4.4 幂函数 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学导学案聚焦幂函数，引导学生掌握幂函数的概念、性质及常见图象。通过“温故”环节复习对数函数的定义域、单调性等性质，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生自然过渡到新知学习。 资料亮点在于融入幂函数发展的数学史，引导学生感悟数学概念的形成过程，培养数学眼光。基础过关题涵盖概念辨析、图象分析等，锻炼学生逻辑推理与抽象思维能力，助力数学思维发展，同时通过预习、研习、练习的递进设计，提升学生用数学语言表达的能力。

4.4 幂函数 预习提要 1.了解幂函数的概念与性质； 2.了解常见幂函数的图象； 3.阅读课本P33—P37内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 对数函数的性质： 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R 单调性 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数 共点性 图象过点 ，即loga1=0 对称性 函数y=logax与 的图象关于x轴对称 二、知新：课本研习梳理 1.幂函数的概念：一般地，函数 称为幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质：一般地，幂函数y=xα随着α的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征： (1)所有的幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点 ． (2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数． (3)如果α<0，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，且在第一象限内： 当x从右边趋向于 时，图象在y轴右方且无限地通近y轴； 当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． 基础过关 1.已知函数为幂函数，则实数a的值为( ) A.或2 B.或1 C. D.1 2.已知函数是幂函数.则( ) A. B.2 C. D.1 3.图中，，为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是( ) A.，3， B.，3， C.，，3 D.，，3 4.“”是“为幂函数”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数（m为常数）的图象恒过定点，则__________. 反思 我们学习的幂函数y=xα，并不是一蹴而就形成的。最早人们只研究一次、二次、三次函数，认为指数只能是整数。数学家沃利斯为了解决曲线面积计算问题，大胆提出分数指数与负指数，把反比例函数、根式函数统一为幂函数形式，并且率先对比不同指数对应的曲线形态。之后牛顿拓展二项式定理，让分数次幂能够运算；欧拉最重要的贡献是分清了幂函数和指数函数两个容易混淆的函数。一代代数学家不断拓展指数范围，从整数到分数，再到全体实数。从零散的曲线，到统一的表达式，最终总结出我们课本上幂函数丰富多彩的图像与变化性质。 答案及解析 温故：课前知识链接 (0，+∞) (1，0) 知新：课本研习梳理 1.y=xα 2.(1)(1，1) (2)[0，＋∞) (3)原点 基础过关 1.答案：C 解析：因为为幂函数，所以，即或.又，所以. 2.答案：C 解析：因为函数是幂函数，所以，所以，所以，所以.故选：C. 3.答案：D 解析：由题图可知，：在第一象限内单调递减，则指数的值满足；：在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足；：在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数的值满足.故选D. 4.答案：A 解析：因为为幂函数，所以，解得或，所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 5.答案：3 解析：在中，令，得，则的图象过定点，则，，即. 学科网（北京）股份有限公司 $