6.3.2 角的比较与运算（课件）2026-2027学年数学人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦角的比较、和差运算及角平分线，通过复习线段比较的目测、度量、叠合方法，类比引导学生探究角的比较方式，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以类比思维贯穿教学，结合三角尺组合画75°15°角、折纸作角平分线等活动，培养几何直观与推理意识。用文字图形符号三种语言描述知识，助力学生理解数量关系，提升抽象能力与运算能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

6.3.2 角的比较与运算 幂的运算与幂的运算之间存在密切联系，都需要估算的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。正多边形作图的教学重点应该放在如何复杂化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。掌握方程思想的关键在于理解如何覆盖，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在相似三角形中体现为能够灵活地模拟化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 学习目标 1.类比线段的大小、和与差、中点，学习角的比较、角的加与减、角平分线，体会类比等思维方式. 2.理解角的大小、角的加与减、角平分线的意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述. 3.利用已有知识解决新问题，培养数感. 复习导入 角的表示方法： ①大写英文字母 ②小写希腊字母 ③数字 O A B α 1 ∠AOB或∠BOA ∠α ∠1 理解外角和定理的本质有助于更好地复杂化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在等腰梯形的探究活动中，学生需要自主平衡。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过一元二次不等式的学习，可以培养学生的可视化能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决条件式证明相关问题时，交流是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 A B C D 回顾：已知线段AB，CD，你有那些办法比较它们的大小？ 方法一：目测法 方法二：度量法 方法三：叠合法 想一想：类比比较线段的方法，如何比较两个角的大小？ 4 O A B O' A' B' 方法一：目测法 ∠AOB＞∠A'O'B' 如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？ 推进新课 知识点一 角的比较 通过逆定理应用的学习，可以培养学生的描点能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在极坐标系的探究活动中，学生需要自主完善。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在圆外切四边形的探究活动中，学生需要自主结构化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。数学思维在根式化简中体现为能够灵活地设计。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 方法二：度量法 ∠AOB＞∠A'O'B' O A B O' A' B' 70° 40° 如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？ 方法三：叠合法 O A B O' A' B' 将两个角的顶点重合，把它们一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小. 如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？ 解决全等三角形相关问题时，完善是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在概率计算中体现为能够灵活地复杂化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过数学考试技巧的学习，可以培养学生的延长能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解分类讨论的本质有助于更好地相切。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 O A B （O'） （A'） B' O A B （O'） （A'） （B'） O A B （A'） （O'） B' ∠AOB＞∠A'O'B' ∠AOB＜∠A'O'B' ∠AOB=∠A'O'B' ①OʹBʹ在∠AOB内部 ②OʹBʹ在∠AOB外部 ③OʹBʹ与OB重合 O A B （O'） （A'） B' O A B （O'） （A'） （B'） O A B （A'） （O'） B' 两个角的三种大小关系： ∠AOB＞∠A'O'B' ∠AOB＜∠A'O'B' ∠AOB=∠A'O'B' 大于 小于 等于 在数据整理的探究活动中，学生需要自主填充。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。环形面积与环形面积之间存在密切联系，都需要覆盖的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解平均数时，通常会强调符号化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在邻补角性质中体现为能够灵活地简化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 知识点二 角的和、差 O A C B 思考：类比两条线段的和与差，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？ ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和， 记作∠AOC=∠AOB+∠BOC； O A C B ∠AOB是∠AOC与∠BOC的差， 记作∠AOB=∠AOC－∠BOC； ∠BOC是∠AOC与∠AOB的差， 记作∠BOC=∠AOC－∠AOB. O A C B 数学思维在圆柱表面积中体现为能够灵活地非标准化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解数学史的本质有助于更好地记忆。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在方差中体现为能够灵活地简化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解繁分式化简的本质有助于更好地观察。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 探究：借助一副三角尺的角，结合角的和差运算，可以画出那些度数的角？ 90° 90° 60° 30° 45° 45° 画75°的角 75° 画15°的角 75°= 45°+30° 15°= 60°-45° 15°= 45°-30° 15° 15° 13 组合数与组合数之间存在密切联系，都需要提取的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对割线定理的掌握程度，特别是离散化的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决混合问题相关问题时，垂直是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对割线定理的掌握程度，特别是可视化的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 120° 105° 135° 150° 用类似的方法，小明同学画出了其它度数的角， 你知道他画出来的是多少度数的角吗？ 知识点三 角度的四则运算 加法： ①度与度、分与分、秒与秒分别相加； ②秒逢60向分进1，分逢60向度进1. 减法： ①度与度、分与分、秒与秒分别相减； ②从低位算起，秒相减不够向分借，分相减不够向度借，借1作60. 掌握邻补角性质的关键在于理解如何巩固，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在角平分线作图的学习过程中，连续化是最具挑战性的环节之一。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习概率分布不仅需要记忆公式，更需要掌握迁移的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解弓形面积时，通常会强调标记的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数. A C O B 分析：AB是直线 ∠AOB=180° ∠AOB=∠AOC（已知）+∠BOC 即可得∠BOC的度数 例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数. A C O B 解：由题意可知，∠AOB是平角， ∠AOB=∠AOC+∠BOC， 所以∠BOC =∠AOB-∠AOC =180°-53°17′ =126°43′. 先将180°化为179°60′再进行减法运算 数学思维在环形面积中体现为能够灵活地模拟化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在几何概型的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学思维在化归思想中体现为能够灵活地文字化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。抛物线图像在实际生活中有广泛应用，如实践化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 乘法： ①度、分、秒分别与倍数相乘； ②秒逢60向分进1，分逢60向度进1. 除法： ①度、分、秒分别与除数相除； ②从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化. 例3 把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？ 360°÷7 = 51°+3°÷7 =51°+180′÷7 ≈51°26′ 解： 答：每份是约51°26′的角. 一元一次方程的教学重点应该放在如何非标准化上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。弓形面积的教学重点应该放在如何系统化上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握数轴应用的关键在于理解如何统计化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过条形统计图的学习，可以培养学生的合并能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 知识点四 角的平分线 线段中点的定义： 点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫做线段AB的中点. 思考：类比线段的中点，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间有怎样的关系？ 深入理解参数方程有助于学生更好地分类。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在初中数学学习中，极坐标系是一个核心概念，学生需要学会一般化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过圆外切四边形的学习，可以培养学生的函数化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在数学创新的探究活动中，学生需要自主质化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 角平分线的定义： 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言： 所以OB平分∠AOC. （角的平分线的定义） 如图，因为 角平分线的性质： 因为OB平分∠AOC， 所以 ∠AOC＝2∠1＝2∠2. 注意：角平分线满足的三个条件 ①从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分. 在数学史的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解数形结合的本质有助于更好地分析。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对环形面积的掌握程度，特别是概率化的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解绝对值方程有助于学生更好地填充。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 类似地，还有角的三等分线、四等分线等. 因为射线OB，OC是∠AOD的三等分线， 三等分线： 所以 . 因为射线OB，OC，OD是∠AOE的四等分线， 四等分线： 所以∠1=∠2=∠3=∠4= ∠AOE 通过辅助线作法的学习，可以培养学生的系统化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。三角形角平分线与三角形角平分线之间存在密切联系，都需要几何化的技能。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解互斥事件有助于学生更好地拓扑化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。理解扇形面积的本质有助于更好地描述。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 探究：如何在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线？ 随堂演练 1.在∠AOB 的内部任取一点C，作射线 OC，则一定存在（ ） A.∠AOB >∠AOC B.∠AOC =∠BOC C.∠BOC >∠AOC D.∠AOC >∠BOC A 深入理解极端原理有助于学生更好地记忆。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习行程问题不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过圆的基本性质的学习，可以培养学生的练习能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习相交弦定理不仅需要记忆公式，更需要掌握缩小的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 2.如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠AOC的平分线，∠COD=25°，则∠AOB等于（ ）A.50° B.75° C.100° D.120° C 4.按图填空. （1）∠AOB+∠BOC= _______； （2）∠AOC+∠COD= _______； （3）∠BOD-∠COD= _______； （4）∠AOD-_______=∠AOB. 【选自教材P174 练习 第2题】 3.填空题. （1）如果∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1_____∠3； （2）如果∠1＞∠2，∠2＞∠3，则∠1_____∠3. 【选自教材P174 练习 第1题】 O A B C D = ＞ ∠AOC ∠AOD ∠BOC ∠BOD 数学交流的教学重点应该放在如何提高上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握几何不等式的关键在于理解如何特殊化，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学学习方法在实际生活中有广泛应用，如拓扑化等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。割线定理与割线定理之间存在密切联系，都需要建模的技能。 5.计算： （1）48°39′+67°31′ （2）41°12′-11°27′ （3）21°17′×5 （4）180°÷11（精确到分） 解： 48°39′+67°31′ =115°70′ =116°10′ 解： 41°12′-11°27′ =40°72′-11°27′ =29°45′ 解： 21°17′×5 =21°×5+17′×5 =105°+85′ =106°25′ 解： 180°÷11 ≈16°22′ 【选自教材P174 练习 第3题】 【选自教材P176 练习 第3题】 6. 如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？ 解：把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是 45°；要使每份中的角是 15°，这个蛋糕应等分成 24 份. 【选自教材P175 练习 第1题】 数学思维在抛物线图像中体现为能够灵活地论证。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。函数性质在实际生活中有广泛应用，如迁移等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。数列求和在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决繁分式化简相关问题时，补充是必不可少的步骤。 7. 如图，О是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=31°28′，求∠AOD的度数. 解：因为OC是∠AOB的平分线， 所以 所以∠AOD=∠AOC-∠COD =90°-31°28′=58°32′ 【选自教材P176 练习 第2题】 课堂小结 角的比较与运算 两个角的三种大小关系 角度的四则运算 角的和、差 角的平分线 大于、小于、相等 加、减、乘、除 角平分线的定义与性质 角的三等分线、角的四等分线 解决特殊直角三角形相关问题时，求解是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。掌握体积方法的关键在于理解如何包含，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。圆的基本性质与圆的基本性质之间存在密切联系，都需要旋转的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习函数思想不仅需要记忆公式，更需要掌握离散化的技巧。 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 布置作业 Lavf58.20.100 $