4.6 函数的应用(二)导学案——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学导学案聚焦函数的应用，核心知识点为幂函数、指数函数、对数函数等常用模型的建立与实际问题解决。通过“温故”链接指数、对数、幂函数定义，“知新”梳理模型类型与解题步骤，搭建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于以烟花高度、茶水温度等真实情境设计基础过关题，引导学生用数学眼光观察现实，通过数据分析建立模型培养数学思维，用函数语言表达规律提升应用意识。反思部分融入数学史，激发探究兴趣，助力核心素养发展。

4.6 函数的应用(二) 预习提要 1.了解幂函数、指数函数、对数函数的广泛应用； 2.通过对数据的合理分析，建立合适的函数模型，解决实际问题； 3.阅读课本P42—P44内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 1.指数函数的定义：一般地，函数 称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1． 2.对数函数的定义：一般地，函数 称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1． 3.幂函数的概念：一般地，函数 称为幂函数，其中α为常数. 二、知新：课本研习梳理 1.常用函数模型： 常用函数模型 一次函数模型 y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 y=ax2+ bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 (a，b，c为常数，b ≠ 0，a>0且a≠1) 对数函数模型  (m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 (a，b为常数，a≠0) 分段函数 2.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法： 根据题意选用恰当的函数模型将 化归为数学问题； 利用待定系数法，确定具体函数模型； 通过运算、推理求解 ； 用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题. 基础过关 1.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是( ) A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 2.中国茶文化博大精深，某种红茶用的热水冲泡，待水温降至时饮用口感最佳.已知室温为，经验表明，从开始，经过分钟后的温度为，可选用函数模型近似刻画茶水温度随时间变化的规律.则在上述条件下，该红茶达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是( )（参考数据：） A. B. C. D. 3.已知某放射性同位素的含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，t的值约为( ).附：. A.23 B.33 C.45 D.62 4.某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量y（单位：只）与监测时间t（单位：年，）近似满足函数关系.已知监测第2年时，种群数量为3200只，则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为( ) A.2.5年 B.3年 C.3.5年 D.4年 5.通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）.若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为________________℃时的蒸发速度为1.6升/小时. 反思 我们学习的幂函数y=xα，并不是一蹴而就形成的。最早人们只研究一次、二次、三次函数，认为指数只能是整数。数学家沃利斯为了解决曲线面积计算问题，大胆提出分数指数与负指数，把反比例函数、根式函数统一为幂函数形式，并且率先对比不同指数对应的曲线形态。之后牛顿拓展二项式定理，让分数次幂能够运算；欧拉最重要的贡献是分清了幂函数和指数函数两个容易混淆的函数。一代代数学家不断拓展指数范围，从整数到分数，再到全体实数。从零散的曲线，到统一的表达式，最终总结出我们课本上幂函数丰富多彩的图象与变化性质。 答案及解析 温故：课前知识链接 1.y＝ax 2.y=loga x 3.y=xα 知新：课本研习梳理 1.y=bax+c y=mlogax+n y=axn+b 2.实际问题 函数模型 基础过关 1.答案：A 解析：由题意，，则当时，烟花达到最高点，即爆裂的时刻是第4秒.故选A. 2.答案：A 解析：令，得，则需要放置的时间最接近的是 3.答案：D 解析：由题意得，即，两边取对数得，即， 解得. 4.答案：B 解析：由题意知，所以，解得，所以.令，解得. 5.答案：40 解析：由题设，有，可得，令，可得.故答案为：40. 学科网（北京）股份有限公司 $