2.2.1 有理数的乘法-【重难点手册】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

重难点手册】七年级数学上册®O (-0.6)] =1+(-4)=-3. [变式3] 原式=9×（片）+2× (得》+2×（号-）+…+× +… 1 2025 -22）-× h-2）-8 2.1.2有理数的减法 [变式们1)愿式-号1片名古 =(号3）+(-1》 =(-1D+(-1》 =-22 ②原武-7日4号18462 =8-18)-4+62》 =-108-1 =-218 [变式2】M-N=-7-(←-》-[1.2- (-1.2)-2.5] =+号4-250 -7+0.1>0, .M>N. 128 [变式3] m2@g<+ (2)A 2.2有理数的乘法与除法 2.2.1有理数的乘法 [变式1](1)原式=-3.14×35.2-3.14× 46.6-3.14×18.2 =-3.14×(35.2+46.6 +18.2) =-3.14×100 =-314. (②)原式=12x+12×名×13+1) =4+3-15 =-8. [变式2] 1)原式-(26+)×( =-(s×+×周 =-(28+1) =-29. (2)原式=-(0272)×36 =-92X36十 ×36 =-3312+号 =-3312 2.2.2有理数的除法 [变式1]D [变式2]（1)一；三. ②原式的倒数为刘后是+号)(2》第章 有理数的运算 2.2 有理数的乘法与除法 2.2.1 有理数的乘法 重点和难点 课标要求 重点：运用有理数的乘法法则正确进行计算， 1.掌握有理数的乘法法则，能运用它正确进行有 难点：有理数乘法法则的探索过程，符号法则及对法则理数的乘法运算. 的理解！ 2.能运用乘法运算律简化运算。 01必备知识 知识点1 有理数的乘法法则 (2)(-5)×(-6)×3×(-2); (3)(-2012)×(-2013)×2×(-2024)× 1.两数相乘，同号得正，异号得负，且积的 0×(-2025). 绝对值等于乘数的绝对值的积。 解析(1)(-2)×3×4×(-5)=2×3×4×5 2.任何数与0相乘，都得0. =120. [注意]“同号得正，异号得负”只适用于 (2)(一5)×(-6)×3×(-2)=一5×6×3×2 两个非零有理数相乘， =-180. 两个有理数相乘示例： (3)(-2012)×(-2013)×2×(-2024)×0× 异号得负 同号得正 (-2025)=0. (-5)×(4)=年(5×4) (3)x()=×引 敲果板） 绝对值相乘 绝对值相乘 (1)两个非零有理数相乘时，先确定积的符号， 同号两数相乘 异号两数相乘 再确定积的绝对值， 3.几个不是0的数相乘，积的符号由负因 (2)有理数相乘，当因数中有带分数时，先把带 数的个数决定.当负因数的个数是偶数时，积 分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小 是正数；当负因数的个数是奇数时，积是负数 数时，统一化为分数或小数，再相乘： 例①计算：-3×(-3)=( ) 知识点2 倒数的概念 A司 B.-9 C.9 1.乘积为1的两个数互为倒数，用式子表 点拨两个因数都是负数，所以积是正数。 示为aX二=1（其中a≠0），即若a是不等于0 解析-3×(-3)=3×3=9. 图案C 的有理数，则a的倒数是.于是有 例2计算： (1)(-2)×3×4×(-5); ab=1台a,6互为倒数b=1(a≠0). 27 重难点手册七年级数学上册®O 2.相反数与倒数的不同点和相同点 c-(-2与-+引 相反数 倒数 相同点 都成对出现 n-与+(-2) 只有符号不同的两个乘积是1的两个数 文 数互为相反数 互为倒数 圆-=号与十（一=-2互为数 a(a≠0)的倒数是 容案D 素 a的相反数是一a 知识点3 有理数乘法的运算律 点 运算律 文字叙述 用字母表示 性 若a,b互为相反数， 若a,b互为倒数， 则a十b=0 则ab=1 乘法 有理数乘法中，两个数相乘， ab=ba 交换律 交换因数的位置，积相等 判 若a十b=0,则a,b互 若ab=1,则a,b互 为相反数 为倒数 有理数乘法中，三个数相乘， 乘法 结合律 先把前两个数相乘，或者先(ab)c=a(bc) 易错点对倒数的理解错误 把后两个数相乘，积相等 例倒数等于它本身的数是 错解0或1. 有理数乘法中，一个数同两 错因本例易错填“0或1”，乘积是1的两个 个数的和相乘，等于把这个a(b十c) 分配律 数互为倒数，0没有倒数，又因为（一1）×(-1)=1， 数分别同这两个数相乘，再ab十ac 所以一1的倒数也等于它本身.漏掉-一1这个答案， 把积相加 主要受到小学所学知识的影响。 例5计算： 正解-1或1. 例3下列说法正确的是( 1)10x号×0.1X6: A.负数没有倒数 2+62》×2 B.正数的倒数比自身小 C.任何有理数都有倒数 点拨(1)利用乘法交换律和乘法结合律把10 D.一1的倒数是一1 和0.1相乘，号和6相乘，然后把所得乘积相乘即可。 解析负数也有倒数，例如一2的倒数为一 1 ,故 (2)利用分配律先计算乘法，然后把所得结果相加减 即可， A错误.号的倒数为2，<2，放B错误.0没有倒数， 团(1)原式=(10×0.1)×（号×6） 故C错误。 =1×2 答案D =2. 例4下列各组数中互为倒数的是( A.2与-|-2 (2原式-×12+日×12号×12 B-(+2)与-2 =3+2-6 =-1. 28 第台章 有理数的运算 02关健能力提升 题型1 求倒数的方法 (4)因为1.4=1 27 15 55,且 77, 5 类型 方法 示例 非零整数 用这个数作分母，1作 3的倒数是？，-3 所以1.4的倒数是 7 a的倒数 分子，即直接写成 的倒数是- 题型2 运用有理数的乘法法则计算 a 3 3 的倒数是 例7计算： 分数”(m 把这个分数的分子 m 和分母交换位置，即 49 ≠0，n≠ 35的倒数是 1w-×(8）: 0)的倒数 ”的倒数是” 5 9 2)43×(-12》: 1 先把带分数化成假 2 带分数的 分数，再交换分子和 (8-)×是×1.5x(-1》: 倒数 以-12的倒数是 分母的位置 2 1 3 (4)2024X(-2023)×0×(-2022). 0.5= 小数的 先把小数化成分数， 2,所 解肠(1)原式=是×号一子 3 82 倒数 再求其倒数 以一0.5的倒数是 -2 2原式=-侣×)=是 例6求下列各数的倒数： 1)-2;(2)-号； 3 (3)-1； (4)1.4. (4)原式=0. 点拔根据定义可知，要求a(a≠0)的倒数，只 题型 运用有理数的运算律简化计算 要求上即可 解析(1)因为二2一2， 1 1 例8计算：(-36)×(- +8 所以-2的倒载是司 图题(-36)×（号+）-(-36)× 1 5 (2)因为 3 3 (-号)+(-36)×8+(-36)×(-)=16-30+ 21=7. 所以-3。 的倒数是一5 3 ◆变式1计算： ③)因为-1号，且 12 7 (1)-3.14×35.2+6.28×(-23.3)- 1212 1.57×36.4; 所以-1号的数是 (212x(号+)-13×3-17×2 29 重难点手册 七年级数学上册®J 例9计算：(1)-9 ×6 (3)带分数应先化为假分数 (4)几个分数相乘，先约分再相乘， e57×0+27× 55 (5)一个数与几个分数的和相乘，通常可运用 点遐把算式中接近某个整数的因数拆分成两 分配律简化运算，但值得注意的是符号不能忽略 个数的和或差，再用分配律进行计算， 易镫点误用乘法分配律 圆团(1)-99×62=-(10-)×62= 圆计算：-12×（品-以 7 -(10×62-7×62)=-(620-2)=-618. 错解一 原或=-12x -12x8-12x1 2)57×器+27×器-57×1)+27× =-7-10-12 =-29. (1-）=7X1-57x6+27×1-27×8-57-照 错解二 原式=-12×品+12x名+1 +27- -6+-+=-1-2品 =-7+10+1 点评例9中的计算直接相乘很麻烦，故可根据 =4. 所求式的特点，把乘数拆成两项，然后运用分配律进 错因错解一是运用分配律时出现符号错误， 行计算。 错解二是漏乘了一项， ●变式2计算： 正解原式三-12X12十12X5 6+12x1 w261×-, =-7+10+12 =15. (2)91 x(-6d 防误区 记方法）财 运用分配律时出错 运用乘法运算律简化运算的一般方法有： 对于形如k(a十b十c)的算式，若a,b,c是分 ()几个数相乘，常将其中积为整数的两个数 数，且k可以分别和a,b,c的分母约分得到整数， 调整到一起，或将互为倒数的两个数调整到一起 则用分配律可以简化运算.注意相乘时括号里的每 (2)小数与分数相乘，一般先将小数化成分数 个数都要带上它前面的符号，且不要漏乘括号中的 后再相乘。 任何一项】 03热点考向聚焦 考向1 有理数的乘法运算 有一个因数是负数，则另一个因数必为负数。 答案D 例10(2024·天津中考)若(-3)×☐的 例1口(2023·菏泽中考)若实数a,b,c在 运算结果为正数，则口内的数字可以为 数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子中 正确的是(). A.2 B.1 C.0 D.-1 0b c 点拨两数相乘积为正，则两个因数同号，其中 A.c(b-a)<0B.b(c-a)<0 第台章 有理数的运算 C.a(b-c)>0 D.a(c+b)>0 考向3 新定义问题 解析由数轴可知a<0<b<c, .b-a>0,c-a>0,b-c<0,c+b>0, 例14（经典·雅安中考）P为正整数，现 .c(b-a)>0,b(c-a)>0,a(b-c)>0, 规定P！=P(P一1)(P一2)×…×2×1，若 a(c十b)<0,故选项A,B,D中的式子错误，选项C中 m！=24,则正整数m= 的式子正确. 解析因为P!=P(P一1)(P-2)X…X2X 图案C 1=1X2×…×(P-2)(P-1)P,所以m!=1×2X…× 考向2 倒数的概念 (m-1)m=24.因为1×2×3×4=24，所以m=4. 例12(2023·十堰中考)一3的倒数是 答案4. a 例15形如 的式子叫作二阶行列 A.3 B号 C.- 3 D.-3 a 答案C 式，它的运算法则用公式表示为 d 例13（经典·菏泽中考）下列各组数互为 2 1 倒数的是( ) bc, 依此法则计算 的结果为 A.4和一4 B.一3和 3 ( C-2和司 A.11 B.-11 D.0和0 C.5 D.-2 解析4×（一4）≠1，故选项A不符合题意；一3X 解析根据问题中给出的运算法则，列出算式计 号1，故选项B不符合题意：一2×(》-1，故选 21 算： =2×4-(-3)×1=11. 项C符合题意；0没有倒数，故选项D不符合题意. -34 答案C 答案A 31