1.4线段垂直平分线与角平分线（1） 教学设计 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过七年级线段轴对称性质的折纸操作导入，衔接旧知，搭建从直观感知到演绎推理的探究支架。 以动手折纸发展几何直观，通过点在线段上、外的分类证明培养推理能力，结合中考题与建自来水厂等实际应用强化应用意识，帮助学生形成“定义-性质-判定”思维路径，为教师提供清晰教学流程与分层练习。

1.4 线段垂直平分线与角平分线（1） 【教学目标】 1.通过演绎推理，证明并掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，进一步学会有条理地思考有象 教学目标 达，提升推理能力、 2在探索、证明的过程中，进一步理解线段的轴对称性质，发展几何直观和空间观念 【教学重点和难点】 重点:探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理， 难点:证明线段垂直平分线的性质及其逆定理时正确分类 【教学过程】 一、情境创设 问题1. 在七年级，我们知道线段是轴对称图形，请你折出它的对称轴.对称轴上的点具有哪些特征?画出示意图 问题2. “在一张薄纸上画一条线段，折叠画出线段的垂直平分线”的操作，引导学生在动手中体会轴对称、垂直平分等概念。 二、探索活动一：线段垂直平分线的性质定理 1. 线段AB的垂直平分线1与AB相交于点O，在1上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB一定相等吗?为什么? 在学生运用以往经验(图形变换)说明的基础上，进一步追问:如何严格证明?从线段垂直平分线的定义出发，可以得出哪些条件?从结论思考，有哪些证明线段相等的方法?从而引出用全等三角形证明的方法. 2. 新知导出 由此推出：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 。 符号语言： ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 3． 尝试练习： （1）（2026春•法库县期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm第（2）题 第（1）题 （2）（2025秋•天河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为60cm，则AC+BC＝（　　） A．30cm B．50cm C．55cm D．60cm 探究活动二：线段垂直平分线性质定理的逆定理 1.上述结论的逆命题成立吗?画出图形，写出条件、结论.你能找出到线段AB两端距离相等的点吗? 2. 问题引入 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？ 如何证明？ 3. 新知导出 探究：当点在线段上、线段外时，如何证明一定在的垂直平分线上。 若在上且，则是的中点，自然在其垂直平分线上。 若在外，过作，在直角三角形比较中可得，从而为垂直平分线。 由此得到： 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点，都在这条线段的 上。 符号语言： ∵PA＝PB， ∴点P在 上 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. 三、典例分析 例1如图，在中，、的垂直平分线相交于点。求证：点在的垂直平分线上。 得到结论：三角形三条边的垂直平分线会交于一点，该点到三角形 的距离相等。 变式 （2025秋•松原期末）如图，点O，F在△ABC内部，OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，FB＝FC，作直线OF． （1）连接OB，OC，求证：OB＝OC； （2）求证：OF垂直平分BC． 4、 小结思考 1. 线段垂直平分线的性质定理是什么，有什么作用?它的逆定理呢? 2. 回顾之前的学习，你还能举出一些“反过来想”的例子吗?（感悟“定义一性质一判定”的研究路径） 五、课堂练习 1．（2026•秦都区校级模拟）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，分别交AC、BC于点D、E，若AB＝8，AC＝10，则△ABD的周长是（　　） A．18 B．16 C．26 D．28第2题 第1题 2．（2026春•和平区校级期中）如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 3. 利用网格在图中找一点O，使OA＝OB＝OC. 4. 河边有两个村庄A、B，要在河岸CD上建一自来水厂P，使水厂到A、B两村的距离相等，请找出P的位置． 5．（2026春•蓝田县期末）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DE分别交AC、BC于点D、E，连接AE，AF是△ABC的角平分线． （1）求∠AEB与∠C的数量关系，并说明理由； （2）若∠BAC＝84°，∠FAE＝18°，求∠AEB的度数． 6．（2025秋•临泉县校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O． （1）若BC＝12，求△ADE的周长； （2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 1.4 线段垂直平分线与角平分线（1） 参考答案与试题解析 【教学目标】 1.通过演绎推理，证明并掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，进一步学会有条理地思考有象 教学目标 达，提升推理能力、 2在探索、证明的过程中，进一步理解线段的轴对称性质，发展几何直观和空间观念 【教学重点和难点】 重点:探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理， 难点:证明线段垂直平分线的性质及其逆定理时正确分类 【教学过程】 一、情境创设 问题1. 在七年级，我们知道线段是轴对称图形，请你折出它的对称轴.对称轴上的点具有哪些特征?画出示意图 问题2. “在一张薄纸上画一条线段，折叠画出线段的垂直平分线”的操作，引导学生在动手中体会轴对称、垂直平分等概念。 二、探索活动一：线段垂直平分线的性质定理 1. 线段AB的垂直平分线1与AB相交于点O，在1上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB一定相等吗?为什么? 在学生运用以往经验(图形变换)说明的基础上，进一步追问:如何严格证明?从线段垂直平分线的定义出发，可以得出哪些条件?从结论思考，有哪些证明线段相等的方法?从而引出用全等三角形证明的方法. 2. 新知导出 由此推出：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等 。 符号语言： ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA=PB （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 4． 尝试练习： （1）（2026春•法库县期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　D　） A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm第（2）题 第（1）题 （2）（2025秋•天河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为60cm，则AC+BC＝（　B　） A．30cm B．50cm C．55cm D．60cm 探究活动二：线段垂直平分线性质定理的逆定理 1.上述结论的逆命题成立吗?画出图形，写出条件、结论.你能找出到线段AB两端距离相等的点吗? 2. 问题引入 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？ 如何证明？ 3. 新知导出 探究：当点在线段上、线段外时，如何证明一定在的垂直平分线上。 若在上且，则是的中点，自然在其垂直平分线上。 若在外，过作，在直角三角形比较中可得，从而为垂直平分线。 由此得到： 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点，都在这条线段的 垂直平分线 上。 符号语言： ∵PA＝PB， ∴点P在 线段AB的垂直平分线 上 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. 三、典例分析 例1如图，在中，、的垂直平分线相交于点。求证：点在的垂直平分线上。 证明：连接OA，OB，OC. ∵点0在AB的垂直平分线厶上. ∴QA=OB(线段垂直平分线的性质定理). 同理，0A=0C. ∴OB=0C. ∴点0在BC的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的递定理)， 得到结论：三角形三条边的垂直平分线会交于一点，该点到三角形 三个顶点 的距离相等。 变式：（2025秋•松原期末）如图，点O，F在△ABC内部，OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，FB＝FC，作直线OF． （1）连接OB，OC，求证：OB＝OC； （2）求证：OF垂直平分BC． 证明：（1）如图，连接OA， ∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴OB＝OC； （2）∵OB＝OC， ∴点O在线段BC的垂直平分线上， ∵FB＝FC， ∴点F在线段BC的垂直平分线上， ∴OF是线段BC的垂直平分线， ∴OF垂直平分BC． 5、 小结思考 3. 线段垂直平分线的性质定理是什么，有什么作用?它的逆定理呢? 4. 回顾之前的学习，你还能举出一些“反过来想”的例子吗?（感悟“定义一性质一判定”的研究路径） 五、课堂练习 1．（2026•秦都区校级模拟）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，分别交AC、BC于点D、E，若AB＝8，AC＝10，则△ABD的周长是（　A　） A．18 B．16 C．26 D．28 第2题 第1题 2．（2026春•和平区校级期中）如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　A　） A．11 B．10 C．9 D．8 3. 利用网格在图中找一点O，使OA＝OB＝OC. 4. 河边有两个村庄A、B，要在河岸CD上建一自来水厂P，使水厂到A、B两村的距离相等，请找出P的位置． 解：∵点P到A、B两村的距离相等， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，即线段AB的垂直平分线与CD的交点， 如图，点P即为所求． 5．（2026春•蓝田县期末）如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DE分别交AC、BC于点D、E，连接AE，AF是△ABC的角平分线． （1）求∠AEB与∠C的数量关系，并说明理由； （2）若∠BAC＝84°，∠FAE＝18°，求∠AEB的度数． 解：（1）∠AEB＝2∠C，理由如下： ∵DE是AC边的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∵∠AEB是△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C； （2）∵AF是△ABC的角平分线，∠BAC＝84°， ∴∠FAC∠BAC＝42°， ∴∠EAC＝∠FAC﹣∠FAE＝42°﹣18°＝24°， ∴∠C＝24°， ∴∠AEB＝2∠C＝48°． 6．（2025秋•临泉县校级期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O． （1）若BC＝12，求△ADE的周长； （2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 解：（1）∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝12 ∴△ADE的周长为12； （2）点O在BC的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接AO，BO，CO， ∵OM，ON分别是AB，AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $