25.3实际问题与一元二次方程增长率问题2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦增长率/降低率问题，通过多领域实际情境构建一元二次方程应用体系，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增长率/降低率应用|7题|已知初始量、变化次数及最终量，求增长率/降低率，含实际应用拓展|从实际问题抽象增长率模型，基于“初始量×(1±x)^n=最终量”公式推导，应用于经济、环保、教育等多领域|

1. 某公司今年销售一种产品， 月份获得利润万元．由于产品畅销．利润逐渐增加，月份的利润比月份的利润增加万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．设这个增长率为． （ 1 ）填空：（用含的代数式表示） 月份的利润为： ．1 月份的利润为： ．2 （ 2 ）列出方程，并求出问题的解． （ 1 ）1 2 （ 2 ）这个增长率是 ． （ 1 ）1 设这个增长率为 ， 月份的利润为： ． 设这个增长率为 ， 月份的利润为： （ 2 ）依题意得： 2 ． 解得 ， ， （不合题意，舍去）． ． 答：这个增长率是 ． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 2. 某工厂废气排放量为万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率． 每期减少的百分率为 ． 设每期减少的百分率为 ． 由题意，得 解方程得： 经检验， ， ． ． 不合题意，舍去； 符合题意． 答：每期减少的百分率为 ． 4 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】一元二次方程的增长率问题 3. 某商场将某种商品的售价从每件元经两次调价后调至元，若两次调价的降价率相同，求这个降价率． 该商场两次降价的百分比为 ． 设调价百分率为 ， 列方程： 解得： ， ， （不合题意舍去）． 答：该商场两次降价的百分比为 ． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 4. 2026年计划新安排万套棚户区改造任务，某工程队承包了一项拆迁工程．第一天拆迁了 ，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了．若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分率相同，求这个百分率． 这个百分率为 ． 设这个百分率为 ． 根据题意列方程，得 解方程得： 所以 答：这个百分率为 ， ． ． （舍）． ． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 5. 某地区为进一步发展基础教育，自2024年以来加大了教育经费的投入，2024年该地区投入教育经费 万元，2026年投入教育经费万元． （ 1 ）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率． （ 2 ）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2027年该地区投入教育经费为 万元． （ 1 ） （ 2 ） ． （ 1 ）设该地区这两年投入教育的年品均增长率为 ，根据题意得， ， 解得 ∴ ， （不合题意，舍去）， ， ∴该地区这两年投入教育的年品均增长率为 ． （ 2 ）由（ ）知平均增长率为 ，则2027年投入经费为： （万元）． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 6. 为进一步发展基础教育，自2024年以来，某县加大了教育经费的投入，2024年该县投入教育经费 万元．2026年投入教育经费万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （ 1 ）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． （ 2 ）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2027年该县投入教育经费多少万元． （ 1 ）该县投入教育经费的年平均增长率为 ． （ 2 ）预算2027年该县投入教育经费 万元． （ 1 ）设该县投入教育经费的年平均增长率为 ，根据题意得： ， 解得： ， 答：该县投入教育经费的年平均增长率为 ． （ 2 ）因为2026 所以2027 答：预算2027 年该县投入教育经费为 年该县投入教育经费为：年该县投入教育经费 万元，且增长率为 ， （万元）， 万元． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 7. 据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同： （ 1 ）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率． （ 2 ）如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的名快递投递业务员能否完成今年月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ （ 1 ）该快递公司投递总件数的月平均增长率为 ． （ 2 ）该公司现有的 名快递投递业务员不能完成今年 月份的快递投递任务，至少需要增加 名业务员． （ 1 ）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 ，根据题意得： ， 解得： ， （不合题意舍去）． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 ． （ 2 ）今年 月份的快递投递任务是 （万件）． ∵平均每人每月最多可投递 万件， ∴ 名快递投递业务员能完成的快递投递任务是： ， ∴需要增加业务员 （人）． 答：该公司现有的 名快递投递业务员不能完成今年 月份的快递投递任务，至少需要增加 名业务员． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 8. 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售． （ 1 ）求平均每次下调的百分率； （ 2 ）小华准备到李伟处购买吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由． （ 1 ） ． （ 2 ）方案一更优惠． （ 1 ）设平均每次下调的百分率为 ． 由题意，得 解这个方程，得 ， ， ∵降价的百分率不可能大于 ， ∴ 不符合题意，舍去， 答：平均每次下调的百分率是 ． （ 2 ）方案一所需费用为：方案二所需费用为： （元）， （元）． ∵ ， ∴小华选择方案一购买更优惠． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 $ 1. 某公司今年销售一种产品， 月份获得利润万元．由于产品畅销．利润逐渐增加，月份的利润比月份的利润增加万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．设这个增长率为． （ 1 ）填空：（用含的代数式表示） 月份的利润为： ．1 月份的利润为： ．2 （ 2 ）列出方程，并求出问题的解． 2. 某工厂废气排放量为万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率． 3. 某商场将某种商品的售价从每件元经两次调价后调至元，若两次调价的降价率相同，求这个降价率． 4. 2026年计划新安排万套棚户区改造任务，某工程队承包了一项拆迁工程．第一天拆迁了 ，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了．若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分率相同，求这个百分率． 5. 某地区为进一步发展基础教育，自2024年以来加大了教育经费的投入，2024年该地区投入教育经费 万元，2026年投入教育经费万元． （ 1 ）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率． （ 2 ）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2027年该地区投入教育经费为 万元． 6. 为进一步发展基础教育，自2024年以来，某县加大了教育经费的投入，2024年该县投入教育经费 万元．2026年投入教育经费万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （ 1 ）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． （ 2 ）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2027年该县投入教育经费多少万元． 7. 据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同： （ 1 ）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率． （ 2 ）如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的名快递投递业务员能否完成今年月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 2 学科网（北京）股份有限公司 8. 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售． （ 1 ）求平均每次下调的百分率； （ 2 ）小华准备到李伟处购买吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由． $ 1. 2026年月日北京国际自行车大会召开，来自世界各地的多名骑游爱好者齐聚夏都延庆．各种自行车赛事也带动了延庆的骑游产业．据调查，延庆区某骑游公司每月的租赁自行车数的增长率相同，今年四月份的骑游人数约为人，六月份的骑游人数约为人，求该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率（精确到）． 2. 列方程或方程组解应用题： 3. 为建设美丽的城市，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2024年投入了万元，2026年投入了万元． （ 1 ）求2024年至2026年该单位环保经费投入的年平均增长率． （ 2 ）该单位预计2027年投入环保经费万元，若想继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由． 4. 随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车水费成为新亮点，抽样调查显示，截止2026年底全市汽车拥有量为万辆．已知2024年底全市汽车拥有量为万辆． （ 1 ）求2024年底至2026年底我市汽车拥有量的年平均增长率． （ 2 ）为保护城市环境，要求我市到2028年底汽车拥有量不超过万辆，据估计从2026年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 5. “低碳生活，绿色出行”，共享单车已经成了很多人出行的主要选择，今年月份，“摩拜”共享单车又向长沙河西新投放共享单车辆． （ 1 ）若月份到月份新投放单车数量的月平均增长率相同，月份新投放共享单车辆．求月平均增长率． （ 2 ）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过元的资金再购进，两种规格的自行车辆，且型车不超过辆．已知型的进价为元/辆，型车进价为元/ 辆，设购进型车辆，求出的取值范围． （ 3 ）已知型车每月产生的利润是元/辆，型车每月产生的利润是元/辆，在（)的条件下，求公司每月的最大利润． 6. 某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是万元，每月另需支付设备维护费万元，从今年月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达万元，至月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达万元，月份后，每月生产收入稳定在月份的水平． （ 1 ）求使用新设备后，月、月生产收入的月增长率． （ 2 ）购进新设备需一次性支付万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. 2026年月日北京国际自行车大会召开，来自世界各地的多名骑游爱好者齐聚夏都延庆．各种自行车赛事也带动了延庆的骑游产业．据调查，延庆区某骑游公司每月的租赁自行车数的增长率相同，今年四月份的骑游人数约为人，六月份的骑游人数约为人，求该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率（精确到）． ． 设该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为 ， 根据题意得： ， 解得： ∴ ， ， （舍去）． 答：该骑游公司租赁自行车数的月平均增长率为 ． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 2. 列方程或方程组解应用题： 小白家这两年用水的年平均下降率为 ． 设小白家这两年用水的年平均下降率为 ． 由题意，得 ． 解得 ， ． ∵ 不符合题意，舍去． ∴ ． 答：小白家这两年用水的年平均下降率为 ． 5 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】一元二次方程的增长率问题 3. 为建设美丽的城市，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2024年投入了万元，2026年投入了万元． （ 1 ）求2024年至2026年该单位环保经费投入的年平均增长率． （ 2 ）该单位预计2027年投入环保经费万元，若想继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．2024年至2026 （ 1 ） 2024年至2026 年该单位环保经费投入的年平均增长率为 ． （ 2 ）该目标无法实现． （ 1 ）设 根据题意得，计算得出， 年该单位环保经费投入的年平均增长率为 ， ， ， （不符合题意，舍去）． 答： （ 2 ）∵ 年该单位环保经费投入的年平均增长率为 ． ∴若想继续保持前两年的年平均增长率，该目标无法实现． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 2024年至2026 4. 随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车水费成为新亮点，抽样调查显示，截止2026年底全市汽车拥有量为万辆．已知2024年底全市汽车拥有量为万辆． （ 1 ）求2024年底至2026年底我市汽车拥有量的年平均增长率． （ 2 ）为保护城市环境，要求我市到2028年底汽车拥有量不超过万辆，据估计从2026年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） （ 1 ）年平均增长率为 ． （ 2 ）每年新增汽车数量最多不超过 万辆． （ 1 ）设年平均增长率为 ，根据题意得： ， 解得： (不合题意舍去)， ，答：年平均增长率为 ． （ 2 ）设每年新增汽车数量最多不超过 万辆，根据题意得：2026年底汽车数量为 2028年底汽车数量为 ， ， ∴ ， ∴ ， 答：每年新增汽车数量最多不超过 万辆． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 5. “低碳生活，绿色出行”，共享单车已经成了很多人出行的主要选择，今年月份，“摩拜”共享单车又向长沙河西新投放共享单车辆． （ 1 ）若月份到月份新投放单车数量的月平均增长率相同，月份新投放共享单车辆．求月平均增长率． （ 2 ） 考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过元的资金再购进，两种规格的自行车辆，且型车不超过辆．已知型的进价为元/辆，型车进价为元/ 辆，设购进型车辆，求出的取值范围． （ 3 ）已知型车每月产生的利润是元/辆，型车每月产生的利润是元/辆，在（)的条件下，求公司每月的最大利润． （ 1 ）月平均增长率为 （ 2 ） 的取值范围为 ． （ 3 ）公司每月的最大利润为 ． 元． （ 1 ）设月平均增长率为 ， 由题意得： ， 解得： （舍去)， ， 答：月平均增长率为 ． （ 2 ）设购进 型车 根据题意得：解得： 辆，则购进 型车 辆， ， ， 又∵ 型车不超过 辆， ∴ ， 答： 的取值范围为 ． （ 3 ）设公司每月的利润为 ， 根据题意得： ， ∵ ， 又∵一次函数 随着 的增大而增大， ∴当 时， 最大 （元)， 答：公司每月的最大利润为 元． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 6. 某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是万元，每月另需支付设备维护费万元，从今年月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达万元，至月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达万元，月份后，每月生产收入稳定在月份的水平． （ 1 ）求使用新设备后，月、月生产收入的月增长率． （ 2 ）购进新设备需一次性支付万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费） （ 1 ）每月的增长率是 ． （ 2 ）使用新设备 个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润． （ 1 ）设每月的增长率为 ，由题意得： ， 解得 或 （不合题意，舍去），答：每月的增长率是 ． （ 2 ）设使用新设备 个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有 ， 解得 ． 故使用新设备 个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润． 【知识点】一元二次方程的增长率问题 $