3.1 列代数式表示数量关系-【重难点手册】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册七年级数学上册®O 方法二如图2所示，把一个面积为1的正 方形分成两个面积为2的长方形，接着把其 中一个面积为，的长方形等分成两个面积为 }的正方形，再把其中一个面积为的正方形 等分成两个面积为g的长方形，…，由图形 示的规体++日+品十品十 163 6464 4 蓝 32 图2 [变式5]552.提示：13=12,13+23=(1+ 2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2=62,13十 23十33十43=(1+2+3十4)2=102.根据数 据可分析出，规律为从1开始，连续n个数 的立方和=(1+2+…十n)2,所以13+23+ 33+…+103=(1+2+…+10)2=552. [变式6]如图所示，将a,b,一a,一b四个数 在数轴上表示出来。 -a0 a -6 '.b<-a<a<-b. [变式7刀D提示：c=10000+?026, 2025,d= 10000 2025202>1>2026 、2025 2026·2025 .∴.c> d.又，a与c的分母相同，a的分子大于c 的分子，∴.a>c,同理，d>b,∴.a>c> d>b.故选D. 130 第三章代数式 3.1列代数式表示数量关系 [变式1门(-1)+1 (2n-1)(2n+1)1 [变式2]D[变式3]2mx". 3.2代数式的值 [变式1]B提示：由已知得4y2-2y+5= 7,.4y2-2y=2,∴.2y2-y=1, .2y2-y+1=2. [变式2]23.提示：输入x=5时，x>3,故 m=52-5十3=23，∴.输出的结果为23. 第三单元复习归纳 [变式1门当x≤30时，上网费用=60x× 3 0.22十4.8x=9.2x(元)；当x>30时，上网费 用=0X×a2+48X0+0,0× 3 0.11十3(x-30)=5.2x十120（元）. [变式2]-|a-1(答案不唯一). [变式3]A提示：2+ 3b,3(a-b)3a 2 2 [变式4](1)500÷20=25(cm),500÷25= 20(cm),500÷50=10(cm),500÷75≈ 6.67(cm). 水的高度分别是25cm,20cm,10cm,6.67cm. (2S-2,5与成反比例关系 [变式5]D提示：.a-2b2=3,.-a+ 2b2=-3,∴.-2a+4b2=-6,∴.2030 2a+4b2=2030-6=2024. [变式6]C提示：由已知得a×13十b×1+ 7=4,即a+b+7=4,所以a+b=-3,所以 当x=-1时，a×(-1)3+b×(一1)+7= a-b+7=3+7=10.3 第三章 代数式 3.1列代数式表示数量关系 重点和难点 课标要求 重点：1.理解用字母表示数的意义，知道用字母表示数、数量 关系和变化规律】 1.理解代数式的概念，了解用代数式表示 2.理解代数式的概念和两个量之间的反比例关系，能用数量关系时数量的意义及相互关系. 代数式准确地表示实际问题中的数量或数量关系. 2.能用代数式表示不同实际问题中的数 难点：1，根据实际问题准确地列出代数式，并从不同的角度给量或数量关系 代数式赋予实际意义， 3.理解并会判定两个量之间成反比例关系 2.判定两个量之间成反比例关系 01 必备知识 梳理 知识点1 用字母表示数 用字母表示数能简明地把数、数量关系、 例2下列式子中，哪些符合用字母表示 法则和变化规律表达出来，为叙述和研究实际 数的书写格式，哪些不符合用字母表示数的书 问题带来方便.具体如下： 写格式？ (1)字母既可以表示一个数，也可以表示 一类数 (10a÷3;(2)23x; (3)3a; (2)在同一问题中，相同字母必须表示相 (4)2m-1元； (6)号xy,(60a-1÷6. 同的量，不同量必须用不同的字母表示. (3)用字母表示具有实际意义的量时，字 解析(3)（⑤）的书写格式符合用字母表示数的 母的取值要使得问题有意义， 书写格式，(1)(2)(4)(6)的书写格式不符合用字母表 示数的书写格式 (4)特定的字母表示特定的数： 如行表示圆周率 划重克山 例1用含有字母的式子填空： (1)数字与字母、字母与字母相乘，不用“×”，而 (1)如果苹果每8千克售价是64元，那么 是用“·”（点乘）表示，或中间的乘号可以省略不写. m千克苹果的售价是 元； (2)字母与数字相乘，通常数字写在字母前. (2)a的2倍与b的3倍的差是 (3)数字与字母相乘，若数字是带分数的形式， (3)若一个两位数，十位上的数字是a,个 一般要写成假分数， 位上的数字是b,则这个两位数是 ； (4)一个圆的直径为dcm,那么这个圆的 如3号与2的积”写成号”雨不是3受 (4)字母与字母相乘，相同字母写成幂的形式， 面积为 cm2. 如a·a=a2. 图累(1)8m.(2)2a-3b.(3)10a+b. g 重难点手册 七年级数学上册®① (5)数字因数是一1或1时，“1”通常省略不写， 知识点3 正比例关系与反比例关系 如一1·a=一a. 两个相关联的量，一个量变化，另一个量 (6)如果有除法，一般不用“÷”，而是用分数表 也随着变化，若这两个量的商一定，这两个量 示，即写成分数的形式 (7)用字母表示的式子是和差的形式，后面又 就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作 要带单位，则代数式必须用括号括起来.如温度由 正比例关系；若这两个量的乘积一定，这两个 t℃下降3℃后是(t一3)℃，而不能写成t-3℃. 量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作 知识点2代数式的概念 反比例关系】 如果用字母x和y表示两个相关联的量， 般情况下，用运算符号把数或表示数的 用k表示它们的商（飞是一个确定的值，且k卡0）， 字母连接起来，所得的式子称为代数式， [注意](1)单独的一个数或一个字母也 则正比例关系可以用义=k或y=kx来表示； 是代数式，如5，t都是代数式 若用k表示它们的积(.是一个确定的值，且 (2)运算包含加、减、乘、除、乘方、开方（开 方以后会学习). 点≠0)，则反比例关系可以用y=长或y会 例3指出下列式子中哪些是代数式，哪 来表示，其中k叫作比例系数， 些不是代数式 (1)a2-b2;(2)6a; (3)x十1=3； 例5动车从武汉驶往北京，若动车的平 均速度为300km/h,用s(单位：km)表示动车 (4)5>-3;(5)0;(6)c=2πr; 距武汉的距离，用t(单位：h)表示动车行驶的 解析(3)(4)(6)不是代数式，(1)(2)(5)(7)是 时间. 代数式。 (1)动车距武汉的距离随行驶时间是怎么 例4代数式0.9力可以表示不同的实际 变化的？ 问题中的数量或数量关系，请举例说明， 解析0.9可以表示为：苹果的原价是p元/千克， (2)用式子表示s与t之间的关系，并说明 现在按照九折优惠出售，则苹果的售价是每千克多 s与t之间成什么比例关系？ 少元？ 点拨题目中涉及速度、路程和时间，它们之间 0.9p还可以表示为：一个长方形的长是0.9m, 具有关系：路程=速度×时间。 宽是pm,这个长方形的面积是多少平方米？ 解析(1)动车距武汉的距离是随着动车行驶时 划重点 间的变长而变大的. (1)判断一个式子是否是代数式，关键看两点： (2)s与t之间的关系是s=300t,s与t之间成正 ①看它是不是单独的数或字母；②看式子中是否只 比例关系 含有加、减、乘、除、乘方、开方等运算的符号。 例6判断下列各题中的两个量是否成反 (2)像“=”“>”“<”等表示数量关系的符号，并 不是运算符号，含有这类符号的式子不是代数式 比例关系，并说明理由。 (3)用代数式表示数量关系时，要弄清楚数量 (1)全班的人数一定，按各组人数相等的 的意义及相互关系，同一个代数式可以表示不同实 要求分组，组数与每组的人数； 际问题中的数量与数量关系， (2)圆柱的体积一定，圆柱的底面积与高； 第章代数式 (3)在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的 (2)成反比例关系.理由如下：因为圆柱的底面 面积， 积X高=圆柱的体积（一定），所以圆柱的底面积与高 成反比例关系 解析(1)成反比例关系.理由如下：因为组数× (3)不成反比例关系.理由如下：因为在一块菜地 每组的人数=全班的人数（一定），所以组数与每组的 上种的黄瓜与西红柿的面积之和一定，但积不一定保 人数成反比例关系 持不变，所以不成反比例关系， 02关键能力 题型1正确地列出代数式 容案(1)1.2x. (2)0.5m-3.(3)11a-2. (4)(a+b)(a-b) 在解决实际问题时，往往要先把问题中的 数量关系用含有数、字母、运算符号的式子表 划重点 示出来，也就是要列代数式.在具体的实际问 (1)没有特别说明时，一般的“a,b两数的差” 题情境中用字母或含有字母的代数式抽象地 或“a与b的差”，都是指“a-b” (2)“a,b的平方和”是指“a2十b2”,而不是“(a 表示数量或数量关系，可使我们的表达更具有 +b)2”;“a,b和的平方”是指“(a十b)2”,而不是 般性，是我们认识上的一个重大飞跃 “a2十b2”. [注意](1)在列代数式时，首先要抓住题 (3)“a,b的平方差”是指“a2-b2”,而不是 目的关键词语，弄清语句中各数量的意义及相 “(a-b)2”;“a,b差的平方”是指“(a-b)2”,而不 互关系，然后明确运算的先后顺序，接着需要 是“a2-b2” 把握问题的层次关系，最后用适当的字母表示 各种数量，根据问题中的数量关系，将数和字 题型 2 准确说明代数式的意义 母用适当的运算符号连接起来， 说出代数式所表示的实际意义时，数与字 (2)若问题层次较多，需要正确使用大小 母的含义必须与生活中的实际意义相符合，不 括号，按照先括号内，再括号外，先小括号，再 能与生活中的实际意义相矛盾.数量关系必须 中括号，最后大括号的顺序 与原代数式一致， 例7根据题意，用正确的代数式填空. 例8用语言叙述下列代数式的意义. (1)一副羽毛球拍先按成本价提高50%标 (1)某校去年新生人数是m,今年比去年 价，再将标价打8折出售，若这件羽毛球拍的成 增加了5%，5%m表示什么？(1十5%)m表示 本价是x元，那么售价可表示为 元； 什么？ (2)某校报名数学兴趣小组的有m人，报 (2)用x表示正方形的边长，(x十2)(x 名书法兴趣小组的人数比数学兴趣小组的人 1)表示什么？ 数的一半少3人，则报名书法兴趣小组的有 (3)一种服装的进价为a元，每件服装按 人 进价提高40%后标价，(1十40%)a表示什么？ (3)一个两位数，十位上的数字为a,个位 80%(1+40%)a表示什么？ 上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数 为 (4)m千克大米的售价为y元，表示 m (4)a,b两数的和与差的积是 什么？ 重难点手册 七年级数学上册® 解析(1)5%m表示今年比去年增加的新生人 题型4列代数式解决实际问题 数，(1+5%)m表示今年的新生人数 (2)(x十2)(x一1)表示长比正方形的边长大2， 例10某超市在春节期间开展优惠促销活 宽比正方形边长小1的长方形的面积. 动，规定如下： (3)(1+40%)a表示每件服装按进价提高40% 一次性购物 优惠办法 后的标价，80%(1十40%)a表示每件服装按进价提高 少于200元 不予优惠 406后打8折的售价」 低于500元但不低于 9折优惠 (4)四表示n千克大米的售价. 200元 其中500元部分给予9折优 提介醒〕 500元或超过500元 惠，超过500元部分给予8 说明代数式的意义，只需将代数式化为基本数 折优惠 量关系的语言，进行描述时，应弄清表示的运算的 (1)王老师一次性购物600元，他实际付 先后顺序，解题关键是能够根据题意理解代数式所 款 元； 表示的意义。 (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当 题型3 x小于500元但不小于200元时，他实际付款 列代数式在规律探究中的应用 元，当x大于或等于500元时，他实 例9如图，小明与弟弟玩用棋子摆图案 际付款 元（用含x的代数式表示）； 的游戏，小明摆出的图案具有一定的规律，第 (3)如果王老师两次购物货款合计820元， 1个图案用5枚棋子，第2个图案用9枚棋子， 第一次购物的货款为a元(200<a<300),则 第3个图案用13枚棋子，第4个图案用17枚 两次购物王老师实际付款 元（用含a 棋子，…，依此规律，第n个图案用 枚 的代数式表示). 棋子（用含n的代数式表示） 点拨(1)500元部分按9折付款，剩下的100元 ●●●●● 按8折付款.(2)等量关系为：当x小于500元但不小 ●●● ●● 于200元时，实际付款=购物款×0.9；当x大于或等 ●● ●● ●●●●●●●●●●●● 于500元时，实际付款=500×0.9十超过500的购物 第1个第2个第3个 第4个 款×0.8.(3)两次购物王老师实际付款=第一次购物 解析第1个图案需3×1十1十1=5枚棋子；第 款×0.9十500×0.9+（总购物款一第一次购物款一 2个图案需3×2十2十1=9枚棋子；第3个图案需3× 500)×0.8. 3+3+1=13枚棋子；第4个图案需3×4+4+1=17 解析(1)一次性购物600元，他实际付款500× 枚棋子；… 0.9+(600-500)×0.8=530元. 由此得出第n个图案需3n+n十1=(4n+1)枚 (2)当x小于500元但不小于200元时，他实际 棋子 付款0.9x元； 答案(4n十1). 当x大于或等于500元时，他实际付款500×0.9 ◆变式1(2025·武汉南湖中学月考)寻 +(x-500)×0.8=(0.8x十50)元. 123 (3)两次购物王老师实际付款0.9a十0.8×(820一 找规律，并按规律填空：3，一535一63'991 45 a-500)+450=(0.1a+706)元. 答案(1)530.(2)0.9x;(0.8x+50). 143…,第n个数是 (3)(0.1a+706). 52 第目章 代数式 03热点考向聚 焦 考向1用字母表示简单的数量关系 第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中 有10个白色圆片，…，依此规律可知，第n 例1门（经典·长沙中考）为落实“双减”政 个图案中有 个白色圆片（用含n的代 策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校 数式表示) 园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100 本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本， 8888888888888-8… 第1个第2个 第3个 第4个 乙种读本的单价为8元/本.设购买甲种读本 点拨每增加一个图案，就增加2个白色圆片： x本，则购买乙种读本的费用为( 解析第1个图形中有2十2×1=4个白色圆片； A.8x元 B.10(100-x)元 第2个图形中有2十2×2=6个白色圆片； C.8(100-x)元 D.(100-8x)元 第3个图形中有2十2×3=8个白色圆片； 解析利用乙的单价X乙的本数=乙的费用，可 知若购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为 第n个图形中有(2十2n)个白色圆片. 8(100-x)元. 图案(2十2m). 图累C ●变式3(2025·河南中考)观察2x, ●变式2(2025·长沙中考)智慧农业广 4x2,6x3,8x4,…,根据这些式子的变化规律， 泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个 可得第n个式子是 机械手平均每分钟采摘10个苹果.若该机器 考向3列代数式解决实际问题 人搭载m个机械手(m>1),则该机器人平均 每分钟采摘的苹果个数为( 例14小丽暑假期间参加社会实践活动， A.6m B.m+10 从某批发市场以每个m元的价格购进100个 C.60m D.10m 手机充电宝，然后每个加价n元到市场上出售. 考向2 (1)求售出100个手机充电宝的总售价为 列代数式在找规律中的应用 多少元（结果用含m,n的式子表示）？ 例12(2025·云南中考)按一定规律排列 (2)由于临近开学，小丽在成功售出60个 的代数式：a,3a,5a,7a,9a,…,则第n个代数 充电宝后，决定将剩余充电宝按当前售价的 式是( 8折出售，并很快全部售完.她的实际总销售额 A.(2m-1)a B.(2n+1)a 为多少元（结果用含m,n的式子表示）？ C.(n+1)a D.2025a 解析(1)，每个充电宝的售价为(m十n)元， 答案A ∴.售出100个手机充电宝的总售价为100(m十+ 例13如图是一组有规律的图案，它由若 n)元 干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有 (2)实际总销售额为60(m+n)+40×0.8(m+ 4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，：n)=92(m十n)元. 53