项式的项数与次数 (3)有理数n的相反数是 例6如果式子(m十4)xm-1y2-3xy (4)一个长方体形状的零件，它的底面边 是关于x,y的五次二项式，则m= 长分别是acm和bcm,高是hcm,这个零件 解析由于式子是五次二项式， 的体积是 立方厘米 则这个多项式的最高次项的次数为5， 解析(1)1,25m,它的系数为1.25，次数为1. 由于一3xy3的次数是4，因此第一项的次数为5， (2)0.9ab,它的系数为0.9，次数为2. 同时第一项的系数不能为0， (3)一n,它的系数为一1，次数为1. 即m-1+2=5且m+4≠0，解得m=4. (4)abh,它的系数为1，次数为3. 答案4. 例5用多项式填空，并指出它们的项和 例7已知多项式7xm十kx2-(3n+1)x 次数 十5是关于x的三次三项式，并且一次项系数 为一7，求m+n-k的值. (1)某超市出售水果，苹果10元/千克，梨 点拨多项式的次数是单项式中次数最高项的次 6元/千克.王阿姨买了m千克苹果、n千克梨， 数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数 她一共付了 元 解析因为7xm+x2-(3n十1)x+5是关于x (2)m为一个有理数，m的立方与n的平 的三次三项式，依“三次”知m=3,而一次项系数为 方的差为 -7,即-(3n十1)=-7，故n=2. (3)我国古代天文学和数学著作《周髀算 已有三次项为7x3,一次项为一7x,常数项为5， 经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊 又因为原多项式为三次三项式， 所以二次项的系数=0. 蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，每个节 故m十n-k=3十2-0=5. 气与它前一个节气的日影长的差为定值.若这 个定值为d尺，立夏当日的日影长为m尺，则 ●变式1已知多项式y1+y叶 立春当日的日影长是 尺 3x3十6是六次四项式，单项式3xmy5-m与该 (4)有一个底面半径是a,高是h的圆柱， 多项式的次数相同，求m3十n3的值 它的表面积为 易错点误认为单项式的次数与系数的次数有关 解析(1)10m十6m,它的项分别是10m,6m,次 例-52x3的次数是 ,2πr的系数是 数是1. (2)m3一n2,它的项分别是m3,一n2,次数是3. 错解5；2. (3)m-6d,它的项分别是m,-6d,次数是1. 错因单项式的次数只与字母的次数有关，与 (4)2πa2+2πah,它的项分别是2元a2,2πah,次数 系数的次数无关，圆周率π是常数 是2. 正解3；2π 第四章 整式的加减 03热点考向 聚焦 考向1 与单项式、多项式有关的概念 考向2 整式的概念 例8（经典·铜仁中考）单项式”的系 例11下列各式中，整式的个数有(). 数是( ) ①x+6:②3-2x=1,③号+：④0： N号 B.元 C.2 D. 2 ⑥3 ⑤2 2 答案D A.3个 B.4个C.5个D.6个 例9(2024·长春中考)单项式-2a2b的 解析单项式和多项式统称为整式，故整式有： 次数为 ①x十6：®2+号：0,62空，整式的个教为4个 答案3. 答案B 例10（经典·佛山中考）多项式2a2b 恩结本题主要考查了整式的有关概念，要能准 确分清什么是整式.整式是有理式的一部分，在有理 ab2-ab的项数及次数分别是(). 式中可以包含加、减、乘、除四种运算，但在整式中除 A.3,3 B.3,2 式不能含有字母，单项式是字母和数的乘积，只有乘 C.2,3 D.2,2 法，没有加减法；多项式是若干个单项式的和，有加减 答案A 法，单项式和多项式统称为整式. 65[变式7](1)根据题意可得，A套餐应付费 (20+0.15.x)元，B套餐应付费(45+ 0.1x)元. (2)把x=800代入， A套餐应付费20+0.15×800=140（元）， B套餐应付费45+0.1×800=125（元）. 所以采用B套餐更划算. 第四章整式的加减 4.1整式 m+1+2=6, [变式1]由题意知{ 解得 2n+5-m=6, m=3, .m3+n3=33+23=35. n=2, 4.2整式的加法与减法 [变式1](x3-2x2+x-4)+(2x3-5x+6) =x3-2x2+x-4+2x3-5x+6 =x3+2x3-2x2+x-5.x-4+6 =3x3-2x2-4x十2. (x3-2x2+x-4)-(2x3-5x+6) =x3-2x2+x-4-2x3+5x-6 =x3-2x3-2x2+x十5.x-4-6 =-x3-2x2+6x-10. [变式2].单项式x“y3与2x3y的和是一 个单项式，a=3,b=3, .xy3-2x3yb=x3y3-2x3y3=-x3y3. [变式3](1)3A+2B=3(2xy-x2)+2(y2十 3xy) =6xy-3x2+2y2+6xy =-3x2+12xy+2y2, 变式参考答案与提示 [变式4](1)方法一 原式=2x2-[6.x-4(-x2+2x-1)-8] =2x2-6x+4(-x2+2x-1)+8 =2x2-6x-4x2+8x-4+8 =-2x2+2x+4. 方法二原式=2x2-2(3x+2x2-4x十2-4) =2x2-2(2x2-x-2) =2x2-4x2+2x+4 =-2x2+2x十4. (2)原式=4(x-1)-3[2(x-1)-3(x-1)] =4(x-1)-3[-(x-1)] =4(x-1)十3(x-1) =7(x-1) =7x-7. [变式5]1.提示：由y=x-1得x-y= 1,y-x=-1,.原式=12+(-1)+ 1=1. [变式6]原式=2a2-3ab+b2-a2+ab 2b2=a2-b2-2ab.当a2-b2=5,ab=2时， 原式=5-2×2=1. [变式7]A 第四单元复习归纳 [变式1](6n+2). [变式2]A [变式3]m(2a-3)+2m2-4a=2ma-3m+ 2m2-4a=(2m-4)a+2m2-3m. 其值与a的取值无关，∴.2m一4=0， ∴.m=2. [变式4]3(x2-nx+2)-(mx2+2x-1)= 3x2-3n.x+6-mx2-2x+1=(3-m)x2 131