4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和公式及错位相减法，通过问题链引导学生对比等差数列求和方法，构建从定义推导到公式应用的学习支架，衔接数列通项与求和的知识脉络。 其亮点在于以核心素养为导向，微思考辨析公式项数培养逻辑推理，例题（如错位相减求“等差·等比”型数列和）强化数学运算，规律方法总结助学生形成解题策略。学生能提升数学思维，教师可高效开展教学。

第四章 　4.3.2　第1课时　等比数列的前n项和 学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法.(逻辑推理) 2.掌握等比数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.(数学运算) 3.理解并掌握错位相减法求数列前n项和的方法及应用.(数学抽象、数学运算) 基础落实·必备知识全过关 知识点1　等比数列的前n项和公式 若等比数列的首项为a1,公比为q,则它的前n项和 Sn=　　　 　　　　　.  q不明确时,要分类讨论 微点拨 1.当公比q≠1时,可以根据等比数列的定义以及比例的性质推导等比数列的前n项和公式:在等比数列{an}中,设公比为q≠-1,则由定义可得=…==q(n≥2),由比例性质得=q,所以=q,整理得Sn=,又当n=1时也适合此式,所以Sn=.当q=-1时,易知Sn=也成立. 2.当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个求解公式:当已知a1,q,n时,用Sn=(q≠1)较方便;当已知a1,q,an时,用Sn=(q≠1)较方便. 微思考 1.以下求和:1+3+32+…+3n=,是否正确? 提示不正确,在等比数列求和公式Sn=中,n是等比数列中参与求和的项数,所以应该有1+3+32+…+3n=. 2.若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系? 提示 A=-B.通过等比数列的求和公式就可以推导. 知识点2　错位相减法求数列的和 推导等比数列前n项和的方法叫做　　　　　　,一般适用于求一个等差数列与一个　　　　　数列对应项的　　　　所构成的数列的前n项和.  错位相减法 等比 积 微思考 1.错位相减法源于等比数列的什么内容?利用此方法为何能够求等比数列、“等差·等比”型数列的和? 提示 错位相减法源于等比数列求和公式的推导.结合等比数列、“等差·等比”型数列的“比”的特征,利用此法,可以进行无限项到有限项的消元,从而实现求和的目的. 2.给出以下数列:(1){2n+2n};(2);(3);(4),其中哪些可以用错位相减法求和? 提示(2)和(4)两个数列都是一个等差数列与一个等比数列对应项乘积构成的数列,因此可用错位相减法求和. 重难探究·能力素养速提升 重难探究·能力素养速提升 问题1数列求和是数列研究中的一项重点内容.对于等差数列,可通过等差中项的性质,采用倒序相加达到消元的目的,从而实现求和.对于等比数列来说,能否根据等比数列的特征采取恰当的方法实现项的消元,从而求得一个等比数列的前n项和? 问题2对于等比数列的前n项和公式 ,公比q有怎样的限制条件?为什么?其中的n是否有具体的含义? 问题3对于等比数列的通项公式、前n项和公式,若从方程基本量的角度来看,实质上都是怎样的一类方程? 探究点一　等比数列前n项和公式的应用 【例1】 在等比数列{an}中,求解以下各题: (1)a1=5,q=2,求S6; (2)S6=,q=,求a1; (3)若a1=8,an=,Sn=,求n; (4)若S3=,S6=,求an及Sn. 分析(1)(2)可直接代入前n项和公式求解;(3)先利用公式Sn=(q≠1)求得q的值,再利用通项公式求得n;(4)利用前n项和公式建立方程组求得基本量a1,q,再求an及Sn. 解(1)因为a1=5,q=2,所以S6==315. (2)由已知得S6=,即a1×,解得a1=24. (3)由Sn=,得, 解得q=,又an=a1qn-1, 即8,所以n=6. (4)由S6≠2S3知q≠1,所以由题意得两式相除得1+q3=9,得q=2,a1=,所以an=×2n-1=2n-2,Sn==2n-1-. 规律方法　等比数列前n项和公式的应用问题 在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1,q和n是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1,q和n表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 【例2】 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2+S4=S6,求其公比q. 解(方法1)若q=1,则S2=2a1,S4=4a1,S6=6a1,显然满足S2+S4=S6, 所以q=1符合题意; 若q≠1,则, 整理得(q2+1)(q+1)2(q-1)2=0, 解得q=-1(q=1舍去). 综上,公比q的值等于1或-1. (方法2)因为S2+S4=S6, 所以(a1+a2)+(a1+a2+a3+a4)=a1+a2+a3+a4+a5+a6, 整理得a1+a2=a5+a6,即a1+a2=(a1+a2)q4,所以(a1+a2)(1-q4)=0. 因此有a1+a2=0或1-q4=0. 由a1+a2=0,得q=-1;由1-q4=0,得q=±1. 综上,公比q的值等于1或-1. 规律方法　等比数列前n项和公式的关注点 (1)在利用等比数列的前n项和公式时,若其公比q不确定,则应对公比q分q=1和q≠1两种情况进行讨论. (2)当n的值较小时,求Sn可以直接利用Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1求解,这样与Sn=相比较,可以防止忘记分类讨论丢掉q=1时的特殊情况. 探究点二 求“等差•等比”型数列的前n项和 问题4若一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成新数列,对于这类数列如何根据其特征求和?能否从等比数列的求和方法中获取思路? 问题5“等差·等比”型数列的求和运算有一定的复杂性,如何规范运算才能确保准确无误? 【例3】 求数列{an}:,…,,…的前n项和. 分析该数列的通项公式an==(2n-1),它是由一个等差数列和一个等比数列的各项相乘得到的数列,可以采用错位相减法求和. 解设Sn=+…+,① 则Sn=+…+,② ①-②,得Sn=+…+, 即Sn=+…++1-. 所以Sn=3-=3-. 规律方法　错位相减法求和的解题策略 (1)如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成,此时可把式子Sn=a1+a2+…+an两边同乘公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减整理即可求出Sn. (2)错位相减法求和是一种非常重要的求和方法,这种方法的计算过程较为复杂,对计算能力要求较高,应加强训练.要注意通过训练,掌握在错位相减过程中的几个关键环节,避免出错. (3)运用错位相减法求和后得到的结果,可以将n=1,2代入验证是否正确. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等比数列前n项和公式的推导. (2)等比数列中与前n项和有关的基本运算. (3)错位相减求和法的应用. 2.方法归纳:公式法、基本量方法、错位相减求和法. 3.常见误区:(1)等比数列前n项和公式中项数的判断易出错;(2)应用等比数列前n项和公式时忽视对公比q的讨论致误;(3)错位相减求和过程中出现运算、变形错误. 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 知识点1 等比数列前 项和基本量的计算 1. 可以化简为( ) C A. B. C. D. 【解析】 .（ 首项为1，公比为 3，项数为.） （ 首项为1，末项为 ，公比 为3.） . 25 2.在正项等比数列中，，，前项和为，若 ， 则 ( ) C A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】 设等比数列的公比为,由题意知且 ，则 ，，所以，解得 . 26 3.[2026广东深圳联考]已知数列为等比数列，公比为2，且 . 若，则正整数 的值是( ) C A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】 由公比为2,可得，解得 ，故 ，，解得 .故选C. 27 4.[2026湖南衡阳调研]设等比数列的各项均为正数，其前项和为 ， 若，，则 ( ) D A. B. C.15 D.31 【解析】 设等比数列的公比为，，当 时， ，，则，所以 ， 所以，整理得，由于 且 ，所以，则，所以 ， 则，所以 . 28 设等比数列的公比为,分析知且.因为 ， 且，所以，即 ，则有 ，所以公比 ，所以 . 5.记等比数列的前项和为，若，则 ( ) C A.1 B.2 C.4 D.8 30 【解析】 （等比数列前项和公式的变形）设等比数列 的公 比为.由题知，则 （ 互为相反 数.），又，所以，所以 ，所以 . （由求）当时，;当 时， ，因为数列 是等比数列，所以 ，解得，所以 . . . . . 31 6.（多选）[2026陕西西安铁一中月考]已知是递增的等比数列，其前 项和为，若, ，则( ) ACD A. B. C. D. 是等比数列 32 【解析】 因为是递增数列，且,所以可设等比数列 的 公比为.因为，所以 ，解得 或（舍去），所以.对于A， ， 故A正确；对于B， ，故B错误； 33 对于C，，则 ， 故C正确；对于D，， ，所以 是首项为3，公比为 的等比数列，故D正确. 34 7.易错题 设为等比数列的前项和.已知，，则公比 _______. 1或 【解析】 当时（ 不要忽略的情况.）， ， 满足条件.当时，有解得综上，或 . . . 35 8.在14与之间插入个数，组成等比数列，若所有项的和为 ，则此数列 的项数为___. 5 【解析】 设此数列的公比为，则解得 故此数列共 有5项. 36 知识点2 等比数列前 项和公式的推导方法（错位相减法）的应用 9. ( ) D A. B. C. D. 【解析】 令 ，则 ,两式相减得 ,所以 . 37 10.数列满足,，数列的前项和 ( ) D A. B. C. D. 38 【解析】 由，得.因为，所以{ } 是首项为3，公比为3的等比数列，所以 ，所以 ，所以 ①，则 ②，可得，所以 .故选D. 39 11.[2026安徽滁州一检]已知数列的前项和 . （1）求数列 的通项公式； 【解析】 由题意得 . 当 时， ， 因为不满足上式（ 注意检验 是否满足上式.），所以 . . 40 （2）若，求数列的前项和 . 【解析】 结合（1）可得 所以当时， ， ① ， ② ，得 , 所以可得 ， 当时，也满足上式，所以 . 41 1.已知首项为负数的等比数列的前项和为，若， ， 则 ( ) C A.8 B.16 C.24 D.48 能力提升 42 【解析】 设等比数列的公比为 ,则 解得（舍去）或 所以 . 设等比数列的公比为，则 ， 又，所以 ，即 ， 即，解得，又，所以 ，所以 ， . 43 2.[2026河北石家庄二中期中]若两个等比数列, 的公比相等，且 ,，则数列 的前7项和为 ( ) B A. B.43 C. D.47 【解析】 设等比数列,的公比为 ，则 ，且, ，故 ，故数列是以1为首项， 为公比的等比数列.由 ，得,所以数列是以1为首项， 为公比的等比数列，所以数列的前7项和 . 44 3.在等比数列中， ， ，则 ( ) C A. B. C.5 D.1 【解析】 设等比数列的公比为，则由题意知 ，则 （ 表示数列 的前5项和.） 两式相除得 ，所以 ，故选C. . . 45 4.教材4.3.2例10变式 （多选）如图，有边长为1的正方形 ，以其对 角线的一半为边，作第2个正方形 ，再以第2个正方形对角线的一半 为边，作第3个正方形， ，如此形成一个边长不断缩小的正方形系列. 设原正方形的面积为，后续各正方形的面积依次为,, ，则下列表 述正确的是( ) ACD A.数列 为等比数列 B. C.从正方形开始，连续10个正方形面积的和为 D.若把这一过程无限延续下去，则这些正方形的面积之和将 趋近于2 46 【解析】 已知原正方形的边长为1，则.第 个正方形是以第 个正方形对角线的一半为边，设第个正方形的边长为 ，则其 对角线长为，那么第个正方形的边长为 ，面积 ，即第个正方形面积是第个正方形面积的 ，又 ,所以.故数列是首项为，公比为 的等比数列， A正确.,则，B错误.等比数列 的 前项和，则，C正确.随着 的无限增大，将趋近于0， 将趋近于2，D正确. 47 5.[2026北京朝阳区质量检测]《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典 籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆、京、垓、 秭、穰、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘） “万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿万万，1兆 亿亿，1京兆兆 ，以此类推.若按“上数”进制，记 第个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京， ，第10个为载） 对应的数值为，则_____；若，则正整数 的 最小值为___. 128 7 48 【解析】 根据题意，第个大数对应的数值为 ，则 ，故 . ,由 ，得，即， . 因为，，所以正整数的最小值为 . 49 6.记为公比不为1的等比数列的前项和， ， . （1）求 的通项公式； 【解析】 设等比数列的公比为 . 因为，即，即 ， 所以 . 由，即，解得 ， 所以 . 50 （2）设，若与 的公共项按从小到大的顺序构成数列 ，求数列的前项和 . 【解析】 结合（1）可得 ， 则数列为0，2，4，6， . 令，则 为正偶数， 所以，，， ，，所以 是以2为首项， 4为公比的等比数列， 所以 . 51 Sn= $