2.1.1 有理数的加法-【重难点手册】2026-2027学年七年级上册数学（人教版·新教材）

2 第二章 有理数的运算 2.1有理数的加法与减法 2.1.1有理数的加法 重点和难点 课标要求 1.掌握有理数加法法则. 重点：有理数加法法则的理解和运用 2.能熟练运用加法法则进行两个或多个有理数的加法 难点：异号两数相加的符号判定和大小确定. 计算。 01必备知识 理 知识点1 有理数的加法法则 错因 (1)对有理数的加法法则理解有误， 1.同号两数相加，符号不变，且和的绝对 (2)设有理解-1号的意义，错起-12新成 值等于加数的绝对值之和.如： (+5)+(+9)=+(15|+191)=+14; (-5)+(-9)=-(|-5+1-91)=-14. 正解 1)(6)+3号=-(6号 2.绝对值不相等的异号两数相加，和的符 号取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值 =-3. 等于加数中绝对值较大者与较小者的差.如： (+2)+(-6)=-(|-6|-|+2|)=-4; 2(-12)+日=-12+号-10-1 (-2)+(+6)=+(|+6|--2)=+4. 敲果板 00 3.互为相反数的两个数相加得0. 用字母表示加法法则 ±a+(-a)=0 4.一个数与0相加，仍得这个数。 (1)同号两数相加时： xa+0-a 若a>0,b>0,则a十b=+(a十|b); 易错点滥用加法法则 若a<0,b<0,则a+b=-(a+lb|). 圆计算：1(-6)+3： (2)异号两数相加，绝对值不相等时： 若a>0,b<0,la>lb1, 2-1+2 则a十b=+(a-lb); 若a>0,b<0,lal<lbl, 错解①)原式=-(6日+3》 则a+b=-(b-la). (3)若a>0,b<0,a=|b|, 3· 则a十b=0. (2公)原式=-1+号+日-0 (4)a+0=a. 第台 有理数的运算 知识点2 有理数的加法运算律 例刀计算：16+(-25)+24+(-32)+ (-5)+(-13). 表现形式 运算律 点拨同号的几个数先相加，容易确定和的符号， 文字叙述 用字母表示 最后剩下一对异号的数相加，和的符号取绝对值大的数 加法 两个数相加，交换数的 a+b=b+a 交换律 位置，和不变 的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值， 三个数相加，先把前两 解析原式=(16+24)+[(-25)+(-32)十 加法 个数相加，或者先把后 (a+b)+c=a十 (-5)+(-13)] 结合律 (b+c) 两个数相加，和不变 =40+(-75) 在有理数的加法运算中，灵活运用运算律 =-(75-40) 可简化运算过程 =-35. 02关键能力提 题型1 有理数加法的运算 两个数( A.必定都为负数 B.总是一正一负 进行有理数加法运算时，应按照以下“ C.可以都是正数 D.至少有一个负数 判二定三加减”的步骤， 第一步：判断加法的类型并根据加法的类 题型2运用加法运算律进行简便运算 型确定使用哪一个法则； 利用有理数的加法运算律可以使计算更 第二步：根据加数绝对值的大小及加数的 加简便 符号确定和的符号； 例3用简便方法计算： 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的 (1)-2.4+(-3.7)+(-4.6)+5.7; 绝对值 例2计算： (2)- +13+(-)-1. (1)(-2)+(-5); 解析(1)方法一 2+3)+(-: 原式=[(-2.4)+(-4.6)]+[(-3.7)+5.7] =(-7)+2 (3)(-9.5)+(+9.5); =-5. (4(-3)+0, 方法二 原式=[(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)]+5.7 解析(1)原式=-(2十5)=一7. =(-10.7)+5.7 ②原式-+6号)-+(3岛》 =-5. 8 (2)原式- (》+( +(13+17) =-1+30 (3)原式=0. =29. (④原式=-3品 ◆变式2利用有理数的加法运算律计算： ◆变式1两个数相加，若和为负数，则这 (1)12+(-13)+8+(-7); 21 重难点手册 七年级数学上册®J (21.125+(-3)+(-日+(-0.6. 11 1 1 (2)计算：1X2+2X3+3×44×5 记方法 1 1 1 1 (3)计算：1X2十2X3+3x4+4X5++ (1)相反数结合法—一互为相反数的两个数可 1 先相加. 2025×2026 (2)同号结合法—符号相同的数先相加，即 可以先把正数与正数、负数与负数分别相结合，避 国面0哈日 免在确定符号上犯错 1 1 1 1 (2)1X2+2X3+3×44×5 (3)同分母分数结合法—把分母相同的分数 或容易通分的分数结合在一起.对分数的计算，应 1合+日吉+号+月 从分母出发考虑分组，即将分母相同的分成一组， 以便于计算，若分母有倍数关系，则先通分再相加. =1 1 1 (4)凑整法一相加得整数的几个数可先 1 (3)1X2+2X+3x4+4X+…+ 相加. 2 (5)同形结合法—带分数相加时，先将其拆 2025×2026 成整数和分数，再利用加法运算律相加.分开的整 =1- 11 、号+1-141-1+ 3十3-4+4- 数部分与分数部分必须保留原分数的符号，运算符 1 1 号和性质符号要用括号分开 20252026 (6)异号且绝对值相近的两数可先相加！ =1- 12025 20262026 例4你能用两种较简便的方法计算下 1141 式吗？ ●变式3计算：1X3十3X5十X7十+ (+1)+(-2)+(+3)十(-4)+…+ (+99)+(-100). 2025×20271 解析方法一原式=[1+(-2)]+[3+(-4)] 拓视野 ++[9+(-101=(-1D×1g90-50 拆项求和 拆项法，即把一项或一个数拆分开，拆项后重 方法二原式=1+[(-2)+3]+[(-4)+5] 新相加或错位相加，使本来采用常规方法不易解决 +…+[(-98)+99]+(-100)=1+1×49+ 或不能解决的计算或比较大小类问题变得容易解 (-100)=-50. 决或能解决.例5中，两个相邻正整数的积的倒数 圆国观察下列各式：X2=12 可以通过拆项拆成这两个数的倒数的差，再利用 “互为相反数的两数的和为0”将中间的项全部消 ggg日 去，只剩下首尾两项，便可简化运算.以下是两个常 见拆项公式： (1)请根据以上式子的特点完成下列各 1 (1) 11 1 题：8X9 n(n+1)nn+1 n×(n+1) 1 (2 1(1-1 (n是正整数). n(n+)n一n+k 22 第 有理数的运算 03热点考向聚 焦 考向71 有理数的加法运算 最低价：27+(+4)+(+4.5)+(-1)+(-2.5) +(-4)=28(元) 例6(2024·长春中考)根据有理数的加 故本周内每股最高价是35.5元，最低价是28元. 法法则，计算2+（一3）的过程正确的是 ( 考向3 有理数与数轴、相反数、绝对值 等知识的综合应用 A.+(3+2) B.+(3-2) C.-(3+2) D.-(3-2) 例9（经典·吉林中考）若有理数a,b,c 答案D 在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确 考向2 有理数加法的实际应用 的有( C b 例7（经典·甘孜州中考）气温由一5℃ 之10123 上升了4℃时的气温是( ①b+c>0;②a+b>a+c;③a+c<0; A.-1℃ B.1℃ ④a+b>0. C.-9℃ D.9℃ A.1个 B.2个C.3个 D.4个 解析-5十4=-1（℃）. 解析由图可知c<0<b<a,且a>|c>bl, 容案A 故b十c<0,①错误； 例8（经典·南京中考）股民吉姆上星期 a十c>0,③错误； 五买进某公司股票1000股，每股27元，下表 a十b>0,④正确； 为该股票本周内每日的涨跌情况（单位：元）， 由a十c<a,a十b>a,得a十b>a十c,故②正确. 星期 四 五 答案B 每股涨跌 +4 +4.5 2.5 —4 例10（经典·黄冈中考）若|x十3|与 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ 2y一4互为相反数，求x+y的值 (2)本周内每股最高价是多少元？最低价 点拨如果两个数互为相反数，那么这两个数的 是多少元？ 和等于0，所以|x十3|+|2y一4|=0.由绝对值的非 恩遐本周内每天的股票价格都是在前一天的 负性，可求出x,y的值，然后代入即可. 基础上涨跌的. 解析因为x十3|与2y一4互为相反数， 解析(1)27+(+4)+（十4.5）+(-1)= 所以|x+3|+|2y-4|=0. 34.5(元). 又因为x+3≥0,12y-4|≥0， 故周三收盘时，每股是34.5元. 所以x十3=0,2y-4=0, (2)本周内每股最高价：27+(+4)+(+4.5) 于是x=-3,y=2. 35.5(元). 故x十y=-3十2=-1. 23变式参考答案与提示 变式参考答案与提示 第一章有理数 第二种情况，相遇后相距20个单位长度， 1.1正数和负数 100÷(3+5)=12.5(秒)，即P,Q两只电子 [变式门0提示：-4，-27-7-1.23 蚂蚁在12.5秒时相遇， 20÷(3+5)=2.5(秒)，即P,Q两只电子蚂 是负数 蚁相遇后继续运动2.5秒时，彼此相距20个 1.2有理数及其大小比较 单位长度 1.2.1有理数的概念 所以经过15秒，两只电子蚂蚁在数轴上相 [变式1]C提示：A项中，有理数应该包括 距20个单位长度. 正有理数、0和负有理数；B项中也漏掉了O; 答：经过10秒或15秒，两只电子蚂蚁在数轴 D项中的非正整数是指0和负整数，不包括 上相距20个单位长度. 分数 1.2.3相反数 1.2.2数轴 [变式1]A提示：C的对面是0，B的对面 [变式1]D 是2，A的对面是一1. [变式2]C提示：点A可以向右移，也可以 1.2.4绝对值 向左移 [变式1门(1)±6.(2)0. (3)±3. (4)士4， [变式3](1)如图所示. 士3，士2，士1,0. (5)士4. 1.2.5有理数的大小比较 [变式1]A (2)A,B,C三点表示的数分别为4，一1,1. [变式2](1)如图所示. (3)点C可以看作蚂蚁从原点出发，向右爬 行1个单位长度： -x y 0-y x (2)x>-y>0>y>-x. [变式4]设经过t秒后，两只电子蚂蚁在数 第二章有理数的运算 轴上相距20个单位长度， 2.1有理数的加法与减法 本题分为两种情况：相遇前相距20个单位 2.1.1有理数的加法 长度和相遇后相距20个单位长度 [变式1]D 第一种情况，相遇前相距20个单位长度. [变式2](1)原式=(12十8)+[(-13)十(-7)] 即100-(3+5)t=20,解得t=10(秒). =20+(-20)=0. 所以经过10秒后，两只电子蚂蚁在数轴上 相距20个单位长度. (2)原式=1.125+(】+[（-3)+ 127 重难点手册 七年级数学上册®① (-0.6)] [变式3] a0哈出@g<是 a =1+(-4)=-3. (2)A [变式3] 原式=2×（日）+2× 2.2有理数的乘法与除法 2.2.1有理数的乘法 日》+3×（日-》+…+合 [变式1](1)原式=-3.14×35.2-3.14× 01 46.6-3.14×18.2 5 =-3.14×(35.2+46.6 1 2025 2027 +18.2) h-2a》- =-3.14×100 =-314. 2.1.2有理数的减法 [室式门原式=号1是专青 2)原式=12×号+12×号合×13+1n) =4+3-15 (号3》+(-1》 =-8. =(-1)+(-1) [变式2] 1)原式-(2+)×() -2 2原式=7骨-4分-18日6号 =-(28+1) =-29. =8-1s2》-(号+62》 (2原式=-(92-)×36 =-92×36+ ×36 =-218 -3312+号 [变式2】M-N=-7-（←-)-[1.2 =-3312 (-1.2)-2.5] 2.2.2有理数的除法 =+号-2.4-25 [变式1]D =7+0.1>0, [变式2](1)一；三. .M>N. 2)原式的倒数为信是+号-引（动） 128